핵화학: 결합 에너지, 붕괴 방식, 반감기

중성자 대 양성자 비와 안정성 띠

원자핵에는 양성자와 중성자가 들어 있으며, 이 둘을 함께 핵자라고 합니다. 양성자들은 서로 전기적으로 반발하고, 아주 짧은 거리에서만 작용하는 강한 핵력이 모든 핵자를 묶어 둡니다. 원자핵이 안정한지는 주로 양성자와 중성자 사이의 균형에 달려 있습니다.

안정한 핵종에 대해 중성자 수를 양성자 수에 대해 그리면 좁은 안정성 띠 안에 놓입니다. 가벼운 안정 원자핵은 둘의 수가 대략 같습니다. 질소-14는 각각 일곱 개입니다. 무거운 원자핵은 커지는 양성자 반발을 상쇄하려면 여분의 중성자가 필요합니다. OpenStax는 철-56의 n:p 비를 1.15, 납-207을 1.52로 제시합니다. 비스무트(Z = 83)보다 무거운 모든 원소의 모든 동위 원소는 방사성입니다.

띠를 벗어난 핵종은 띠 쪽으로 다가가는 방식으로 붕괴합니다. 아래의 붕괴 방식 목록에서 보듯이, 이 한 가지 생각으로 대부분의 붕괴 방식을 예측할 수 있습니다.

질량 결손과 핵 결합 에너지

원자핵은 그것을 이루는 양성자와 중성자를 따로 떼어 놓았을 때보다 질량이 작습니다. 없어진 질량, 곧 질량 결손은 E = mc²을 통해 핵 결합 에너지에 해당합니다. 원자 질량 단위로 나타내면 1 u는 931.494 MeV에 해당합니다(NIST의 CODATA 값).

풀이 예제 1. 헬륨-4의 결합 에너지를 구하십시오. 원자 질량을 쓰면 전자의 수가 맞춰집니다. 수소-1 원자 두 개가 양성자 두 개와 전자 두 개를 공급합니다. NIST는 ¹H를 1.007 825 032 u, ⁴He를 4.002 603 254 u로 싣고 있고, CODATA는 중성자를 1.008 664 916 u로 제시합니다. 따로 떨어진 입자: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. 질량 결손: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. 결합 에너지: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV, 즉 핵자당 7.074 MeV. OpenStax는 소수 넷째 자리로 반올림한 질량을 쓰므로 28.4 MeV를 인용하는데, 이는 큰 수 사이의 작은 차이가 반올림에 얼마나 민감한지 보여 줍니다.

한 몰로 환산하면 원자핵 하나당 28.30 MeV는 2.73 × 10¹² J/mol입니다. 메테인 한 몰을 태우면 약 890 kJ이 방출되므로(부록 G의 생성 엔탈피로부터), 핵자들로부터 헬륨-4가 만들어질 때는 몰당 대략 삼백만 배의 에너지가 방출됩니다. 핵자당 결합 에너지는 질량수 56 근처에서 가장 큽니다. OpenStax는 철-56에 대해 핵자당 8.820 MeV를 계산합니다. 그래서 가벼운 원자핵의 융합과 아주 무거운 원자핵의 분열이 모두 에너지를 방출합니다.

다섯 가지 붕괴 방식과 각각이 바꾸는 것

붕괴 방식마다 질량수 A와 원자 번호 Z를 정해진 방식으로 바꿉니다. 핵종이 띠의 어느 쪽에 있는지 알면 어떤 방식이 일어날 가능성이 높은지 알 수 있습니다.

• 알파 붕괴는 헬륨-4 원자핵 ⁴₂He를 방출합니다. A는 4, Z는 2만큼 줄어듭니다. 비스무트보다 무거운 원자핵에서 흔합니다.
• 베타 붕괴는 중성자가 양성자로 바뀌면서 전자 ⁰₋₁e를 방출합니다. A는 변하지 않고 Z는 1만큼 커집니다. 띠 위쪽에 있는, 중성자가 많은 핵종에서 일어납니다.
• 양전자 방출은 양성자가 중성자로 바뀌면서 양전자 ⁰₊₁e를 방출합니다. A는 변하지 않고 Z는 1만큼 줄어듭니다. 띠 아래쪽에 있는, 양성자가 많은 핵종에서 일어납니다.
• 전자 포획은 안쪽 전자 하나를 원자핵으로 끌어들이며, 그 전자가 양성자와 결합해 중성자가 됩니다. A는 변하지 않고 Z는 1만큼 줄어들며, 양전자 방출과 같은 변화입니다.
• 감마 방출은 들뜬 상태의 원자핵에서 에너지가 큰 광자 ⁰₀γ를 내보냅니다. A와 Z는 변하지 않습니다. 흔히 다른 방식에 뒤따릅니다.

A와 Z를 보존하여 핵반응식의 균형 맞추기

핵반응식은 질량수(위 첨자)의 합이 양쪽에서 같고 원자 번호(아래 첨자)의 합도 같을 때 균형이 맞습니다. 그러면 생성물의 원자 번호로 원소를 알아낼 수 있습니다.

우라늄-238은 알파 붕괴를 합니다. ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. 점검: 238 = 234 + 4이고 92 = 90 + 2입니다. 탄소-14는 베타 붕괴를 합니다. ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e이며, 6 = 7 + (−1)입니다. PET 검사에 쓰이는 플루오린-18은 양전자 방출을 합니다. ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. 칼륨-40은 전자 포획을 할 수 있으며, 이때 전자를 반응물로 씁니다. ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

모르는 입자를 찾으려면 빼면 됩니다. 토륨-234는 프로탁티늄-234로 붕괴합니다. ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. X에 대해 A = 234 − 234 = 0이고 Z = 90 − 91 = −1이므로 X는 ⁰₋₁e이고 이것은 베타 붕괴입니다. 이 예측은 띠와 들어맞습니다. 탄소-14의 n:p 비는 1.33으로 그렇게 가벼운 원자핵치고는 높으며, 베타 붕괴로 질소-14가 되면서 1.00이 됩니다.

일차 붕괴의 반감기 계산

방사성 붕괴는 일차 과정입니다. 처음 양이 얼마이든 주어진 시간 동안 남아 있는 원자핵의 같은 비율이 붕괴합니다. 반감기 t½는 원자핵의 절반이 붕괴하는 데 걸리는 시간입니다. 반감기는 온도, 압력, 화학적 형태와 사실상 무관하며, 그래서 연대 측정에 유용합니다. 시간 t 뒤에 남은 양은 N = N₀ × (½)^(t/t½)입니다. 같은 내용을 붕괴 상수 k = 0.693/t½를 써서 ln(N/N₀) = −kt로 나타낼 수 있습니다.

풀이 예제 2. 갑상샘 질환 치료에 쓰이는 아이오딘-131은 t½ = 8.02일입니다(OpenStax 표 21.2). 50.0 mg 시료가 30.0일 뒤에 얼마나 남을까요? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 반감기입니다. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. 빠른 어림으로 확인할 수 있습니다. 반감기 3번이 지나면 6.25 mg, 4번이 지나면 3.13 mg이 남으므로 답은 그 사이에 있어야 합니다.

풀이 예제 3. 플루오린-18은 t½ = 110. 분입니다. 방사능이 처음 값의 10.0퍼센트로 떨어지기까지 얼마나 걸릴까요? 방사능은 원자핵의 수에 비례하므로 (½)^(t/110.) = 0.100을 풉니다. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, 약 6.1시간입니다. 이렇게 시간이 짧기 때문에 플루오린-18은 사용하는 곳 가까이에서 만들어야 합니다.

풀이 예제: 나무 유물의 방사성 탄소 연대 측정

살아 있는 생물은 주변 환경과 탄소를 주고받아 탄소-14 대 탄소-12의 비를 일정하게 유지합니다. 죽은 뒤에는 탄소-14가 t½ = 5730년(OpenStax 21.3절)으로 붕괴하고 보충되지 않으므로 그 비가 예측 가능한 방식으로 줄어듭니다.

어떤 나무 도구에는 살아 있는 나무에 있는 탄소-14의 28.0퍼센트가 들어 있습니다. 0.280 = (½)^(t/5730 y)를 풉니다. 로그를 취하면 t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴년, 곧 반감기 약 1.84번입니다. 어림으로 확인합니다. 반감기가 한 번 지나면 50퍼센트, 두 번 지나면 25퍼센트가 남으며, 28.0퍼센트는 두 번에 조금 못 미칩니다.

OpenStax에 따르면 이 방법은 약 30 000년까지 정확하고, 최대 약 50 000년까지 합리적인 연대를 줍니다. 그보다 오래되면 남은 탄소-14가 너무 적어 믿을 만하게 측정할 수 없습니다. 실제 방사성 탄소 연대는 과거 대기 중 탄소-14의 변화에 대해서도 보정합니다.

핵반응식과 붕괴 계산의 오류

두 가지 점검으로 대부분의 문제를 잡을 수 있습니다. 모든 반응식에서 A와 Z의 균형을 따로 맞추고, 계산기를 쓰기 전에 반감기가 몇 번 지났는지 어림하십시오.

• 베타 변화와 양전자 변화를 뒤바꾸는 것. 베타 붕괴는 Z를 1만큼 높이고, 양전자 방출과 전자 포획은 1만큼 낮춥니다.
• 질량수의 균형은 맞추고 원자 번호는 맞추지 않거나 그 반대로 하는 것.
• 전자를 고려하지 않고 원자 질량에서 맨 양성자의 질량을 빼는 것. 수소-1의 원자 질량을 쓰면 이 문제를 피할 수 있습니다.
• 처음 양을 거듭 반으로 줄이지 않고 반감기 횟수로 나누는 것.
• 반감기는 일 단위로, 경과 시간은 시간 단위로 쓰는 것처럼 시간 단위를 섞는 것.
• 질량 결손 계산에서 차이를 구하기 전에 질량을 반올림하는 것.