Bilangan Kuantum dan Orbital: Aturan, Hitungan, dan Bentuk

Elektron sebagai gelombang: panjang gelombang de Broglie

Pada tahun 1924, de Broglie mengusulkan bahwa setiap partikel yang bergerak memiliki panjang gelombang λ = h/(mv), dengan h tetapan Planck, m massa, dan v kecepatan. Untuk benda sehari-hari, panjang gelombangnya terlalu kecil untuk diperhatikan. Bola bisbol 0.145 kg yang melaju 40.0 m/s memiliki λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Untuk elektron, dengan massa 9.109 × 10⁻³¹ kg (CODATA NIST), panjang gelombangnya sebanding dengan ukuran atom.

Contoh soal 1. Elektron yang bergerak dengan kecepatan 2.188 × 10⁶ m/s memiliki λ = h/(mv). Dengan nilai CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s dan m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, atau 0.3324 nm. Kecepatan ini adalah kecepatan yang diberikan model Bohr kepada elektron pada orbit terendah hidrogen, yang jari-jarinya adalah jari-jari Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (CODATA NIST). Keliling orbit itu adalah 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, sehingga tepat satu panjang gelombang elektron muat mengelilinginya, dengan kecocokan lebih baik daripada 0.02%. Tingkat energi terkuantisasi adalah hasil yang Anda peroleh ketika gelombang elektron harus muat dalam ruangnya tanpa meniadakan dirinya sendiri, mirip dengan senar gitar yang hanya dapat bergetar pada frekuensi tertentu.

Ketidakpastian dan berakhirnya orbit tetap

Prinsip ketidakpastian Heisenberg menetapkan batas seberapa baik posisi dan momentum dapat diketahui bersamaan: Δx·Δp ≥ ħ/2, dengan ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Contoh soal 2. Kurung sebuah elektron dalam daerah selebar 1.0 × 10⁻¹⁰ m, kira-kira seukuran atom. Maka Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, dan Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Ketidakpastian kecepatannya merupakan bagian yang cukup besar dari kecepatan itu sendiri, sehingga lintasan yang pasti, seperti orbit planet, tidak bermakna bagi elektron dalam atom.

Mekanika kuantum mengganti lintasan dengan fungsi gelombang, ψ. Kuadratnya, ψ², adalah rapat peluang: jika dikalikan dengan volume suatu daerah kecil, hasilnya adalah peluang menemukan elektron di sana. Orbital adalah fungsi gelombang untuk satu elektron, dan gambar orbital yang lazim adalah permukaan yang melingkupi sebagian besar peluang itu, sering kali 90%.

Nilai n, l, mₗ, dan mₛ yang diperbolehkan

Penyelesaian persamaan gelombang untuk atom hidrogen menghasilkan tiga bilangan kuantum, masing-masing dibatasi oleh bilangan sebelumnya. Bilangan keempat menggambarkan spin elektron. Seluruh permainannya ada pada batasan-batasan itu.

• Bilangan kuantum utama n = 1, 2, 3, …. Bilangan ini menentukan kulit dan, pada hidrogen, energinya. n yang lebih besar berarti orbital yang lebih besar dan berenergi lebih tinggi.
• Bilangan kuantum momentum sudut l = 0, 1, …, n − 1. Bilangan ini menentukan subkulit dan bentuknya: l = 0, 1, 2, 3 adalah s, p, d, f.
• Bilangan kuantum magnetik mₗ = −l, …, 0, …, +l, yang memberikan 2l + 1 nilai. Bilangan ini menentukan orientasi orbital dalam ruang.
• Bilangan kuantum spin mₛ = +½ atau −½. Bilangan ini tidak bergantung pada tiga bilangan lainnya.

Contoh soal: menguji enam set bilangan kuantum

Untuk menguji suatu set (n, l, mₗ, mₛ), periksa setiap bilangan terhadap bilangan sebelumnya, secara berurutan. Berhentilah pada pelanggaran pertama.

(3, 3, 0, +½) tidak diperbolehkan: l paling besar n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) tidak diperbolehkan: dengan l = 2, mₗ hanya berkisar dari −2 sampai +2. (3, 2, 1, 0) tidak diperbolehkan: mₛ harus +½ atau −½, tidak pernah 0. (2, 1, −1, −½) diperbolehkan dan menggambarkan elektron dalam orbital 2p. (5, 0, 0, +½) diperbolehkan dan menggambarkan elektron 5s. (4, 3, −3, +½) diperbolehkan dan menggambarkan elektron 4f.

Untuk menamai orbital dari suatu set yang diperbolehkan, tulis n diikuti huruf untuk l. Nilai mₗ memilih satu orbital dalam subkulit tetapi tidak mengubah namanya dalam notasi ini.

Menghitung orbital dan elektron dengan suatu batasan

Soal hitungan menjadi rutin jika Anda mendaftar nilai l yang diperbolehkan, lalu nilai mₗ untuk masing-masing, dan baru kemudian menerapkan batasannya. Setiap orbital, yaitu setiap kombinasi (n, l, mₗ) yang diperbolehkan, menampung dua elektron, satu untuk setiap spin.

Kulit dengan bilangan kuantum utama n berisi n² orbital dan 2n² elektron. Untuk n = 4, l dapat bernilai 0, 1, 2, atau 3, yang memberikan 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbital dan 32 elektron.

Contoh soal 3. Berapa banyak elektron dalam suatu atom yang dapat memiliki n = 3 dan mₗ = +1? Nilai l untuk n = 3 adalah 0, 1, dan 2. mₗ = +1 hanya mungkin jika l ≥ 1, sehingga ada satu orbital seperti itu di 3p dan satu di 3d: dua orbital, empat elektron. Berapa banyak yang dapat memiliki n = 5 dan mₛ = +½? Kulit 5 memiliki 5² = 25 orbital, masing-masing dengan satu elektron +½, jadi 25. Berapa banyak yang dapat memiliki n = 4 dan l = 2? Itu adalah subkulit 4d: 5 orbital dan 10 elektron.

Bentuk orbital dan menghitung simpul

Simpul adalah tempat ψ, dan karena itu peluang menemukan elektron, bernilai nol. Suatu orbital memiliki n − 1 simpul secara total. Dari jumlah itu, l adalah simpul sudut, yaitu bidang atau kerucut yang melalui inti, dan sisanya, n − l − 1, adalah simpul radial, yaitu kulit bola pada jarak tertentu. OpenStax Chemistry 2e (Subbab 6.3) memberikan aturan simpul radial.

Orbital s (l = 0) berbentuk bola tanpa simpul sudut, sehingga orbital 2s memiliki satu simpul radial dan orbital 3s memiliki dua. Orbital p (l = 1) memiliki dua cuping pada sisi inti yang berseberangan dengan satu bidang simpul di antaranya; ketiganya diberi label pₓ, p_y, dan p_z menurut sumbu yang ditunjuknya. Orbital d (l = 2) memiliki dua simpul sudut. Empat di antaranya memiliki empat cuping; yang kelima, d_z², memiliki dua cuping di sepanjang sumbu z dan sebuah cincin di bagian tengah.

Contoh soal 4. Orbital 3p memiliki 3 − 1 − 1 = 1 simpul radial dan 1 simpul sudut. Orbital 4d memiliki 1 simpul radial dan 2 simpul sudut, total 3. Orbital 3d tidak memiliki simpul radial, dan orbital 6s memiliki 5.

Ketika orbital dalam kulit yang sama berbeda energinya

Pada hidrogen, energi hanya bergantung pada n, sehingga 3s, 3p, dan 3d memiliki energi yang sama. Pada atom dengan lebih dari satu elektron, elektron-elektron lain melindungi inti secara tidak merata. Elektron s menembus lebih dekat ke inti daripada elektron p atau d pada kulit yang sama, merasakan lebih banyak muatan inti, dan berenergi lebih rendah. Hasilnya adalah pemisahan s < p < d < f dalam satu kulit, yang menentukan urutan pengisian yang dibahas dalam panduan konfigurasi elektron.

Orbital-orbital dalam subkulit yang sama, seperti ketiga orbital 2p, tetap berenergi sama dalam atom yang terisolasi. Orbital-orbital itu disebut terdegenerasi. Atom-atom di sekitarnya dalam molekul atau kristal dapat memecah degenerasi itu.

Kesalahan bilangan kuantum yang perlu diperiksa

Hampir setiap kesalahan berasal dari melewatkan langkah pendaftaran. Jika ragu, tuliskan setiap nilai yang diperbolehkan sebelum menghitung.

• Membiarkan l sama dengan n. Nilai l terbesar yang diperbolehkan adalah n − 1, sehingga tidak ada orbital 1p atau 2d.
• Menghitung nilai mₗ dari 0 sampai l, bukan dari −l sampai +l, sehingga jumlah orbital terhitung terlalu sedikit.
• Menghitung orbital ketika soal menanyakan elektron, atau sebaliknya. Setiap orbital menampung dua elektron.
• Memberi mₛ nilai 0 atau 1. Spin hanya +½ atau −½.
• Memakai n − l − 1 sebagai jumlah total simpul. Rumus itu hanya menghitung simpul radial; totalnya adalah n − 1.
• Memperlakukan permukaan batas 90% sebagai tepi yang tegas. Rapat elektron memudar secara halus dan tidak memiliki batas yang tajam.