ಸಮಾಕಲಿತ ದರ ನಿಯಮಗಳು: ಗಾಢತೆ, ಸಮಯ ಮತ್ತು ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ

ದರ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿ ಗಾಢತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

rate = k[A] ನಂತಹ ಅವಕಲ ದರ ನಿಯಮ ದರವನ್ನು ಒಂದು ಕ್ಷಣದ ಗಾಢತೆಗೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆ ನಡೆದಂತೆ [A] ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದರವೂ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ದರ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮಯದುದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಾಕಲನ ಮಾಡಿದರೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಿಲ್ಲದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಂತ, ಆರಂಭಿಕ ಗಾಢತೆ [A]₀ ಮತ್ತು ದರ ಸ್ಥಿರಾಂಕ k ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಯ t ಯಲ್ಲಿ [A] ಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ, ದರವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯಾಕಾರಿ A ಯ ಗಾಢತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಇತರ ಕ್ರಿಯಾಕಾರಿಗಳು ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿವೆಯೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಗಾಢತೆಗಳು ಬಹುತೇಕ ಬದಲಾಗದಿದ್ದಾಗಲೂ ಅವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹುಸಿ-ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕ (ಅಥವಾ ಹುಸಿ-ಶೂನ್ಯ-ಕ್ರಮಾಂಕ) ವರ್ತನೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇಡಬೇಕಾದ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರತಿ ಸಮಾಕಲಿತ ದರ ನಿಯಮವನ್ನು x-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಮಯವಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆ, y = mx + b, ರೂಪಕ್ಕೆ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ, t½, ಎಂದರೆ [A] ತನ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯ. ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ [A] = ½[A]₀ ಎಂದು ಇಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ ಮಾತ್ರ ಗಾಢತೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ. ವಿಕಿರಣಶೀಲ ಕ್ಷಯವೂ ಸೇರಿದಂತೆ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವುಗಳ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಆ ಒಂದೇ ಸಂಗತಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

• ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮಾಂಕ: [A] = [A]₀ − kt. t ಗೆ ಎದುರಾಗಿ [A] ನ ನಕ್ಷೆ −k ಇಳಿಜಾರಿನ ಸರಳ ರೇಖೆ. ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ: t½ = [A]₀/(2k), ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿದಂತೆ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
• ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕ: ln[A] = ln[A]₀ − kt, ಅಥವಾ [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ. t ಗೆ ಎದುರಾಗಿ ln[A] ನ ನಕ್ಷೆ −k ಇಳಿಜಾರಿನ ಸರಳ ರೇಖೆ. ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ: t½ = ln 2 / k = 0.693/k, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಒಂದೇ.
• ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt. t ಗೆ ಎದುರಾಗಿ 1/[A] ನ ನಕ್ಷೆ +k ಇಳಿಜಾರಿನ ಸರಳ ರೇಖೆ. ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ: t½ = 1/(k[A]₀), ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯವೂ ಹಿಂದಿನದರ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉದ್ದ.

ಬಿಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆ: ಸೈಕ್ಲೋಬ್ಯೂಟೇನ್, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಘಟನೆ

OpenStax ವಿಭಾಗ 12.4 ಸೈಕ್ಲೋಬ್ಯೂಟೇನ್‌ನ ವಿಘಟನೆ, C₄H₈ → 2 C₂H₄, ಗೆ 500 °C ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ದರ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ ಎಂದು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s, k ಗೆ ಹೊಂದುವಂತೆ ಎರಡು ಸಾರ್ಥಕ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ.

3.00 min ನಂತರ ಸೈಕ್ಲೋಬ್ಯೂಟೇನ್‌ನ ಯಾವ ಭಾಗ ಉಳಿದಿದೆ? k s⁻¹ ನಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲು ಸಮಯವನ್ನು ಸೆಕೆಂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: t = 180 s. ಘಾತಾಂಕ kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656, ಆದ್ದರಿಂದ [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e ಯ −1.656 ಘಾತ = 0.19, ಮತ್ತು 19 ಶೇಕಡಾ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಗಾಢತೆ 0.0800 mol/L ಆಗಿದ್ದರೆ, [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L. ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಗಾಢತೆ ಬೇಕಾಗಲಿಲ್ಲ. ಅದು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸತ್ಯ.

ಮೂಲ ಪ್ರಮಾಣದ 5.0 ಶೇಕಡಾಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕು? t = ln([A]₀/[A]) / k ಎಂದು ಮರುಜೋಡಿಸಿ = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s, ಸುಮಾರು 5.4 min. ಪರಿಶೀಲನೆಯಾಗಿ, ಅದು ಸುಮಾರು 4.3 ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು (½)⁴·³ ≈ 0.05.

ಬಿಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆ: ಬ್ಯೂಟಾಡೈಯೀನ್ ದ್ವಿಮಾನೀಕರಣ, ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ರಿಯೆ

ಬ್ಯೂಟಾಡೈಯೀನ್ ಅಣುಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ, 2 C₄H₆ → C₈H₁₂, ಇದು ಬ್ಯೂಟಾಡೈಯೀನ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ರಿಯೆ. OpenStax ವಿಭಾಗ 12.4 ಅದು ವಿವರಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.

ಮೊದಲ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min. ಎರಡನೇ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ 0.0250 mol/L ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min ಇರುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉದ್ದ. ಗಾಢತೆ ಇಳಿದಂತೆ ಬೆಳೆಯುವ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುರುತು.

2.00 h ನಂತರದ ಗಾಢತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಏಕಮಾನಗಳು k ಗೆ ಹೊಂದುವಂತೆ ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ: t = 120 min. 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol, ಆದ್ದರಿಂದ [A] = 0.0372 mol/L. ಮೊದಲ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾದಂತೆ, ಉತ್ತರ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.

ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು

ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ರಿಯೆಗೆ, n ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಗಳ ನಂತರ ಉಳಿಯುವ ಭಾಗ (½)ⁿ. ಒಂದು ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯದ ನಂತರ 50 ಶೇಕಡಾ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ; ಎರಡರ ನಂತರ 25 ಶೇಕಡಾ; ಮೂರರ ನಂತರ 12.5 ಶೇಕಡಾ. ಗುರಿ ಗಾಢತೆ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಧೀಕರಣಗಳಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಲಘುಗಣಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು ನೀವು ಎಣಿಸಬಹುದು.

ಬಿಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆ. OpenStax ವಿಭಾಗ 12.4 ರ ಪ್ರಕಾರ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪೆರಾಕ್ಸೈಡ್ 40 °C ನಲ್ಲಿ 2.16 × 10⁴ s, ಅಂದರೆ 6.00 h, ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ವಿಘಟನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ದರ ಸ್ಥಿರಾಂಕ k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹. 0.800 mol/L ನಿಂದ 0.100 mol/L ಗೆ ಹೋಗುವುದು ಮೂರು ಅರ್ಧೀಕರಣಗಳು (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100), ಆದ್ದರಿಂದ ಅದಕ್ಕೆ 3 × 6.00 h = 18.0 h ಬೇಕು.

0.800 mol/L ನಿಂದ 0.150 mol/L ಗೆ ಎಣಿಕೆ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s, ಅಥವಾ 14.5 h. ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ, ಅದು ಎರಡು ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಗಳು (12.0 h) ಮತ್ತು ಮೂರು (18.0 h) ನಡುವೆ ಬರುತ್ತದೆ.

ಗಾಢತೆ–ಸಮಯ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಕ್ರಮಾಂಕವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು

ಹಲವು ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆದ ಗಾಢತೆಗಳು ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ [A], ln[A] ಮತ್ತು 1/[A] ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮಾನ ಸಮಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಿ. ನೈಜ, ಗದ್ದಲದ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ, ಮೂರನ್ನೂ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿ ಅತ್ಯಂತ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ, ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಹೊಂದಿಕೆಗಳ ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.

ಬಿಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆ. ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. t = 0, 50, 100, 150 ಮತ್ತು 200 s ನಲ್ಲಿ, [A] = 0.1000, 0.0667, 0.0500, 0.0400 ಮತ್ತು 0.0333 mol/L. ಪ್ರತಿ 50 s ಹಂತದಲ್ಲಿ [A] ಯಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆಗಳು 0.0333, 0.0167, 0.0100 ಮತ್ತು 0.0067 mol/L, ಇವು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆ ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮಾಂಕವಲ್ಲ. ln[A] ಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು −0.405, −0.288, −0.223 ಮತ್ತು −0.183, ಇವೂ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕವಲ್ಲ. 1/[A] ಮೌಲ್ಯಗಳು 10.0, 15.0, 20.0, 25.0 ಮತ್ತು 30.0 L/mol, ಪ್ರತಿ 50 s ಗೆ 5.0 L/mol ಏರುತ್ತವೆ. ಕ್ರಿಯೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ, ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯಗಳು ಕ್ರಮಾಂಕವನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುತ್ತವೆ. [A] 100 s ನಲ್ಲಿ 0.100 ರಿಂದ 0.0500 mol/L ಗೆ ಇಳಿಯಿತು, ಮತ್ತು 0.0250 mol/L ಗೆ ಮುಂದಿನ ಅರ್ಧೀಕರಣಕ್ಕೆ 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s ಬೇಕು ಎಂದು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸೂತ್ರ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಕಲಿತ ದರ ನಿಯಮದ ಉತ್ತರಗಳು ಎಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುತ್ತವೆ

ಹೆಚ್ಚಿನ ತಪ್ಪುಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆ ಏನೆಂದರೆ ನೀವು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಪ್ರತಿ ಗಾಢತೆಯೂ [A]₀ ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು.

• ಕ್ರಮಾಂಕವನ್ನು ನೀವು ದೃಢಪಡಿಸದ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
• ಸಮಯ ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸುವುದು: s⁻¹ ನಲ್ಲಿನ k ಅನ್ನು ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿನ t ಯೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಿದರೆ kt ಮೌಲ್ಯ 60 ರ ಅಂಶದಷ್ಟು ತಪ್ಪುತ್ತದೆ.
• ln([A]/[A]₀) = kt ಎಂದು ಬರೆದು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಇದು ಗಾಢತೆ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬೆಳೆಯುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
• ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ln (ಆಧಾರ e) ಬೇಕಾದಲ್ಲಿ log (ಆಧಾರ 10) ಬಳಸುವುದು.
• ಅರ್ಧಾಯುಷ್ಯ ಗಾಢತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ರಿಯೆಗೆ t½ = 0.693/k ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು.
• 1/[A] ನಕ್ಷೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು −k ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರು +k.