Dimensinė analizė ir vienetų perskaičiavimas

Kodėl perskaičiavimo koeficientas yra paslėptas vienetas

Lygybė, pavyzdžiui, 1 L = 1000 mL, sako, kad abi pusės aprašo tą patį kiekį. Todėl vieną pusę padalijus iš kitos gaunamas santykis, lygus lygiai 1: (1000 mL / 1 L) = 1 ir (1 L / 1000 mL) = 1. Padauginus dydį iš 1, dydis nepasikeičia, pasikeičia tik jo išraiška. Tai ir yra visas metodo pagrindimas.

Kadangi iš kiekvienos lygybės gaunami du santykiai, pasirenkate tą orientaciją, kuri suprastina turimą vienetą ir palieka norimą. Norėdami 0.355 L perskaičiuoti į mililitrus, užrašykite 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Litrai susiprastina, nes L pasirodo vieną kartą skaitiklyje ir vieną kartą vardiklyje. Jei vienetai nesusiprastina, koeficientas apverstas, ir tai žinote dar prieš atlikdami bet kokią aritmetiką.

Tikslios ir išmatuotos lygybės

Kai kurios lygybės yra apibrėžimai, todėl yra tikslios: kiekvienas SI priešdėlis (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ ir 1 colis = 2.54 cm. Tikslūs koeficientai niekada neriboja reikšminių skaitmenų. Kitos lygybės gaunamos matuojant, pavyzdžiui, tankis ar vienos monetos masė, ir jų reikšminiai skaitmenys skaičiuojami kaip ir bet kurios kitos išmatuotos vertės.

Priešdėlių koeficientai yra dažniausias apverstų koeficientų klaidų šaltinis. 1 µg = 10⁻⁶ g skaitykite taip: vienas mikrogramas yra milijonoji gramo dalis. Mažasis vienetas gauna 1, o didysis vienetas – mažą dešimties laipsnį; arba, lygiavertiškai, 1 g = 10⁶ µg. Užrašius 1 g = 10⁻⁶ µg, sąryšis atsiverčia 10¹² karto.

• Ilgis: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 colis = 2.54 cm (tiksliai).
• Tūris: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Masė: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Laikas: 1 h = 60 min = 3600 s.

Keli koeficientai vienoje eilutėje

Kai nėra vienos lygybės, jungiančios pradinį ir ieškomą vienetus, padauginkite koeficientų grandinę, kurioje kiekvienas koeficientas suprastina ankstesnio įvestą vienetą. Užrašius visą grandinę prieš skaičiuojant, susiprastinimą galima patikrinti vienu žvilgsniu ir išvengiama apvalinimo tarp žingsnių.

1 pavyzdys. Siurblys tiekia tirpiklį 1.75 mL/min greičiu. Koks tėkmės greitis litrais per valandą? Reikia pakeisti du vienetus: vieną skaitiklyje ir vieną vardiklyje. Užrašykite 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Mililitrai susiprastina, minutės susiprastina, lieka L/h. Aritmetika: 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Abu koeficientai tikslūs, todėl atsakymas išlaiko tris 1.75 mL/min reikšminius skaitmenis.

Čia praverčia greitas pagrįstumo patikrinimas: valanda yra 60 minučių, todėl tūris per valandą turi būti didesnis nei per minutę, apie 105 mL. Išreikštas litrais, tai maždaug dešimtadalis litro, o tai sutampa su 0.105 L/h.

Kvadratiniams ir kubiniams vienetams reikia kvadratinių ir kubinių koeficientų

Išvestinis vienetas, pavyzdžiui, cm³, reiškia cm × cm × cm. Jį perskaičiuojant ilgio koeficientą reikia taikyti po kartą kiekvienam matmeniui, o tai atliekama visą koeficientą, skaičių ir vienetą kartu, pakeliant atitinkamu laipsniu. (1 m / 100 cm)³ lygu 1 m³ / 10⁶ cm³, o ne 1 m³ / 100 cm³.

2 pavyzdys. Sandėliavimo spintos vidinis tūris yra 0.0465 m³. Išreikškite jį kubiniais centimetrais ir litrais. Kubiniais centimetrais: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. Litrais, naudokite 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Kaip kontrolė, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) taip pat duoda 46.5 L.

Greičiams ir kitiems sudėtiniams vienetams galioja ta pati logika. Slėgis N/m², greitis m/s ir koncentracija mol/L – kiekvieno vienetai perskaičiuojami atskirai, paisant laipsnių rodiklių.

Tankis kaip tiltas tarp masės ir tūrio

Tankis yra masė, padalyta iš tūrio, todėl jis veikia kaip perskaičiavimo koeficientas bet kuria orientacija: (g / mL) tūrį paverčia mase, o (mL / g) masę paverčia tūriu. Skirtingai nei priešdėlių koeficientai, tankis yra išmatuotas, priklauso nuo temperatūros ir riboja reikšminius skaitmenis.

3 pavyzdys. OpenStax Chemistry 2e (1.4 lentelė) nurodo, kad glicerino tankis netoli kambario temperatūros yra 1.26 g/cm³. Koks tūris glicerino turi 15.0 g? Apverskite tankį, kad gramai susiprastintų: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, o tai yra 11.9 mL, nes 1 cm³ = 1 mL tiksliai. Skaičiuotuvas rodo 11.905, o abu dydžiai turi tris reikšminius skaitmenis.

Dabar eikite atvirkščiai ilgesne grandine: kokia 2.50 L glicerino masė kilogramais? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Litras vandens sveria beveik 1 kg, o glicerinas yra šiek tiek tankesnis už vandenį, todėl šiek tiek daugiau nei 2.5 kg yra pagrįsta.

Temperatūros skalės ir kiti perskaičiavimai su postūmiu

Koeficientų ir vienetų metodas tinka proporcingiems sąryšiams, kai nulis viename vienete reiškia nulį kitame. Celsijaus, Farenheito ir kelvino skalės neturi bendro nulio, todėl temperatūrai perskaičiuoti reikia lygties su pridėtu postūmiu: T(K) = T(°C) + 273.15 ir T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Pavyzdžiui, 21.47 °C yra 21.47 + 273.15 = 294.62 K ir 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Temperatūros pokyčiai yra kitokie. 1 °C pokytis lygus 1 K pokyčiui ir 1.8 °F pokyčiui, be jokio postūmio, nes atimant dvi temperatūras postūmis išsiprastina. Atminkite šį skirtumą, kai šilumos ar greičio lygtyje naudojamas ΔT, o ne T.

Perskaičiavimo klaidos ir kaip jas pastebėti

Dimensinė analizė garantuoja, kad galutinis vienetas yra teisingas, jei kiekvienas koeficientas yra tikra lygybė. Ji negarantuoja, kad pasirinkote tinkamą dydį, todėl vienetų patikrą derinkite su dydžio įvertinimu.

Prieš dauginant nuspręskite, ar skaičius turėtų padidėti, ar sumažėti. Perskaičiuojant į mažesnį vienetą, pavyzdžiui, iš litrų į mililitrus, skaičius didėja; perskaičiuojant į didesnį vienetą, jis mažėja. Jei rezultatas pasikeičia netinkama kryptimi, koeficiente skaičiai sukeisti vietomis – būtent taip nutinka neteisingai prisiminus priešdėlį, net jei vienetai atrodo susiprastinantys.

• Apverstas koeficientas: jei išlieka vienetas, kurio norėjote atsikratyti, apverskite tą koeficientą.
• Sukeistas priešdėlis: patikrinkite, ar mažesnis vienetas turi didesnį skaičių, kaip 1 kg = 1000 g.
• Pamirštas laipsnis: ploto ir tūrio koeficientai turi būti pakelti kvadratu ar kubu, įskaitant skaičių.
• Vienetų praleidimas skaičiavimo viduryje: prie kiekvieno skaičiaus rašykite vienetus, kad trūkstamas susiprastinimas liktų matomas.
• Išmatuoto koeficiento laikymas tiksliu: tankis ar išmatuota vieno vienetinio objekto masė riboja reikšminius skaitmenis.
• Teisingi vienetai, bet bloga fizika: tirpalo gramai ir tirpinio gramai abu susiprastina kaip g, todėl prie kiekvieno dydžio nurodykite, ką jis aprašo.