मितीय विश्लेषण आणि एकक रूपांतरणे

रूपांतरण गुणक म्हणजे वेशांतर केलेला 1 का आहे

1 L = 1000 mL सारखी समानता सांगते की दोन्ही बाजू सारख्याच प्रमाणाचे वर्णन करतात. म्हणून एका बाजूला दुसरीने भागल्यास नेमके 1 इतके गुणोत्तर मिळते: (1000 mL / 1 L) = 1 आणि (1 L / 1000 mL) = 1. एखाद्या राशीला 1 ने गुणल्याने राशी बदलत नाही; ती फक्त वेगळ्या प्रकारे व्यक्त होते. पद्धतीचे संपूर्ण समर्थन हेच आहे.

प्रत्येक समानतेतून दोन गुणोत्तरे मिळतात, म्हणून जी एकक तुमच्याकडे आहे ती छेदली जाईल आणि हवे ते एकक राहील अशी दिशा तुम्ही निवडता. 0.355 L चे मिलिलिटरमध्ये रूपांतर करण्यासाठी 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL असे लिहा. लिटर छेदले जातात कारण L एकदा अंशात आणि एकदा छेदात येते. एकके छेदली गेली नाहीत तर गुणक उलटा आहे, आणि हे तुम्हाला कोणतेही गणित करण्यापूर्वीच कळते.

अचूक आणि मोजलेल्या समानता

काही समानता या व्याख्या असून अचूक असतात: प्रत्येक SI उपसर्ग (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ आणि 1 इंच = 2.54 cm. अचूक गुणक सार्थ अंकांना कधीही मर्यादित करत नाहीत. इतर समानता मोजमापातून येतात, जसे घनता किंवा एका नाण्याचे वस्तुमान, आणि त्यांचे सार्थ अंक इतर कोणत्याही मोजलेल्या मूल्याप्रमाणेच मोजले जातात.

उलट्या गुणकांच्या चुकांचे सर्वात सामान्य कारण उपसर्ग गुणक असतात. 1 µg = 10⁻⁶ g हे असे वाचा: एक मायक्रोग्रॅम म्हणजे ग्रॅमचा दशलक्षांश भाग. लहान एककाला 1 मिळतो आणि मोठ्या एककाला दहाची छोटी घात मिळते, किंवा तितकेच 1 g = 10⁶ µg. 1 g = 10⁻⁶ µg असे लिहिल्यास संबंध 10¹² पटीने उलटा होतो.

• लांबी: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 इंच = 2.54 cm (अचूक).
• आकारमान: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• वस्तुमान: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• वेळ: 1 h = 60 min = 3600 s.

एका ओळीत अनेक गुणकांची साखळी

सुरुवातीची आणि लक्ष्य एकके जोडणारी एकही समानता नसेल तेव्हा गुणकांच्या साखळीचा गुणाकार करा, ज्यात प्रत्येक गुणक मागील गुणकाने आणलेले एकक छेदतो. गणन करण्यापूर्वी संपूर्ण साखळी लिहिल्याने तुम्हाला छेद एका नजरेत तपासता येतो आणि टप्प्यांदरम्यान पूर्णांकन टळते.

सोडवलेले उदाहरण 1. एक पंप 1.75 mL/min दराने विद्रावक पुरवतो. प्रवाह दर लिटर प्रति तास या एककात किती? दोन एकके बदलावी लागतात, एक अंशात आणि एक छेदात. 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h) असे मांडा. मिलिलिटर छेदले जातात, मिनिटे छेदली जातात आणि L/h उरते. गणित 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h असे आहे. दोन्ही गुणक अचूक आहेत, म्हणून उत्तरात 1.75 mL/min चे तीन सार्थ अंक राहतात.

येथे एक झटपट तर्कसंगततेची तपासणी उपयुक्त ठरते: एका तासात 60 मिनिटे असतात, म्हणून प्रति तास आकारमान प्रति मिनिटापेक्षा मोठे असले पाहिजे, सुमारे 105 mL. लिटरमध्ये व्यक्त केल्यास ते साधारण लिटरचा दशांश भाग आहे, जे 0.105 L/h शी जुळते.

वर्ग आणि घन एककांसाठी वर्ग आणि घन गुणक लागतात

cm³ सारख्या साधित एककाचा अर्थ cm × cm × cm असा आहे. त्याचे रूपांतर करण्यासाठी प्रत्येक मितीसाठी एकदा लांबीचा गुणक लावावा लागतो, जे तुम्ही संपूर्ण गुणकाला, संख्या आणि एकक एकत्र, तितक्या घाताला नेऊन करता. (1 m / 100 cm)³ हे 1 m³ / 10⁶ cm³ इतके असते, 1 m³ / 100 cm³ इतके नाही.

सोडवलेले उदाहरण 2. एका साठवण कपाटाचे अंतर्गत आकारमान 0.0465 m³ आहे. ते घन सेंटिमीटर आणि लिटरमध्ये व्यक्त करा. घन सेंटिमीटरमध्ये: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. लिटरमध्ये 1 m³ = 1000 L वापरा: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. पडताळा म्हणून 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) हेही 46.5 L देते.

दर आणि इतर संयुक्त एकके याच तर्काचे पालन करतात. N/m² मधील दाब, m/s मधील वेग आणि mol/L मधील संहती यांपैकी प्रत्येकामध्ये प्रत्येक एकक स्वतंत्रपणे रूपांतरित केले जाते आणि घातांक पाळले जातात.

घनता: वस्तुमान आणि आकारमान जोडणारा पूल

घनता म्हणजे वस्तुमानाला आकारमानाने भागणे, म्हणून ती कोणत्याही दिशेने रूपांतरण गुणक म्हणून चालते: (g / mL) आकारमानाचे वस्तुमानात रूपांतर करतो आणि (mL / g) वस्तुमानाचे आकारमानात. उपसर्ग गुणकांपेक्षा वेगळी, घनता मोजलेली असते, तापमानावर अवलंबून असते आणि सार्थ अंकांना मर्यादित करते.

सोडवलेले उदाहरण 3. OpenStax Chemistry 2e (तक्ता 1.4) खोलीच्या तापमानाजवळ ग्लिसरीनची घनता 1.26 g/cm³ अशी देते. 15.0 g मध्ये ग्लिसरीनचे किती आकारमान असते? ग्रॅम छेदले जावेत म्हणून घनता उलटी करा: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, जे 11.9 mL आहे कारण 1 cm³ = 1 mL अचूक आहे. कॅल्क्युलेटर 11.905 दाखवतो आणि दोन्ही इनपुटमध्ये तीन सार्थ अंक आहेत.

आता अधिक लांब साखळीतून उलट दिशेने जा: 2.50 L ग्लिसरीनचे किलोग्रॅममध्ये वस्तुमान किती? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. एका लिटर पाण्याचे वस्तुमान 1 kg च्या जवळ असते आणि ग्लिसरीन पाण्यापेक्षा थोडे अधिक घन आहे, म्हणून 2.5 kg पेक्षा थोडे जास्त येणे तर्कसंगत आहे.

तापमान मापे आणि ऑफसेट असलेली इतर रूपांतरणे

गुणक-लेबल पद्धत समानुपाती संबंध हाताळते, जेथे एका एककातील शून्य म्हणजे दुसऱ्यातही शून्य. सेल्सिअस, फॅरनहाइट आणि केल्विन मापांचे शून्य एकच नसते, म्हणून तापमानाचे रूपांतर करण्यासाठी जोडलेला ऑफसेट असलेले समीकरण लागते: T(K) = T(°C) + 273.15 आणि T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. उदाहरणार्थ, 21.47 °C म्हणजे 21.47 + 273.15 = 294.62 K आणि 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

तापमानातील बदल वेगळे असतात. 1 °C चा बदल हा 1 K च्या बदलाइतका आणि 1.8 °F च्या बदलाइतका असतो, ऑफसेटशिवाय, कारण दोन तापमानांची वजाबाकी केल्यावर ऑफसेट छेदला जातो. उष्णता किंवा दराच्या समीकरणात T ऐवजी ΔT वापरले जाते तेव्हा हा फरक लक्षात ठेवा.

रूपांतरणातील चुका आणि त्या कशा पकडाव्यात

प्रत्येक गुणक खरी समानता असेल तर मितीय विश्लेषण अंतिम एकक योग्य असल्याची हमी देते. तुम्ही योग्य राशी निवडली आहे याची हमी ते देत नाही, म्हणून एकक तपासणीला आकाराच्या अंदाजाची जोड द्या.

गुणाकार करण्यापूर्वी संख्या वाढायला हवी की कमी व्हायला हवी ते ठरवा. लिटरचे मिलिलिटर यांसारख्या लहान एककात रूपांतर केल्यास संख्या मोठी येते; मोठ्या एककात रूपांतर केल्यास ती लहान येते. निकाल चुकीच्या दिशेने गेला तर एखाद्या गुणकातील संख्या उलट्या आहेत, आणि चुकीने आठवलेला उपसर्ग एकके छेदली जात असल्याचे दिसत असतानाही नेमके हेच करतो.

• उलटा गुणक: ज्या एककाला काढून टाकायचे होते ते शिल्लक राहिले तर तो गुणक उलटा करा.
• उलटा उपसर्ग: लहान एककाची संख्या मोठी आहे याची खात्री करा, जसे 1 kg = 1000 g मध्ये.
• घात विसरणे: क्षेत्रफळ आणि आकारमानाचे गुणक संख्येसह वर्गित किंवा घनित केले पाहिजेत.
• गणनेच्या मध्येच एकके सोडणे: प्रत्येक संख्येवर एकके लिहा म्हणजे न झालेला छेद दिसत राहतो.
• मोजलेल्या गुणकाला अचूक मानणे: घनता किंवा प्रति नग मोजलेले वस्तुमान सार्थ अंकांना मर्यादित करते.
• एकके बरोबर, भौतिकी चुकीची: द्रावणाचे ग्रॅम आणि विद्राव्याचे ग्रॅम दोन्ही g म्हणून छेदले जातात, म्हणून प्रत्येक राशीला ती कशाचे वर्णन करते त्या नावाचे लेबल लावा.