Chimica nucleare: energia di legame, modi di decadimento e tempi di dimezzamento

Rapporto neutroni/protoni e fascia di stabilità

Un nucleo contiene protoni e neutroni, chiamati insieme nucleoni. I protoni si respingono elettricamente, e la forza nucleare forte, che agisce solo su distanze molto brevi, tiene insieme tutti i nucleoni. La stabilità di un nucleo dipende principalmente dall'equilibrio tra protoni e neutroni.

Se riporti in grafico i neutroni in funzione dei protoni per i nuclidi stabili, questi cadono in una stretta fascia di stabilità. I nuclei stabili leggeri hanno all'incirca lo stesso numero di ciascuno: l'azoto-14 ne ha sette di ciascun tipo. I nuclei più pesanti hanno bisogno di neutroni in più per compensare la crescente repulsione tra i protoni. OpenStax riporta un rapporto n:p di 1.15 per il ferro-56 e di 1.52 per il piombo-207. Ogni isotopo di ogni elemento oltre il bismuto (Z = 83) è radioattivo.

Un nuclide al di fuori della fascia decade in un modo che lo avvicina alla fascia. Questa sola idea prevede la maggior parte dei modi di decadimento, come mostra l'elenco dei modi di decadimento più sotto.

Difetto di massa ed energia di legame nucleare

Un nucleo ha una massa minore dei protoni e dei neutroni separati di cui è composto. La massa mancante, il difetto di massa, corrisponde all'energia di legame nucleare attraverso E = mc². In unità di massa atomica, 1 u equivale a 931.494 MeV (valore CODATA del NIST).

Esempio svolto 1. Trova l'energia di legame dell'elio-4. Usare le masse atomiche mantiene bilanciati gli elettroni: due atomi di idrogeno-1 forniscono i due protoni e i due elettroni. Il NIST riporta 1.007 825 032 u per ¹H e 4.002 603 254 u per ⁴He, e CODATA dà 1.008 664 916 u per il neutrone. Particelle separate: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Difetto di massa: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Energia di legame: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV, ovvero 7.074 MeV per nucleone. OpenStax cita 28.4 MeV perché usa masse arrotondate a quattro cifre decimali, il che mostra quanto una piccola differenza tra numeri grandi sia sensibile all'arrotondamento.

Riportati a una mole, 28.30 MeV per nucleo corrispondono a 2.73 × 10¹² J/mol. La combustione di una mole di metano libera circa 890 kJ (dalle entalpie di formazione dell'Appendice G), quindi formare elio-4 dai suoi nucleoni libera circa tre milioni di volte più energia per mole. L'energia di legame per nucleone è massima vicino al numero di massa 56; OpenStax calcola 8.820 MeV per nucleone per il ferro-56. È per questo che sia la fusione di nuclei leggeri sia la scissione di nuclei molto pesanti liberano energia.

Cinque modi di decadimento e che cosa cambia ciascuno

Ogni modo di decadimento cambia il numero di massa A e il numero atomico Z in modo fisso. Sapere da quale lato della fascia si trova un nuclide ti dice quali modi sono probabili.

• Il decadimento alfa emette un nucleo di elio-4, ⁴₂He. A diminuisce di 4 e Z di 2. È comune nei nuclei pesanti oltre il bismuto.
• Il decadimento beta emette un elettrone, ⁰₋₁e, mentre un neutrone diventa un protone. A resta invariato e Z aumenta di 1. Avviene nei nuclidi ricchi di neutroni al di sopra della fascia.
• L'emissione di positroni emette un positrone, ⁰₊₁e, mentre un protone diventa un neutrone. A resta invariato e Z diminuisce di 1. Avviene nei nuclidi ricchi di protoni al di sotto della fascia.
• La cattura elettronica attira un elettrone interno nel nucleo, dove si combina con un protone formando un neutrone. A resta invariato e Z diminuisce di 1, la stessa variazione dell'emissione di positroni.
• L'emissione gamma libera un fotone ad alta energia, ⁰₀γ, da un nucleo in uno stato eccitato. A e Z restano invariati. Spesso accompagna gli altri modi.

Bilanciare un'equazione nucleare conservando A e Z

Un'equazione nucleare è bilanciata quando i numeri di massa (apici) danno lo stesso totale su entrambi i lati e lo stesso vale per i numeri atomici (pedici). Il numero atomico del prodotto identifica allora l'elemento.

L'uranio-238 subisce un decadimento alfa: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Verifica: 238 = 234 + 4 e 92 = 90 + 2. Il carbonio-14 subisce un decadimento beta: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, dove 6 = 7 + (−1). Il fluoro-18, usato nelle scansioni PET, subisce emissione di positroni: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Il potassio-40 può subire cattura elettronica, con l'elettrone scritto come reagente: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

Per trovare una particella sconosciuta, sottrai. Il torio-234 decade a protoattinio-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. Per X, A = 234 − 234 = 0 e Z = 90 − 91 = −1, quindi X è ⁰₋₁e e si tratta di un decadimento beta. Le previsioni sono coerenti con la fascia: il carbonio-14 ha un rapporto n:p di 1.33, alto per un nucleo così leggero, e il decadimento beta lo porta a 1.00 nell'azoto-14.

Calcoli con il tempo di dimezzamento per un decadimento del primo ordine

Il decadimento radioattivo è un processo del primo ordine: in un dato tempo decade la stessa frazione dei nuclei rimanenti, qualunque sia la quantità iniziale. Il tempo di dimezzamento, t½, è il tempo necessario perché decada metà dei nuclei. È praticamente indipendente da temperatura, pressione e forma chimica, ed è questo che lo rende utile per la datazione. La quantità rimanente dopo un tempo t è N = N₀ × (½)^(t/t½). In modo equivalente, ln(N/N₀) = −kt con costante di decadimento k = 0.693/t½.

Esempio svolto 2. Lo iodio-131, usato per trattare le malattie della tiroide, ha t½ = 8.02 giorni (Tabella 21.2 di OpenStax). Quanto rimane di un campione di 50.0 mg dopo 30.0 giorni? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 tempi di dimezzamento. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. Una stima rapida lo conferma: dopo 3 tempi di dimezzamento resterebbero 6.25 mg e dopo 4 tempi di dimezzamento 3.13 mg, quindi la risposta deve trovarsi tra i due valori.

Esempio svolto 3. Il fluoro-18 ha t½ = 110. minuti. Quanto tempo ci vuole perché la sua attività scenda al 10.0 per cento del valore iniziale? L'attività è proporzionale al numero di nuclei, quindi risolvi (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, circa 6.1 ore. Questa breve finestra è il motivo per cui il fluoro-18 deve essere prodotto vicino al luogo in cui viene usato.

Esempio svolto: datazione al radiocarbonio di un manufatto in legno

Gli organismi viventi mantengono un rapporto costante tra carbonio-14 e carbonio-12 scambiando carbonio con l'ambiente. Dopo la morte, il carbonio-14 decade con t½ = 5730 anni (sezione 21.3 di OpenStax) e non viene sostituito, quindi il rapporto diminuisce in modo prevedibile.

Un utensile di legno contiene il 28.0 per cento del carbonio-14 presente nel legno vivo. Risolvi 0.280 = (½)^(t/5730 y). Passando ai logaritmi si ottiene t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ anni, ovvero circa 1.84 tempi di dimezzamento. Verifica la stima: dopo un tempo di dimezzamento resta il 50 per cento e dopo due il 25 per cento, e il 28.0 per cento si trova poco prima di due.

OpenStax afferma che il metodo è accurato fino a circa 30 000 anni e fornisce date ragionevoli fino a un massimo di circa 50 000 anni. Oltre questo limite, rimane troppo poco carbonio-14 per misurarlo in modo affidabile. Le età reali al radiocarbonio vengono anche corrette per le variazioni passate del carbonio-14 atmosferico.

Errori nelle equazioni nucleari e nei calcoli sul decadimento

Due controlli individuano la maggior parte dei problemi: bilancia A e Z separatamente in ogni equazione, e stima quanti tempi di dimezzamento sono trascorsi prima di usare la calcolatrice.

• Scambiare le variazioni del decadimento beta e dell'emissione di positroni. Il decadimento beta aumenta Z di 1; l'emissione di positroni e la cattura elettronica lo diminuiscono di 1.
• Bilanciare i numeri di massa ma non i numeri atomici, o viceversa.
• Sottrarre le masse dei protoni nudi da una massa atomica senza tenere conto degli elettroni. Usare le masse atomiche dell'idrogeno-1 evita il problema.
• Dividere la quantità iniziale per il numero di tempi di dimezzamento invece di dimezzarla ripetutamente.
• Mescolare unità di tempo, come un tempo di dimezzamento in giorni con un tempo trascorso in ore.
• Arrotondare le masse prima di calcolarne la differenza in un calcolo del difetto di massa.