Números cuánticos e orbitais: regras, contas e formas

Os electróns como ondas: a lonxitude de onda de De Broglie

En 1924 De Broglie propuxo que toda partícula en movemento ten unha lonxitude de onda λ = h/(mv), onde h é a constante de Planck, m a masa e v a velocidade. Para os obxectos cotiáns, a lonxitude de onda é demasiado pequena para notala. Unha pelota de béisbol de 0.145 kg a 40.0 m/s ten λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Para un electrón, cunha masa de 9.109 × 10⁻³¹ kg (CODATA do NIST), a lonxitude de onda é comparable ao tamaño dun átomo.

Exemplo resolto 1. Un electrón que se move a 2.188 × 10⁶ m/s ten λ = h/(mv). Cos valores CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s e m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, ou 0.3324 nm. Esta velocidade é a que o modelo de Bohr asigna ao electrón na órbita máis baixa do hidróxeno, cuxo raio é o raio de Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (CODATA do NIST). A circunferencia da órbita é 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, así que unha lonxitude de onda do electrón cabe ao seu redor, cunha concordancia mellor do 0.02%. Os niveis de enerxía cuantizados son o que se obtén cando unha onda electrónica debe encaixar no seu espazo sen anularse a si mesma, igual que unha corda de guitarra só pode vibrar a certas frecuencias.

A incerteza e o fin das órbitas fixas

O principio de incerteza de Heisenberg pon un límite a canto se poden coñecer á vez a posición e o momento lineal: Δx·Δp ≥ ħ/2, onde ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Exemplo resolto 2. Confina un electrón nunha rexión de 1.0 × 10⁻¹⁰ m de largo, aproximadamente o tamaño dun átomo. Entón Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, e Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. A incerteza na velocidade é unha fracción considerable da propia velocidade, así que unha traxectoria definida, como a órbita dun planeta, carece de sentido para un electrón nun átomo.

A mecánica cuántica substitúe a traxectoria por unha función de onda, ψ. O seu cadrado, ψ², é a densidade de probabilidade: multiplicada polo volume dunha pequena rexión, dá a probabilidade de atopar alí o electrón. Un orbital é unha función de onda para un electrón, e as imaxes habituais dos orbitais son superficies que encerran a maior parte desa probabilidade, a miúdo o 90%.

Valores permitidos de n, l, mₗ e mₛ

Resolver a ecuación de onda para o átomo de hidróxeno produce tres números cuánticos, cada un restrinxido polo anterior. Un cuarto describe o spin do electrón. As restricións son a clave de todo.

• Número cuántico principal n = 1, 2, 3, …. Determina a capa e, no hidróxeno, a enerxía. Un n maior significa un orbital máis grande e de maior enerxía.
• Número cuántico de momento angular l = 0, 1, …, n − 1. Determina a subcapa e a forma: l = 0, 1, 2, 3 son s, p, d, f.
• Número cuántico magnético mₗ = −l, …, 0, …, +l, o que dá 2l + 1 valores. Determina a orientación do orbital no espazo.
• Número cuántico de spin mₛ = +½ ou −½. Non depende dos outros tres.

Exemplo resolto: comprobar seis conxuntos de números cuánticos

Para comprobar un conxunto (n, l, mₗ, mₛ), compara cada número co anterior, por orde. Detente na primeira infracción.

(3, 3, 0, +½) non está permitido: l debe ser como máximo n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) non está permitido: con l = 2, mₗ só vai de −2 a +2. (3, 2, 1, 0) non está permitido: mₛ debe ser +½ ou −½, nunca 0. (2, 1, −1, −½) está permitido e describe un electrón nun orbital 2p. (5, 0, 0, +½) está permitido e describe un electrón 5s. (4, 3, −3, +½) está permitido e describe un electrón 4f.

Para nomear o orbital a partir dun conxunto permitido, escribe n seguido da letra correspondente a l. O valor de mₗ escolle un orbital dentro da subcapa, pero non cambia o seu nome nesta notación.

Contar orbitais e electróns baixo unha restrición

As preguntas de contar vólvense rutineiras se listas os valores permitidos de l, despois os valores de mₗ para cada un, e só entón aplicas a restrición. Cada orbital, é dicir, cada combinación permitida (n, l, mₗ), alberga dous electróns, un con cada spin.

Unha capa con número cuántico principal n contén n² orbitais e 2n² electróns. Para n = 4, l pode ser 0, 1, 2 ou 3, o que dá 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitais e 32 electróns.

Exemplo resolto 3. Cantos electróns dun átomo poden ter n = 3 e mₗ = +1? Os valores de l para n = 3 son 0, 1 e 2. mₗ = +1 só é posible cando l ≥ 1, así que hai un orbital así en 3p e outro en 3d: dous orbitais, catro electróns. Cantos poden ter n = 5 e mₛ = +½? A capa 5 ten 5² = 25 orbitais, cada un cun electrón +½, así que 25. Cantos poden ter n = 4 e l = 2? Iso é a subcapa 4d: 5 orbitais e 10 electróns.

Formas dos orbitais e conta de nodos

Un nodo é un lugar onde ψ, e polo tanto a probabilidade de atopar o electrón, é cero. Un orbital ten n − 1 nodos en total. Destes, l son nodos angulares, planos ou conos que pasan polo núcleo, e os n − l − 1 restantes son nodos radiais, capas esféricas a distancias fixas. OpenStax Chemistry 2e (sección 6.3) dá a regra dos nodos radiais.

Os orbitais s (l = 0) son esféricos e non teñen nodos angulares, así que un orbital 2s ten un nodo radial e un orbital 3s ten dous. Os orbitais p (l = 1) teñen dous lóbulos a lados opostos do núcleo cun plano nodal entre eles; os tres chámanse pₓ, p_y e p_z segundo o eixe ao longo do cal apuntan. Os orbitais d (l = 2) teñen dous nodos angulares. Catro deles teñen catro lóbulos; o quinto, d_z², ten dous lóbulos ao longo do eixe z e un anel arredor do centro.

Exemplo resolto 4. Un orbital 3p ten 3 − 1 − 1 = 1 nodo radial e 1 nodo angular. Un orbital 4d ten 1 nodo radial e 2 nodos angulares, 3 en total. Un orbital 3d non ten nodos radiais, e un orbital 6s ten 5.

Cando os orbitais dunha mesma capa difiren en enerxía

No hidróxeno, a enerxía só depende de n, así que 3s, 3p e 3d teñen a mesma enerxía. Nos átomos con máis dun electrón, os outros electróns apantallan o núcleo de forma desigual. Un electrón s penetra máis preto do núcleo ca un electrón p ou d da mesma capa, sente máis carga nuclear e ten menos enerxía. O resultado é o desdobramento s < p < d < f dentro dunha capa, que determina a orde de enchemento tratada na guía de configuracións electrónicas.

Os orbitais da mesma subcapa, como os tres orbitais 2p, manteñen a mesma enerxía nun átomo illado. Chámanse dexenerados. Os átomos que os rodean nunha molécula ou nun cristal poden romper esa dexeneración.

Erros cos números cuánticos que convén revisar

Case todos os erros veñen de saltar o paso de listar. Se tes dúbidas, escribe todos os valores permitidos antes de contar.

• Deixar que l sexa igual a n. O maior l permitido é n − 1, así que non hai orbital 1p nin 2d.
• Contar os valores de mₗ de 0 a l en vez de −l a +l, o que conta orbitais de menos.
• Contar orbitais cando a pregunta pide electróns, ou ao revés. Cada orbital alberga dous electróns.
• Darlle a mₛ o valor 0 ou 1. O spin só é +½ ou −½.
• Usar n − l − 1 como número total de nodos. Esa fórmula só conta os nodos radiais; o total é n − 1.
• Tratar a superficie límite do 90% como un bordo duro. A densidade electrónica esvaécese suavemente e non ten un límite nítido.