차원 분석과 단위 환산

환산 인자가 1의 다른 모습인 이유

1 L = 1000 mL 같은 등식은 양쪽이 같은 양을 나타낸다는 뜻입니다. 따라서 한쪽을 다른 쪽으로 나누면 정확히 1인 비가 얻어집니다. (1000 mL / 1 L) = 1이고 (1 L / 1000 mL) = 1입니다. 어떤 양에 1을 곱해도 양은 변하지 않고 표현 방식만 바뀝니다. 이것이 이 방법의 근거 전부입니다.

등식 하나에서 비가 두 개 나오므로, 가지고 있는 단위는 약분하고 구하려는 단위는 남기는 방향을 고릅니다. 0.355 L를 밀리리터로 바꾸려면 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL로 씁니다. L가 분자에 한 번, 분모에 한 번 나타나므로 리터가 약분됩니다. 단위가 약분되지 않으면 인자가 거꾸로 된 것이며, 계산하기 전에 이를 알 수 있습니다.

정확한 등식과 측정에서 나온 등식

어떤 등식은 정의이므로 정확합니다. 모든 SI 접두어(1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1인치 = 2.54 cm가 그렇습니다. 정확한 인자는 유효숫자를 제한하지 않습니다. 밀도나 동전 하나의 질량처럼 측정에서 나온 등식도 있으며, 그 유효숫자는 다른 측정값과 똑같이 셉니다.

접두어 인자는 거꾸로 쓰는 실수가 가장 흔한 원인입니다. 1 µg = 10⁻⁶ g은 1 마이크로그램이 1그램의 백만분의 일이라는 뜻으로 읽으십시오. 작은 단위에 1이 붙고 큰 단위에 작은 10의 거듭제곱이 붙으며, 같은 말로 1 g = 10⁶ µg입니다. 1 g = 10⁻⁶ µg로 쓰면 관계가 10¹²배만큼 뒤바뀝니다.

• 길이: 1 m = 100 cm = 1000 mm, 1인치 = 2.54 cm(정확한 값).
• 부피: 1 L = 1000 mL = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1 m³ = 1000 L.
• 질량: 1 kg = 1000 g, 1 mg = 10⁻³ g, 1 µg = 10⁻⁶ g.
• 시간: 1 h = 60 min = 3600 s.

여러 인자를 한 줄로 이어 쓰기

시작 단위와 목표 단위를 직접 잇는 등식이 없을 때는 인자들을 연쇄적으로 곱하며, 각 인자는 바로 앞 인자가 만든 단위를 약분합니다. 계산하기 전에 사슬 전체를 써 두면 약분을 한눈에 확인할 수 있고 단계 사이의 반올림도 피할 수 있습니다.

풀이 예제 1. 펌프가 용매를 1.75 mL/min으로 공급합니다. 유량은 시간당 몇 리터일까요? 분자의 단위 하나와 분모의 단위 하나, 두 단위를 바꿔야 합니다. 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h)로 세웁니다. 밀리리터가 약분되고 분이 약분되어 L/h가 남습니다. 계산은 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h입니다. 두 인자 모두 정확한 값이므로 답은 1.75 mL/min의 유효숫자 세 개를 그대로 유지합니다.

여기서는 간단한 타당성 점검이 도움이 됩니다. 한 시간은 60분이므로 시간당 부피는 분당 부피보다 커야 하며 약 105 mL입니다. 이를 리터로 나타내면 대략 0.1 L이므로 0.105 L/h와 일치합니다.

제곱 단위와 세제곱 단위에는 제곱과 세제곱한 인자가 필요합니다

cm³ 같은 유도 단위는 cm × cm × cm를 뜻합니다. 이를 환산하려면 각 차원마다 길이 인자를 한 번씩 적용해야 하며, 숫자와 단위를 모두 포함한 인자 전체를 해당 거듭제곱으로 올리면 됩니다. (1 m / 100 cm)³은 1 m³ / 100 cm³가 아니라 1 m³ / 10⁶ cm³입니다.

풀이 예제 2. 보관함의 내부 부피가 0.0465 m³입니다. 이를 세제곱센티미터와 리터로 나타내십시오. 세제곱센티미터로는 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³입니다. 리터로는 1 m³ = 1000 L를 써서 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L입니다. 검산으로 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL)도 46.5 L가 됩니다.

속도 같은 비율과 그 밖의 복합 단위도 같은 논리를 따릅니다. N/m² 단위의 압력, m/s 단위의 속력, mol/L 단위의 농도는 각각 단위마다 따로 환산하되 지수를 지켜야 합니다.

질량과 부피를 잇는 다리로서의 밀도

밀도는 질량을 부피로 나눈 값이므로 어느 방향으로든 환산 인자로 쓸 수 있습니다. (g / mL)는 부피를 질량으로, (mL / g)는 질량을 부피로 바꿉니다. 접두어 인자와 달리 밀도는 측정값이고 온도에 따라 달라지며 유효숫자를 제한합니다.

풀이 예제 3. OpenStax Chemistry 2e(표 1.4)는 실온 부근에서 글리세린의 밀도를 1.26 g/cm³로 제시합니다. 글리세린 15.0 g의 부피는 얼마일까요? 그램이 약분되도록 밀도를 뒤집습니다. 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³이고, 1 cm³ = 1 mL가 정확히 성립하므로 이는 11.9 mL입니다. 계산기에는 11.905가 표시되며, 두 입력값의 유효숫자는 모두 세 개입니다.

이제 더 긴 사슬로 반대 방향을 계산해 봅시다. 글리세린 2.50 L의 질량은 킬로그램으로 얼마일까요? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg입니다. 물 1 L의 질량은 1 kg에 가깝고 글리세린은 물보다 조금 더 밀도가 크므로, 2.5 kg보다 약간 큰 값이 타당합니다.

온도 눈금과 오프셋이 있는 그 밖의 환산

인자-단위법은 한 단위의 0이 다른 단위에서도 0인 비례 관계를 다룹니다. 섭씨, 화씨, 켈빈 눈금은 0이 같지 않으므로 온도를 환산하려면 오프셋이 더해지는 식이 필요합니다. T(K) = T(°C) + 273.15, T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32입니다. 예를 들어 21.47 °C는 21.47 + 273.15 = 294.62 K이고 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F입니다.

온도 변화는 다릅니다. 두 온도를 뺄 때 오프셋이 상쇄되므로, 1 °C의 변화는 오프셋 없이 1 K의 변화이자 1.8 °F의 변화와 같습니다. 열이나 속도 방정식이 T가 아니라 ΔT를 쓰는 경우에는 이 차이를 염두에 두십시오.

환산 실수와 이를 잡아내는 방법

모든 인자가 진짜 등식이라면 차원 분석은 최종 단위가 옳다는 것을 보장합니다. 그러나 올바른 양을 골랐다는 것까지 보장하지는 않으므로, 단위 점검에 크기 어림을 함께 하십시오.

곱하기 전에 숫자가 커져야 하는지 작아져야 하는지 판단하십시오. 리터에서 밀리리터로처럼 더 작은 단위로 바꾸면 숫자가 커지고, 더 큰 단위로 바꾸면 숫자가 작아집니다. 결과가 엉뚱한 방향으로 움직였다면 어떤 인자의 숫자가 뒤바뀐 것이며, 접두어를 잘못 기억했을 때 단위가 약분되는 것처럼 보여도 바로 그런 일이 생깁니다.

• 뒤집힌 인자: 없애려던 단위가 남아 있으면 그 인자를 뒤집으십시오.
• 뒤바뀐 접두어: 1 kg = 1000 g처럼 더 작은 단위의 수가 더 큰지 확인하십시오.
• 거듭제곱을 잊는 것: 넓이와 부피의 인자는 숫자까지 포함해 제곱하거나 세제곱해야 합니다.
• 계산 도중 단위를 빼먹는 것: 약분이 빠진 곳이 눈에 띄도록 모든 수에 단위를 쓰십시오.
• 측정된 인자를 정확한 값으로 취급하는 것: 밀도나 개당 측정 질량은 유효숫자를 제한합니다.
• 단위는 맞지만 물리적 의미가 틀린 것: 용액의 그램과 용질의 그램은 모두 g로 약분되므로, 각 양에 그것이 무엇을 나타내는지 표시하십시오.