Kvantu skaitļi un orbitāles: noteikumi, skaitīšana un formas

Elektroni kā viļņi: de Broļī viļņa garums

1924. gadā de Broļī ierosināja, ka jebkurai kustīgai daļiņai ir viļņa garums λ = h/(mv), kur h ir Planka konstante, m ir masa un v ir ātrums. Ikdienas priekšmetiem viļņa garums ir pārāk mazs, lai to pamanītu. 0.145 kg beisbola bumbai ar ātrumu 40.0 m/s λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Elektronam, kura masa ir 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), viļņa garums ir salīdzināms ar atoma izmēru.

Risinātais piemērs 1. Elektronam, kas kustas ar ātrumu 2.188 × 10⁶ m/s, λ = h/(mv). Ar CODATA vērtībām h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s un m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg iegūst λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m jeb 0.3324 nm. Tieši šo ātrumu Bora modelis piešķir elektronam ūdeņraža zemākajā orbītā, kuras rādiuss ir Bora rādiuss a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Orbītas garums ir 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, tāpēc tajā ietilpst tieši viens elektrona viļņa garums ar sakritību, kas labāka par 0.02%. Kvantēti enerģijas līmeņi rodas tad, kad elektrona vilnim jāietilpst savā telpā, nedzēšot pašam sevi, līdzīgi kā ģitāras stīga var svārstīties tikai ar noteiktām frekvencēm.

Nenoteiktība un fiksēto orbītu beigas

Heizenberga nenoteiktības princips ierobežo, cik precīzi vienlaikus var zināt koordinātu un impulsu: Δx·Δp ≥ ħ/2, kur ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Risinātais piemērs 2. Ierobežojiet elektronu apgabalā, kura platums ir 1.0 × 10⁻¹⁰ m, aptuveni atoma izmērā. Tad Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s un Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Ātruma nenoteiktība ir ievērojama daļa no paša ātruma, tāpēc noteiktai trajektorijai, kā planētas orbītai, elektronam atomā nav jēgas.

Kvantu mehānika trajektoriju aizstāj ar viļņu funkciju ψ. Tās kvadrāts ψ² ir varbūtības blīvums: reizināts ar neliela apgabala tilpumu, tas dod varbūtību atrast elektronu tur. Orbitāle ir viena elektrona viļņu funkcija, un pazīstamie orbitāļu attēli ir virsmas, kas ietver lielāko daļu šīs varbūtības, bieži 90%.

Pieļaujamās n, l, mₗ un mₛ vērtības

Atrisinot viļņu vienādojumu ūdeņraža atomam, iegūst trīs kvantu skaitļus, no kuriem katru ierobežo iepriekšējais. Ceturtais apraksta elektrona spinu. Ierobežojumos ir visa būtība.

• Galvenais kvantu skaitlis n = 1, 2, 3, …. Tas nosaka čaulu un ūdeņradī arī enerģiju. Lielāks n nozīmē lielāku orbitāli ar augstāku enerģiju.
• Orbitālais (impulsa momenta) kvantu skaitlis l = 0, 1, …, n − 1. Tas nosaka apakščaulu un formu: l = 0, 1, 2, 3 atbilst s, p, d, f.
• Magnētiskais kvantu skaitlis mₗ = −l, …, 0, …, +l, kas dod 2l + 1 vērtības. Tas nosaka orbitāles orientāciju telpā.
• Spina kvantu skaitlis mₛ = +½ vai −½. Tas nav atkarīgs no pārējiem trim.

Risināts piemērs: sešu kvantu skaitļu kopu pārbaude

Lai pārbaudītu kopu (n, l, mₗ, mₛ), pēc kārtas salīdziniet katru skaitli ar iepriekšējo. Apstājieties pie pirmā pārkāpuma.

(3, 3, 0, +½) nav pieļaujama: l var būt ne vairāk kā n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) nav pieļaujama: ja l = 2, mₗ ir tikai no −2 līdz +2. (3, 2, 1, 0) nav pieļaujama: mₛ jābūt +½ vai −½, nekad 0. (2, 1, −1, −½) ir pieļaujama un apraksta elektronu 2p orbitālē. (5, 0, 0, +½) ir pieļaujama un apraksta 5s elektronu. (4, 3, −3, +½) ir pieļaujama un apraksta 4f elektronu.

Lai nosauktu orbitāli pēc pieļaujamas kopas, uzrakstiet n un aiz tā burtu, kas atbilst l. mₗ vērtība izvēlas vienu orbitāli apakščaulā, bet šajā pierakstā nemaina tās nosaukumu.

Orbitāļu un elektronu skaitīšana ar ierobežojumu

Skaitīšanas jautājumi kļūst rutīnas darbs, ja vispirms izrakstāt pieļaujamās l vērtības, tad katrai mₗ vērtības un tikai pēc tam piemērojat ierobežojumu. Katrā orbitālē, tas ir, katrā pieļaujamā (n, l, mₗ) kombinācijā, ir divi elektroni, pa vienam ar katru spinu.

Čaulā ar galveno kvantu skaitli n ir n² orbitāles un 2n² elektroni. Ja n = 4, l var būt 0, 1, 2 vai 3, kas dod 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitāles un 32 elektronus.

Risinātais piemērs 3. Cik elektroniem atomā var būt n = 3 un mₗ = +1? Ja n = 3, l vērtības ir 0, 1 un 2. mₗ = +1 ir iespējams tikai tad, ja l ≥ 1, tāpēc ir viena šāda orbitāle 3p un viena 3d apakščaulā: divas orbitāles, četri elektroni. Cik elektroniem var būt n = 5 un mₛ = +½? 5. čaulā ir 5² = 25 orbitāles, katrā viens +½ elektrons, tātad 25. Cik elektroniem var būt n = 4 un l = 2? Tā ir 4d apakščaula: 5 orbitāles un 10 elektroni.

Orbitāļu formas un mezglu skaitīšana

Mezgls ir vieta, kur ψ un līdz ar to varbūtība atrast elektronu ir nulle. Orbitālei kopā ir n − 1 mezgli. No tiem l ir leņķiskie mezgli, plaknes vai konusi caur kodolu, un atlikušie n − l − 1 ir radiālie mezgli, sfēriskas čaulas noteiktos attālumos. OpenStax Chemistry 2e (6.3. sadaļa) dod radiālo mezglu noteikumu.

s orbitāles (l = 0) ir sfēriskas bez leņķiskiem mezgliem, tāpēc 2s orbitālei ir viens radiālais mezgls, bet 3s orbitālei divi. p orbitālēm (l = 1) ir divas daivas kodola pretējās pusēs ar vienu mezglplakni starp tām; trīs p orbitāles apzīmē ar pₓ, p_y un p_z pēc ass, gar kuru tās vērstas. d orbitālēm (l = 2) ir divi leņķiskie mezgli. Četrām no tām ir četras daivas; piektajai, d_z², ir divas daivas gar z asi un gredzens ap vidu.

Risinātais piemērs 4. 3p orbitālei ir 3 − 1 − 1 = 1 radiālais mezgls un 1 leņķiskais mezgls. 4d orbitālei ir 1 radiālais mezgls un 2 leņķiskie mezgli, kopā 3. 3d orbitālei radiālo mezglu nav, bet 6s orbitālei to ir 5.

Kad vienas čaulas orbitāļu enerģijas atšķiras

Ūdeņradī enerģija ir atkarīga tikai no n, tāpēc 3s, 3p un 3d enerģija ir vienāda. Atomos ar vairāk nekā vienu elektronu pārējie elektroni ekranē kodolu nevienmērīgi. s elektrons iespiežas tuvāk kodolam nekā tās pašas čaulas p vai d elektrons, izjūt lielāku daļu kodola lādiņa un tam ir zemāka enerģija. Rezultāts ir sašķelšanās s < p < d < f čaulas ietvaros, kas nosaka aizpildīšanas secību, aplūkotu ceļvedī par elektronu konfigurācijām.

Vienas apakščaulas orbitāles, piemēram, trīs 2p orbitāles, izolētā atomā saglabā vienādu enerģiju. Tās sauc par deģenerētām. Apkārtējie atomi molekulā vai kristālā var šo deģenerāciju novērst.

Kvantu skaitļu kļūdas, ko pārbaudīt

Gandrīz katra kļūda rodas, izlaižot izrakstīšanas soli. Ja šaubāties, pirms skaitīšanas izrakstiet katru pieļaujamo vērtību.

• Pieļaut, ka l ir vienāds ar n. Lielākā pieļaujamā l vērtība ir n − 1, tāpēc 1p vai 2d orbitāles nepastāv.
• mₗ vērtību skaitīšana no 0 līdz l, nevis no −l līdz +l, kas dod pārāk maz orbitāļu.
• Orbitāļu skaitīšana, kad jautājumā prasīti elektroni, vai otrādi. Katrā orbitālē ir divi elektroni.
• mₛ vērtības 0 vai 1 piešķiršana. Spins ir tikai +½ vai −½.
• n − l − 1 izmantošana kā kopējais mezglu skaits. Šī formula skaita tikai radiālos mezglus; kopējais skaits ir n − 1.
• 90% robežvirsmas uzskatīšana par cietu malu. Elektronu blīvums izzūd pakāpeniski, un tam nav asas robežas.