ക്വാണ്ടം സംഖ്യകളും ഓർബിറ്റലുകളും: നിയമങ്ങൾ, എണ്ണങ്ങൾ, ആകൃതികൾ

തരംഗങ്ങളായി ഇലക്ട്രോണുകൾ: ഡി ബ്രോയ് തരംഗദൈർഘ്യം

ചലിക്കുന്ന ഏത് കണികയ്ക്കും λ = h/(mv) എന്ന തരംഗദൈർഘ്യമുണ്ടെന്ന് 1924-ൽ ഡി ബ്രോയ് നിർദേശിച്ചു; ഇവിടെ h പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കവും m പിണ്ഡവും v വേഗവുമാണ്. ദൈനംദിന വസ്തുക്കൾക്ക് തരംഗദൈർഘ്യം ശ്രദ്ധിക്കാനാകാത്തവിധം വളരെ ചെറുതാണ്. 40.0 m/s-ൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന 0.145 kg ബേസ്ബോളിന് λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) പിണ്ഡമുള്ള ഇലക്ട്രോണിന് തരംഗദൈർഘ്യം ഒരു ആറ്റത്തിന്റെ വലുപ്പത്തോട് താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം 1. 2.188 × 10⁶ m/s-ൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു ഇലക്ട്രോണിന് λ = h/(mv). CODATA മൂല്യങ്ങളായ h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s, m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, അഥവാ 0.3324 nm. ഹൈഡ്രജന്റെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പരിക്രമണപഥത്തിലെ ഇലക്ട്രോണിന് ബോർ മാതൃക നൽകുന്ന വേഗമാണിത്; ആ പഥത്തിന്റെ ആരം ബോർ ആരമാണ്, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). പഥത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m ആണ്, അതിനാൽ ഒരു ഇലക്ട്രോൺ തരംഗദൈർഘ്യം അതിനു ചുറ്റും കൃത്യമായി ഒതുങ്ങുന്നു, 0.02%-ൽ മെച്ചപ്പെട്ട യോജിപ്പോടെ. ഒരു ഇലക്ട്രോൺ തരംഗം സ്വയം റദ്ദാകാതെ അതിന്റെ ഇടത്തിൽ ഒതുങ്ങേണ്ടിവരുമ്പോഴാണ് ക്വാണ്ടീകൃത ഊർജനിലകൾ ലഭിക്കുന്നത്, ഒരു ഗിറ്റാർ കമ്പിക്ക് ചില ആവൃത്തികളിൽ മാത്രം കമ്പനം ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ.

അനിശ്ചിതത്വവും നിശ്ചിത പരിക്രമണപഥങ്ങളുടെ അന്ത്യവും

സ്ഥാനവും സംവേഗവും ഒരുമിച്ച് എത്ര നന്നായി അറിയാനാകും എന്നതിന് ഹൈസൻബർഗ് അനിശ്ചിതത്വ തത്ത്വം ഒരു പരിധി നിശ്ചയിക്കുന്നു: Δx·Δp ≥ ħ/2, ഇവിടെ ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

ഉദാഹരണം 2. ഒരു ഇലക്ട്രോണിനെ 1.0 × 10⁻¹⁰ m വീതിയുള്ള, ഏകദേശം ഒരു ആറ്റത്തിന്റെ വലുപ്പമുള്ള ഒരു മേഖലയിൽ ഒതുക്കുക. അപ്പോൾ Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. വേഗത്തിലെ അനിശ്ചിതത്വം വേഗത്തിന്റെ തന്നെ ഗണ്യമായ ഒരു ഭാഗമാണ്, അതിനാൽ ഒരു ഗ്രഹത്തിന്റെ പരിക്രമണപഥം പോലുള്ള കൃത്യമായ പാത ആറ്റത്തിലെ ഇലക്ട്രോണിന് അർഥശൂന്യമാണ്.

ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം പാതയ്ക്ക് പകരം ഒരു തരംഗഫലനം, ψ, ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിന്റെ വർഗമായ ψ² സംഭാവ്യതാ സാന്ദ്രതയാണ്: ഒരു ചെറിയ മേഖലയുടെ വ്യാപ്തം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഇലക്ട്രോണിനെ അവിടെ കണ്ടെത്താനുള്ള സംഭാവ്യത ലഭിക്കുന്നു. ഒരു ഇലക്ട്രോണിനുള്ള തരംഗഫലനമാണ് ഓർബിറ്റൽ, പരിചിതമായ ഓർബിറ്റൽ ചിത്രങ്ങൾ ആ സംഭാവ്യതയുടെ ഭൂരിഭാഗവും, പലപ്പോഴും 90%, ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രതലങ്ങളാണ്.

n, l, mₗ, mₛ എന്നിവയുടെ അനുവദനീയ മൂല്യങ്ങൾ

ഹൈഡ്രജൻ ആറ്റത്തിനായി തരംഗ സമവാക്യം നിർധാരണം ചെയ്യുമ്പോൾ മൂന്ന് ക്വാണ്ടം സംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നു, ഓരോന്നും അതിനു മുമ്പുള്ളതിനാൽ നിയന്ത്രിക്കപ്പെടുന്നു. നാലാമത്തേത് ഇലക്ട്രോണിന്റെ സ്പിൻ വിവരിക്കുന്നു. ഈ നിയന്ത്രണങ്ങളാണ് എല്ലാം.

• മുഖ്യ ക്വാണ്ടം സംഖ്യ n = 1, 2, 3, …. ഇത് ഷെല്ലിനെയും, ഹൈഡ്രജനിൽ, ഊർജത്തെയും നിശ്ചയിക്കുന്നു. വലിയ n എന്നാൽ വലുതും ഉയർന്ന ഊർജമുള്ളതുമായ ഓർബിറ്റൽ.
• കോണീയ സംവേഗ ക്വാണ്ടം സംഖ്യ l = 0, 1, …, n − 1. ഇത് ഉപഷെല്ലിനെയും ആകൃതിയെയും നിശ്ചയിക്കുന്നു: l = 0, 1, 2, 3 എന്നിവ s, p, d, f ആണ്.
• കാന്തിക ക്വാണ്ടം സംഖ്യ mₗ = −l, …, 0, …, +l, 2l + 1 മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഇത് ബഹിരാകാശത്ത് ഓർബിറ്റലിന്റെ ദിശാവിന്യാസം നിശ്ചയിക്കുന്നു.
• സ്പിൻ ക്വാണ്ടം സംഖ്യ mₛ = +½ അല്ലെങ്കിൽ −½. ഇത് മറ്റ് മൂന്നിനെയും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണം: ആറ് ക്വാണ്ടം സംഖ്യാ ഗണങ്ങൾ പരിശോധിക്കൽ

ഒരു ഗണം (n, l, mₗ, mₛ) പരിശോധിക്കാൻ, ക്രമത്തിൽ ഓരോ സംഖ്യയെയും അതിനു മുമ്പുള്ളതുമായി ഒത്തുനോക്കുക. ആദ്യ ലംഘനത്തിൽ നിർത്തുക.

(3, 3, 0, +½) അനുവദനീയമല്ല: l പരമാവധി n − 1 = 2 ആയിരിക്കണം. (4, 2, −3, −½) അനുവദനീയമല്ല: l = 2 ആകുമ്പോൾ mₗ −2 മുതൽ +2 വരെ മാത്രം. (3, 2, 1, 0) അനുവദനീയമല്ല: mₛ +½ അല്ലെങ്കിൽ −½ ആയിരിക്കണം, ഒരിക്കലും 0 അല്ല. (2, 1, −1, −½) അനുവദനീയമാണ്, ഒരു 2p ഓർബിറ്റലിലെ ഇലക്ട്രോണിനെ വിവരിക്കുന്നു. (5, 0, 0, +½) അനുവദനീയമാണ്, ഒരു 5s ഇലക്ട്രോണിനെ വിവരിക്കുന്നു. (4, 3, −3, +½) അനുവദനീയമാണ്, ഒരു 4f ഇലക്ട്രോണിനെ വിവരിക്കുന്നു.

അനുവദനീയമായ ഒരു ഗണത്തിൽ നിന്ന് ഓർബിറ്റലിന് പേരിടാൻ, n എഴുതി തുടർന്ന് l-നുള്ള അക്ഷരം എഴുതുക. mₗ-ന്റെ മൂല്യം ഉപഷെല്ലിനുള്ളിലെ ഒരു ഓർബിറ്റലിനെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, പക്ഷേ ഈ സൂചനാരീതിയിൽ അതിന്റെ പേര് മാറ്റുന്നില്ല.

ഒരു നിയന്ത്രണത്തിന് കീഴിൽ ഓർബിറ്റലുകളും ഇലക്ട്രോണുകളും എണ്ണൽ

അനുവദനീയമായ l മൂല്യങ്ങളും, തുടർന്ന് ഓരോന്നിനുമുള്ള mₗ മൂല്യങ്ങളും പട്ടികപ്പെടുത്തി, അതിനു ശേഷം മാത്രം നിയന്ത്രണം പ്രയോഗിച്ചാൽ എണ്ണൽ ചോദ്യങ്ങൾ പതിവ് ജോലിയാകും. ഓരോ ഓർബിറ്റലും, അതായത് അനുവദനീയമായ ഓരോ (n, l, mₗ) സംയോജനവും, രണ്ട് ഇലക്ട്രോണുകളെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ഓരോ സ്പിന്നിലും ഒന്നുവീതം.

മുഖ്യ ക്വാണ്ടം സംഖ്യ n ഉള്ള ഒരു ഷെല്ലിൽ n² ഓർബിറ്റലുകളും 2n² ഇലക്ട്രോണുകളുമുണ്ട്. n = 4-ന് l 0, 1, 2 അല്ലെങ്കിൽ 3 ആകാം, ഇത് 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ഓർബിറ്റലുകളും 32 ഇലക്ട്രോണുകളും നൽകുന്നു.

ഉദാഹരണം 3. ഒരു ആറ്റത്തിൽ n = 3, mₗ = +1 ഉള്ള എത്ര ഇലക്ട്രോണുകൾ ഉണ്ടാകാം? n = 3-നുള്ള l മൂല്യങ്ങൾ 0, 1, 2 ആണ്. l ≥ 1 ആകുമ്പോൾ മാത്രമേ mₗ = +1 സാധ്യമാകൂ, അതിനാൽ 3p-ൽ അത്തരം ഒരു ഓർബിറ്റലും 3d-ൽ ഒന്നുമുണ്ട്: രണ്ട് ഓർബിറ്റലുകൾ, നാല് ഇലക്ട്രോണുകൾ. n = 5, mₛ = +½ ഉള്ളവ എത്ര? ഷെൽ 5-ന് 5² = 25 ഓർബിറ്റലുകളുണ്ട്, ഓരോന്നിലും ഒരു +½ ഇലക്ട്രോൺ, അതിനാൽ 25. n = 4, l = 2 ഉള്ളവ എത്ര? അത് 4d ഉപഷെല്ലാണ്: 5 ഓർബിറ്റലുകളും 10 ഇലക്ട്രോണുകളും.

ഓർബിറ്റൽ ആകൃതികളും നോഡുകൾ എണ്ണലും

ψ-ഉം, അതിനാൽ ഇലക്ട്രോണിനെ കണ്ടെത്താനുള്ള സംഭാവ്യതയും, പൂജ്യമാകുന്ന ഇടമാണ് നോഡ്. ഒരു ഓർബിറ്റലിന് ആകെ n − 1 നോഡുകളുണ്ട്. അവയിൽ l എണ്ണം കോണീയ നോഡുകളാണ്, ന്യൂക്ലിയസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന തലങ്ങളോ കോണുകളോ; ശേഷിക്കുന്ന n − l − 1 എണ്ണം ആരീയ നോഡുകളാണ്, നിശ്ചിത ദൂരങ്ങളിലുള്ള ഗോളാകാര കവചങ്ങൾ. OpenStax Chemistry 2e (വിഭാഗം 6.3) ആരീയ-നോഡ് നിയമം നൽകുന്നു.

s ഓർബിറ്റലുകൾ (l = 0) കോണീയ നോഡുകളില്ലാത്ത ഗോളാകാരമാണ്, അതിനാൽ ഒരു 2s ഓർബിറ്റലിന് ഒരു ആരീയ നോഡും 3s ഓർബിറ്റലിന് രണ്ടുമുണ്ട്. p ഓർബിറ്റലുകൾക്ക് (l = 1) ന്യൂക്ലിയസിന്റെ എതിർവശങ്ങളിൽ രണ്ട് ദളങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു നോഡൽ തലവുമുണ്ട്; അവ ചൂണ്ടുന്ന അക്ഷമനുസരിച്ച് മൂന്നെണ്ണത്തെ pₓ, p_y, p_z എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുന്നു. d ഓർബിറ്റലുകൾക്ക് (l = 2) രണ്ട് കോണീയ നോഡുകളുണ്ട്. അവയിൽ നാലെണ്ണത്തിന് നാല് ദളങ്ങളുണ്ട്; അഞ്ചാമത്തേതായ d_z²-ന് z അക്ഷത്തിലൂടെ രണ്ട് ദളങ്ങളും നടുവിന് ചുറ്റും ഒരു വലയവുമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 4. ഒരു 3p ഓർബിറ്റലിന് 3 − 1 − 1 = 1 ആരീയ നോഡും 1 കോണീയ നോഡുമുണ്ട്. ഒരു 4d ഓർബിറ്റലിന് 1 ആരീയ നോഡും 2 കോണീയ നോഡുകളും, ആകെ 3. ഒരു 3d ഓർബിറ്റലിന് ആരീയ നോഡുകളില്ല, 6s ഓർബിറ്റലിന് 5 എണ്ണമുണ്ട്.

ഒരേ ഷെല്ലിലെ ഓർബിറ്റലുകൾ ഊർജത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുമ്പോൾ

ഹൈഡ്രജനിൽ ഊർജം n-നെ മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്നു, അതിനാൽ 3s, 3p, 3d എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേ ഊർജമാണ്. ഒന്നിലധികം ഇലക്ട്രോണുകളുള്ള ആറ്റങ്ങളിൽ മറ്റ് ഇലക്ട്രോണുകൾ ന്യൂക്ലിയസിനെ അസമമായി പരിരക്ഷിക്കുന്നു. ഒരു s ഇലക്ട്രോൺ അതേ ഷെല്ലിലെ p അല്ലെങ്കിൽ d ഇലക്ട്രോണിനെക്കാൾ ന്യൂക്ലിയസിനോട് അടുത്തേക്ക് തുളച്ചുകയറുന്നു, ന്യൂക്ലിയർ ചാർജ് കൂടുതൽ അനുഭവിക്കുന്നു, ഊർജത്തിൽ താഴ്ന്നതുമാണ്. ഫലം ഒരു ഷെല്ലിനുള്ളിലെ s < p < d < f വിഭജനമാണ്, ഇത് ഇലക്ട്രോൺ വിന്യാസ ഗൈഡിൽ വിവരിച്ച നിറയ്ക്കൽ ക്രമം നിശ്ചയിക്കുന്നു.

മൂന്ന് 2p ഓർബിറ്റലുകൾ പോലെ ഒരേ ഉപഷെല്ലിലെ ഓർബിറ്റലുകൾ ഒറ്റപ്പെട്ട ആറ്റത്തിൽ ഊർജത്തിൽ തുല്യമായി തുടരുന്നു. അവയെ ഡീജനറേറ്റ് (സമോർജ) ഓർബിറ്റലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു തന്മാത്രയിലോ ക്രിസ്റ്റലിലോ ചുറ്റുമുള്ള ആറ്റങ്ങൾക്ക് ആ സമോർജത തകർക്കാനാകും.

പരിശോധിക്കേണ്ട ക്വാണ്ടം സംഖ്യാ പിഴവുകൾ

മിക്കവാറും എല്ലാ പിശകുകളും പട്ടികപ്പെടുത്തൽ ഘട്ടം ഒഴിവാക്കുന്നതിൽ നിന്നാണ് വരുന്നത്. സംശയമുള്ളപ്പോൾ, എണ്ണുന്നതിനു മുമ്പ് അനുവദനീയമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും എഴുതുക.

• l-നെ n-ന് തുല്യമാക്കൽ. അനുവദനീയമായ ഏറ്റവും വലിയ l, n − 1 ആണ്, അതിനാൽ 1p അല്ലെങ്കിൽ 2d ഓർബിറ്റൽ ഇല്ല.
• mₗ മൂല്യങ്ങൾ −l മുതൽ +l വരെ എണ്ണുന്നതിന് പകരം 0 മുതൽ l വരെ എണ്ണൽ; ഇത് ഓർബിറ്റലുകളുടെ എണ്ണം കുറച്ചുകാണിക്കുന്നു.
• ചോദ്യം ഇലക്ട്രോണുകളെക്കുറിച്ചായിരിക്കുമ്പോൾ ഓർബിറ്റലുകൾ എണ്ണൽ, അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും. ഓരോ ഓർബിറ്റലും രണ്ട് ഇലക്ട്രോണുകളെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
• mₛ-ന് 0 അല്ലെങ്കിൽ 1 എന്ന മൂല്യം നൽകൽ. സ്പിൻ +½ അല്ലെങ്കിൽ −½ മാത്രമാണ്.
• n − l − 1-നെ നോഡുകളുടെ ആകെ എണ്ണമായി ഉപയോഗിക്കൽ. ആ സൂത്രവാക്യം ആരീയ നോഡുകളെ മാത്രമേ എണ്ണുന്നുള്ളൂ; ആകെ n − 1 ആണ്.
• 90% അതിർത്തി പ്രതലത്തെ ഒരു കൃത്യമായ അരികായി കണക്കാക്കൽ. ഇലക്ട്രോൺ സാന്ദ്രത സുഗമമായി മങ്ങിപ്പോകുന്നു, അതിന് കൃത്യമായ അതിർത്തിയില്ല.