Քվանտային թվեր և օրբիտալներ՝ կանոններ, հաշվարկներ և ձևեր

Էլեկտրոնները որպես ալիքներ՝ դը Բրոյլի ալիքի երկարություն

1924 թվականին դը Բրոյլը առաջարկեց, որ ցանկացած շարժվող մասնիկ ունի λ = h/(mv) ալիքի երկարություն, որտեղ h-ը Պլանկի հաստատունն է, m-ը՝ զանգվածը, իսկ v-ն՝ արագությունը։ Առօրյա առարկաների համար ալիքի երկարությունը չափազանց փոքր է նկատելու համար։ 40.0 m/s արագությամբ 0.145 kg զանգվածով բեյսբոլի գնդակն ունի λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m։ Էլեկտրոնի համար, որի զանգվածը 9.109 × 10⁻³¹ kg է (NIST CODATA), ալիքի երկարությունը համեմատելի է ատոմի չափի հետ։

Լուծված օրինակ 1։ 2.188 × 10⁶ m/s արագությամբ շարժվող էլեկտրոնն ունի λ = h/(mv)։ CODATA-ի h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s և m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg արժեքներով λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m կամ 0.3324 nm։ Այս արագությունն այն է, որը Բորի մոդելը վերագրում է ջրածնի ամենացածր ուղեծրի էլեկտրոնին, որի շառավիղը Բորի շառավիղն է՝ a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA)։ Ուղեծրի շրջագիծը 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m է, ուստի նրա վրա տեղավորվում է էլեկտրոնի մեկ ալիքի երկարություն՝ 0.02%-ից ավելի լավ համընկնումով։ Քվանտացված էներգիական մակարդակներն այն են, ինչ ստացվում է, երբ էլեկտրոնային ալիքը պետք է տեղավորվի իր տարածքում՝ առանց ինքն իրեն մարելու, այնպես, ինչպես կիթառի լարը կարող է տատանվել միայն որոշակի հաճախություններով։

Անորոշություն և ֆիքսված ուղեծրերի ավարտը

Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքը սահմանափակում է, թե որքան լավ կարելի է միաժամանակ իմանալ դիրքն ու իմպուլսը՝ Δx·Δp ≥ ħ/2, որտեղ ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s։

Լուծված օրինակ 2։ Էլեկտրոնը սահմանափակեք 1.0 × 10⁻¹⁰ m լայնությամբ տիրույթում՝ մոտավորապես ատոմի չափով։ Այդ դեպքում Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, և Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s։ Արագության անորոշությունը բուն արագության զգալի մասն է, ուստի որոշակի հետագիծը, ինչպես մոլորակի ուղեծիրը, ատոմում էլեկտրոնի համար իմաստ չունի։

Քվանտային մեխանիկան հետագիծը փոխարինում է ալիքային ֆունկցիայով՝ ψ-ով։ Նրա քառակուսին՝ ψ²-ը, հավանականության խտությունն է. փոքր տիրույթի ծավալով բազմապատկելիս այն տալիս է էլեկտրոնն այնտեղ գտնելու հավանականությունը։ Օրբիտալը մեկ էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիա է, իսկ օրբիտալների ծանոթ պատկերները մակերևույթներ են, որոնք ներառում են այդ հավանականության մեծ մասը, հաճախ՝ 90%-ը։

n-ի, l-ի, mₗ-ի և mₛ-ի թույլատրելի արժեքները

Ջրածնի ատոմի համար ալիքային հավասարման լուծումը տալիս է երեք քվանտային թիվ, որոնցից յուրաքանչյուրը սահմանափակված է նախորդով։ Չորրորդը նկարագրում է էլեկտրոնի սպինը։ Ամբողջ խնդիրը հենց այս սահմանափակումների մեջ է։

• Գլխավոր քվանտային թիվ՝ n = 1, 2, 3, …։ Այն որոշում է շերտը, իսկ ջրածնում՝ նաև էներգիան։ Ավելի մեծ n-ը նշանակում է ավելի մեծ և ավելի բարձր էներգիայով օրբիտալ։
• Օրբիտալ (ազիմուտային) քվանտային թիվ՝ l = 0, 1, …, n − 1։ Այն որոշում է ենթաշերտը և ձևը. l = 0, 1, 2, 3 արժեքները համապատասխանում են s, p, d, f։
• Մագնիսական քվանտային թիվ՝ mₗ = −l, …, 0, …, +l, որը տալիս է 2l + 1 արժեք։ Այն որոշում է օրբիտալի կողմնորոշումը տարածության մեջ։
• Սպինային քվանտային թիվ՝ mₛ = +½ կամ −½։ Այն կախված չէ մյուս երեքից։

Լուծված օրինակ՝ քվանտային թվերի վեց հավաքածուի ստուգում

(n, l, mₗ, mₛ) հավաքածուն ստուգելու համար յուրաքանչյուր թիվ հերթով համեմատեք նախորդի հետ։ Կանգ առեք առաջին խախտման վրա։

(3, 3, 0, +½) թույլատրելի չէ. l-ը պետք է լինի առավելագույնը n − 1 = 2։ (4, 2, −3, −½) թույլատրելի չէ. l = 2-ի դեպքում mₗ-ը փոխվում է միայն −2-ից +2։ (3, 2, 1, 0) թույլատրելի չէ. mₛ-ը պետք է լինի +½ կամ −½, երբեք 0։ (2, 1, −1, −½) թույլատրելի է և նկարագրում է 2p օրբիտալում գտնվող էլեկտրոն։ (5, 0, 0, +½) թույլատրելի է և նկարագրում է 5s էլեկտրոն։ (4, 3, −3, +½) թույլատրելի է և նկարագրում է 4f էլեկտրոն։

Թույլատրելի հավաքածուից օրբիտալն անվանելու համար գրեք n-ը, իսկ դրանից հետո՝ l-ին համապատասխանող տառը։ mₗ-ի արժեքը ենթաշերտում ընտրում է մեկ օրբիտալ, բայց այս նշանագրությամբ չի փոխում նրա անվանումը։

Օրբիտալների և էլեկտրոնների հաշվումը սահմանափակման դեպքում

Հաշվելու հարցերը դառնում են սովորական, եթե թվարկեք l-ի թույլատրելի արժեքները, ապա յուրաքանչյուրի համար mₗ-ի արժեքները, և միայն դրանից հետո կիրառեք սահմանափակումը։ Յուրաքանչյուր օրբիտալ, այսինքն՝ (n, l, mₗ)-ի յուրաքանչյուր թույլատրելի համակցություն, պարունակում է երկու էլեկտրոն՝ յուրաքանչյուր սպինով մեկական։

n գլխավոր քվանտային թվով շերտը պարունակում է n² օրբիտալ և 2n² էլեկտրոն։ n = 4-ի դեպքում l-ը կարող է լինել 0, 1, 2 կամ 3, ինչը տալիս է 1 + 3 + 5 + 7 = 16 օրբիտալ և 32 էլեկտրոն։

Լուծված օրինակ 3։ Ատոմում քանի՞ էլեկտրոն կարող է ունենալ n = 3 և mₗ = +1։ n = 3-ի համար l-ի արժեքներն են 0, 1 և 2։ mₗ = +1 հնարավոր է միայն l ≥ 1 դեպքում, ուստի այդպիսի մեկ օրբիտալ կա 3p-ում և մեկը՝ 3d-ում. երկու օրբիտալ, չորս էլեկտրոն։ Քանի՞սը կարող են ունենալ n = 5 և mₛ = +½։ 5-րդ շերտն ունի 5² = 25 օրբիտալ, յուրաքանչյուրում՝ մեկ +½ էլեկտրոն, ուստի 25։ Քանի՞սը կարող են ունենալ n = 4 և l = 2։ Դա 4d ենթաշերտն է՝ 5 օրբիտալ և 10 էլեկտրոն։

Օրբիտալների ձևերը և հանգույցների հաշվումը

Հանգույցն այն տեղն է, որտեղ ψ-ն, և հետևաբար էլեկտրոնը գտնելու հավանականությունը, զրո է։ Օրբիտալն ընդհանուր առմամբ ունի n − 1 հանգույց։ Դրանցից l-ը անկյունային հանգույցներ են՝ միջուկով անցնող հարթություններ կամ կոներ, իսկ մնացած n − l − 1-ը ռադիալ հանգույցներ են՝ ֆիքսված հեռավորություններում գտնվող գնդային մակերևույթներ։ OpenStax Chemistry 2e-ն (բաժին 6.3) տալիս է ռադիալ հանգույցների կանոնը։

s օրբիտալները (l = 0) գնդաձև են և անկյունային հանգույցներ չունեն, ուստի 2s օրբիտալն ունի մեկ ռադիալ հանգույց, իսկ 3s օրբիտալը՝ երկու։ p օրբիտալները (l = 1) ունեն երկու բլթակ միջուկի հակադիր կողմերում՝ նրանց միջև մեկ հանգուցային հարթությամբ. երեքը նշանակվում են pₓ, p_y և p_z՝ ըստ այն առանցքի, որի երկայնքով ուղղված են։ d օրբիտալներն (l = 2) ունեն երկու անկյունային հանգույց։ Դրանցից չորսն ունեն չորս բլթակ. հինգերորդը՝ d_z²-ը, ունի երկու բլթակ z առանցքի երկայնքով և օղակ մեջտեղի շուրջը։

Լուծված օրինակ 4։ 3p օրբիտալն ունի 3 − 1 − 1 = 1 ռադիալ հանգույց և 1 անկյունային հանգույց։ 4d օրբիտալն ունի 1 ռադիալ հանգույց և 2 անկյունային հանգույց՝ ընդհանուր 3։ 3d օրբիտալը ռադիալ հանգույցներ չունի, իսկ 6s օրբիտալն ունի 5։

Երբ նույն շերտի օրբիտալները տարբերվում են էներգիայով

Ջրածնում էներգիան կախված է միայն n-ից, ուստի 3s-ը, 3p-ն և 3d-ն ունեն նույն էներգիան։ Մեկից ավելի էլեկտրոն ունեցող ատոմներում մյուս էլեկտրոնները միջուկն անհավասարաչափ են էկրանավորում։ s էլեկտրոնն ավելի մոտ է թափանցում միջուկին, քան նույն շերտի p կամ d էլեկտրոնը, ավելի շատ է զգում միջուկի լիցքը և ունի ավելի ցածր էներգիա։ Արդյունքում շերտի ներսում առաջանում է s < p < d < f ճեղքումը, որը որոշում է լցման կարգը, որը քննարկվում է էլեկտրոնային կոնֆիգուրացիաների ուղեցույցում։

Նույն ենթաշերտի օրբիտալները, օրինակ՝ երեք 2p օրբիտալները, մեկուսացված ատոմում մնում են էներգիայով հավասար։ Դրանք կոչվում են այլասերված։ Մոլեկուլում կամ բյուրեղում շրջապատող ատոմները կարող են վերացնել այդ այլասերումը։

Քվանտային թվերի սխալներ, որոնք պետք է ստուգել

Գրեթե յուրաքանչյուր սխալ առաջանում է թվարկման քայլը բաց թողնելուց։ Կասկածի դեպքում հաշվելուց առաջ դուրս գրեք բոլոր թույլատրելի արժեքները։

• Թույլ տալ, որ l-ը հավասար լինի n-ին։ l-ի ամենամեծ թույլատրելի արժեքը n − 1 է, ուստի 1p կամ 2d օրբիտալ գոյություն չունի։
• mₗ-ի արժեքները հաշվել 0-ից l՝ −l-ից +l-ի փոխարեն, ինչը նվազեցնում է օրբիտալների թիվը։
• Հաշվել օրբիտալները, երբ հարցը էլեկտրոնների մասին է, կամ հակառակը։ Յուրաքանչյուր օրբիտալ պարունակում է երկու էլեկտրոն։
• mₛ-ին տալ 0 կամ 1 արժեք։ Սպինը միայն +½ կամ −½ է։
• n − l − 1-ն օգտագործել որպես հանգույցների ընդհանուր թիվ։ Այդ բանաձևը հաշվում է միայն ռադիալ հանգույցները. ընդհանուրը n − 1 է։
• 90%-ի սահմանային մակերևույթը համարել կոշտ եզր։ Էլեկտրոնային խտությունը սահուն նվազում է և հստակ սահման չունի։