Kvantiniai skaičiai ir orbitalės: taisyklės, skaičiavimas ir formos

Elektronai kaip bangos: de Broilio bangos ilgis

1924 m. de Broilis pasiūlė, kad bet kuri judanti dalelė turi bangos ilgį λ = h/(mv), kur h yra Planko konstanta, m – masė, o v – greitis. Kasdieniams daiktams bangos ilgis yra per mažas, kad būtų pastebimas. 0.145 kg beisbolo kamuoliuko, skriejančio 40.0 m/s greičiu, λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Elektrono, kurio masė 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), bangos ilgis prilygsta atomo dydžiui.

1 išspręstas pavyzdys. Elektrono, judančio 2.188 × 10⁶ m/s greičiu, λ = h/(mv). Naudojant CODATA vertes h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s ir m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, arba 0.3324 nm. Būtent tokį greitį Boro modelis priskiria elektronui žemiausioje vandenilio orbitoje, kurios spindulys yra Boro spindulys, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Orbitos ilgis 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, todėl joje telpa vienas elektrono bangos ilgis, o sutapimas geresnis nei 0.02%. Kvantuoti energijos lygmenys gaunami tada, kai elektrono banga turi tilpti savo erdvėje nepanaikindama pati savęs, panašiai kaip gitaros styga gali virpėti tik tam tikrais dažniais.

Neapibrėžtumas ir pastovių orbitų pabaiga

Heizenbergo neapibrėžtumo principas riboja, kaip tiksliai kartu galima žinoti padėtį ir judesio kiekį: Δx·Δp ≥ ħ/2, kur ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

2 išspręstas pavyzdys. Apribokime elektroną 1.0 × 10⁻¹⁰ m pločio sritimi, maždaug atomo dydžio. Tada Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, o Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Greičio neapibrėžtis sudaro didelę paties greičio dalį, todėl apibrėžta trajektorija, kaip planetos orbita, atomo elektronui neturi prasmės.

Kvantinė mechanika trajektoriją pakeičia banginė funkcija ψ. Jos kvadratas ψ² yra tikimybės tankis: padaugintas iš mažos srities tūrio, jis duoda tikimybę rasti elektroną toje srityje. Orbitalė yra vieno elektrono banginė funkcija, o įprasti orbitalių paveikslėliai yra paviršiai, apgaubiantys didžiąją tos tikimybės dalį, dažnai 90%.

Leistinos n, l, mₗ ir mₛ vertės

Išsprendus vandenilio atomo banginę lygtį, gaunami trys kvantiniai skaičiai, kurių kiekvieną riboja prieš jį einantis. Ketvirtasis aprašo elektrono sukinį. Visa esmė – šie apribojimai.

• Pagrindinis kvantinis skaičius n = 1, 2, 3, …. Jis nustato sluoksnį, o vandenilio atveju – ir energiją. Didesnis n reiškia didesnę, aukštesnės energijos orbitalę.
• Orbitinis kvantinis skaičius l = 0, 1, …, n − 1. Jis nustato posluoksnį ir formą: l = 0, 1, 2, 3 atitinka s, p, d, f.
• Magnetinis kvantinis skaičius mₗ = −l, …, 0, …, +l, iš viso 2l + 1 vertė. Jis nustato orbitalės orientaciją erdvėje.
• Sukinio kvantinis skaičius mₛ = +½ arba −½. Jis nepriklauso nuo kitų trijų.

Išspręstas pavyzdys: šešių kvantinių skaičių rinkinių tikrinimas

Norėdami patikrinti rinkinį (n, l, mₗ, mₛ), kiekvieną skaičių iš eilės palyginkite su prieš jį einančiu. Sustokite ties pirmuoju pažeidimu.

(3, 3, 0, +½) neleistinas: l turi būti ne didesnis už n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) neleistinas: kai l = 2, mₗ kinta tik nuo −2 iki +2. (3, 2, 1, 0) neleistinas: mₛ turi būti +½ arba −½, niekada 0. (2, 1, −1, −½) leistinas ir aprašo elektroną 2p orbitalėje. (5, 0, 0, +½) leistinas ir aprašo 5s elektroną. (4, 3, −3, +½) leistinas ir aprašo 4f elektroną.

Norėdami pavadinti orbitalę pagal leistiną rinkinį, užrašykite n ir po jo l atitinkančią raidę. mₗ vertė parenka vieną posluoksnio orbitalę, bet šiame žymėjime jos pavadinimo nekeičia.

Orbitalių ir elektronų skaičiavimas esant apribojimui

Skaičiavimo klausimai tampa įprasta rutina, jei išrašote leistinas l vertes, tada kiekvienos mₗ vertes ir tik tada pritaikote apribojimą. Kiekvienoje orbitalėje, t. y. kiekvienoje leistinoje (n, l, mₗ) kombinacijoje, telpa du elektronai, po vieną su kiekvienu sukiniu.

Sluoksnyje, kurio pagrindinis kvantinis skaičius n, yra n² orbitalių ir 2n² elektronų. Kai n = 4, l gali būti 0, 1, 2 arba 3, todėl gaunama 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitalių ir 32 elektronai.

3 išspręstas pavyzdys. Kiek atomo elektronų gali turėti n = 3 ir mₗ = +1? Kai n = 3, l vertės yra 0, 1 ir 2. mₗ = +1 galimas tik kai l ≥ 1, todėl yra po vieną tokią orbitalę 3p ir 3d posluoksniuose: dvi orbitalės, keturi elektronai. Kiek elektronų gali turėti n = 5 ir mₛ = +½? 5 sluoksnyje yra 5² = 25 orbitalės, kiekvienoje po vieną +½ elektroną, taigi 25. Kiek elektronų gali turėti n = 4 ir l = 2? Tai 4d posluoksnis: 5 orbitalės ir 10 elektronų.

Orbitalių formos ir mazgų skaičiavimas

Mazgas yra vieta, kurioje ψ, taigi ir tikimybė rasti elektroną, lygi nuliui. Orbitalė iš viso turi n − 1 mazgų. Iš jų l yra kampiniai mazgai – plokštumos ar kūgiai, einantys per branduolį, o likę n − l − 1 yra radialiniai mazgai – sferiniai paviršiai tam tikrais atstumais. OpenStax Chemistry 2e (6.3 skyrius) pateikia radialinių mazgų taisyklę.

s orbitalės (l = 0) yra sferinės ir neturi kampinių mazgų, todėl 2s orbitalė turi vieną radialinį mazgą, o 3s orbitalė – du. p orbitalės (l = 1) turi dvi skiltis priešingose branduolio pusėse su viena mazgine plokštuma tarp jų; trys jų žymimos pₓ, p_y ir p_z pagal ašį, kuria jos nukreiptos. d orbitalės (l = 2) turi du kampinius mazgus. Keturios iš jų turi po keturias skiltis; penktoji, d_z², turi dvi skiltis išilgai z ašies ir žiedą per vidurį.

4 išspręstas pavyzdys. 3p orbitalė turi 3 − 1 − 1 = 1 radialinį mazgą ir 1 kampinį mazgą. 4d orbitalė turi 1 radialinį mazgą ir 2 kampinius mazgus, iš viso 3. 3d orbitalė radialinių mazgų neturi, o 6s orbitalė jų turi 5.

Kai to paties sluoksnio orbitalių energijos skiriasi

Vandenilio atveju energija priklauso tik nuo n, todėl 3s, 3p ir 3d energijos vienodos. Daugiaelektroniuose atomuose kiti elektronai branduolį ekranuoja netolygiai. s elektronas prasiskverbia arčiau branduolio nei to paties sluoksnio p ar d elektronas, jaučia didesnę branduolio krūvio dalį ir turi mažesnę energiją. Dėl to sluoksnio viduje susidaro skilimas s < p < d < f, kuris nustato užpildymo tvarką, aptartą elektronų konfigūracijų vadove.

To paties posluoksnio orbitalės, pavyzdžiui, trys 2p orbitalės, izoliuotame atome išlieka vienodos energijos. Jos vadinamos išsigimusiomis. Aplinkiniai atomai molekulėje ar kristale šį išsigimimą gali panaikinti.

Kvantinių skaičių klaidos, kurias verta patikrinti

Beveik kiekviena klaida kyla praleidus išrašymo žingsnį. Jei abejojate, prieš skaičiuodami išrašykite kiekvieną leistiną vertę.

• Leidimas l būti lygiam n. Didžiausia leistina l vertė yra n − 1, todėl 1p ar 2d orbitalių nėra.
• mₗ verčių skaičiavimas nuo 0 iki l, o ne nuo −l iki +l, dėl ko orbitalių suskaičiuojama per mažai.
• Orbitalių skaičiavimas, kai klausiama apie elektronus, arba atvirkščiai. Kiekvienoje orbitalėje telpa du elektronai.
• mₛ vertės 0 arba 1 priskyrimas. Sukinys yra tik +½ arba −½.
• n − l − 1 naudojimas kaip bendro mazgų skaičiaus. Ši formulė skaičiuoja tik radialinius mazgus; bendras skaičius yra n − 1.
• 90% ribinio paviršiaus laikymas griežta riba. Elektronų tankis mažėja tolygiai ir aštrios ribos neturi.