Kvanttiluvut ja orbitaalit: säännöt, lukumäärät ja muodot

Elektronit aaltoina: de Broglien aallonpituus

Vuonna 1924 de Broglie esitti, että jokaisella liikkuvalla hiukkasella on aallonpituus λ = h/(mv), missä h on Planckin vakio, m massa ja v nopeus. Arkisille esineille aallonpituus on aivan liian pieni huomattavaksi. 0.145 kg:n pesäpallolla, joka liikkuu nopeudella 40.0 m/s, λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Elektronille, jonka massa on 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), aallonpituus on verrattavissa atomin kokoon.

Läpikäyty esimerkki 1. Nopeudella 2.188 × 10⁶ m/s liikkuvan elektronin aallonpituus on λ = h/(mv). CODATA-arvoilla h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s ja m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg saadaan λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m eli 0.3324 nm. Tämä on nopeus, jonka Bohrin malli antaa elektronille vedyn alimmalla radalla, jonka säde on Bohrin säde, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Radan ympärysmitta on 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, joten sen ympärille mahtuu yksi elektronin aallonpituus alle 0.02 %:n poikkeamalla. Kvantittuneet energiatasot syntyvät, kun elektroniaallon täytyy mahtua tilaansa kumoamatta itseään, samaan tapaan kuin kitaran kieli voi värähdellä vain tietyillä taajuuksilla.

Epätarkkuus ja kiinteiden ratojen loppu

Heisenbergin epätarkkuusperiaate asettaa rajan sille, kuinka tarkasti paikka ja liikemäärä voidaan tuntea yhtä aikaa: Δx·Δp ≥ ħ/2, missä ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Läpikäyty esimerkki 2. Rajoita elektroni 1.0 × 10⁻¹⁰ m:n levyiselle alueelle, joka on suunnilleen atomin kokoinen. Silloin Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s ja Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Nopeuden epätarkkuus on huomattava osa itse nopeudesta, joten tarkka rata, kuten planeetan kiertorata, on atomissa olevalle elektronille merkityksetön.

Kvanttimekaniikka korvaa radan aaltofunktiolla, ψ. Sen neliö, ψ², on todennäköisyystiheys: pienen alueen tilavuudella kerrottuna se antaa todennäköisyyden löytää elektroni sieltä. Orbitaali on yhden elektronin aaltofunktio, ja tutut orbitaalikuvat ovat pintoja, jotka sulkevat sisäänsä suurimman osan tästä todennäköisyydestä, usein 90 %.

n:n, l:n, mₗ:n ja mₛ:n sallitut arvot

Vetyatomin aaltoyhtälön ratkaiseminen tuottaa kolme kvanttilukua, joista kutakin rajoittaa edellinen. Neljäs kuvaa elektronin spiniä. Rajoitukset ovat koko asian ydin.

• Pääkvanttiluku n = 1, 2, 3, …. Se määrää kuoren ja vedyssä energian. Suurempi n tarkoittaa suurempaa, korkeamman energian orbitaalia.
• Sivukvanttiluku l = 0, 1, …, n − 1. Se määrää alakuoren ja muodon: l = 0, 1, 2, 3 ovat s, p, d, f.
• Magneettinen kvanttiluku mₗ = −l, …, 0, …, +l, mikä antaa 2l + 1 arvoa. Se määrää orbitaalin suunnan avaruudessa.
• Spinkvanttiluku mₛ = +½ tai −½. Se ei riipu kolmesta muusta.

Läpikäyty esimerkki: kuuden kvanttilukuyhdistelmän testaaminen

Kun testaat yhdistelmää (n, l, mₗ, mₛ), tarkista jokainen luku edellistä vasten järjestyksessä. Pysähdy ensimmäiseen rikkomukseen.

(3, 3, 0, +½) ei ole sallittu: l saa olla enintään n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) ei ole sallittu: kun l = 2, mₗ saa arvoja vain −2:sta +2:een. (3, 2, 1, 0) ei ole sallittu: mₛ:n täytyy olla +½ tai −½, ei koskaan 0. (2, 1, −1, −½) on sallittu ja kuvaa 2p-orbitaalin elektronia. (5, 0, 0, +½) on sallittu ja kuvaa 5s-elektronia. (4, 3, −3, +½) on sallittu ja kuvaa 4f-elektronia.

Kun nimeät orbitaalin sallitusta yhdistelmästä, kirjoita n ja sen perään l:ää vastaava kirjain. mₗ:n arvo valitsee yhden orbitaalin alakuoren sisältä, mutta ei muuta sen nimeä tässä merkintätavassa.

Orbitaalien ja elektronien laskeminen rajoituksen kanssa

Laskutehtävistä tulee rutiinia, kun luettelet sallitut l:n arvot, sitten kunkin mₗ-arvot ja vasta sen jälkeen sovellat rajoitusta. Jokaiseen orbitaaliin, eli jokaiseen sallittuun (n, l, mₗ)-yhdistelmään, mahtuu kaksi elektronia, yksi kummallakin spinillä.

Kuoressa, jonka pääkvanttiluku on n, on n² orbitaalia ja 2n² elektronia. Kun n = 4, l voi olla 0, 1, 2 tai 3, mikä antaa 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitaalia ja 32 elektronia.

Läpikäyty esimerkki 3. Monellako atomin elektronilla voi olla n = 3 ja mₗ = +1? Kun n = 3, l:n arvot ovat 0, 1 ja 2. mₗ = +1 on mahdollinen vain, kun l ≥ 1, joten tällainen orbitaali on yksi 3p:ssä ja yksi 3d:ssä: kaksi orbitaalia, neljä elektronia. Monellako voi olla n = 5 ja mₛ = +½? Kuoressa 5 on 5² = 25 orbitaalia, joissa kussakin on yksi +½-elektroni, joten 25. Monellako voi olla n = 4 ja l = 2? Se on 4d-alakuori: 5 orbitaalia ja 10 elektronia.

Orbitaalien muodot ja solmujen laskeminen

Solmu on kohta, jossa ψ ja siten elektronin löytämisen todennäköisyys on nolla. Orbitaalilla on yhteensä n − 1 solmua. Näistä l on kulmasolmuja, ytimen kautta kulkevia tasoja tai kartioita, ja loput n − l − 1 ovat radiaalisia solmuja, pallokuoria kiinteillä etäisyyksillä. OpenStax Chemistry 2e (luku 6.3) antaa radiaalisten solmujen säännön.

s-orbitaalit (l = 0) ovat pallomaisia eikä niillä ole kulmasolmuja, joten 2s-orbitaalilla on yksi radiaalinen solmu ja 3s-orbitaalilla kaksi. p-orbitaaleilla (l = 1) on kaksi lohkoa ytimen vastakkaisilla puolilla ja niiden välissä yksi solmutaso; kolme p-orbitaalia merkitään pₓ, p_y ja p_z sen akselin mukaan, jonka suuntaan ne osoittavat. d-orbitaaleilla (l = 2) on kaksi kulmasolmua. Neljällä niistä on neljä lohkoa; viidennellä, d_z², on kaksi lohkoa z-akselin suuntaisesti ja rengas keskikohdan ympärillä.

Läpikäyty esimerkki 4. 3p-orbitaalilla on 3 − 1 − 1 = 1 radiaalinen solmu ja 1 kulmasolmu. 4d-orbitaalilla on 1 radiaalinen solmu ja 2 kulmasolmua, yhteensä 3. 3d-orbitaalilla ei ole radiaalisia solmuja, ja 6s-orbitaalilla niitä on 5.

Kun saman kuoren orbitaalit eroavat energialtaan

Vedyssä energia riippuu vain n:stä, joten 3s:llä, 3p:llä ja 3d:llä on sama energia. Monielektronisissa atomeissa muut elektronit varjostavat ydintä epätasaisesti. s-elektroni tunkeutuu lähemmäs ydintä kuin saman kuoren p- tai d-elektroni, kokee suuremman osan ytimen varauksesta ja on energialtaan alempana. Tuloksena on kuoren sisäinen jakautuminen s < p < d < f, joka määrää elektronikonfiguraatio-oppaassa käsitellyn täyttymisjärjestyksen.

Saman alakuoren orbitaalit, kuten kolme 2p-orbitaalia, pysyvät erillisessä atomissa energialtaan yhtä suurina. Niitä kutsutaan degeneroituneiksi. Molekyylin tai kiteen ympäröivät atomit voivat purkaa tämän degeneraation.

Tarkistettavat kvanttilukuvirheet

Lähes jokainen virhe johtuu luettelointivaiheen ohittamisesta. Jos olet epävarma, kirjoita kaikki sallitut arvot näkyviin ennen laskemista.

• Sen salliminen, että l on yhtä suuri kuin n. Suurin sallittu l on n − 1, joten 1p- tai 2d-orbitaalia ei ole.
• mₗ-arvojen laskeminen 0:sta l:ään eikä −l:stä +l:ään, mikä antaa liian vähän orbitaaleja.
• Orbitaalien laskeminen, kun kysymys koskee elektroneja, tai päinvastoin. Jokaiseen orbitaaliin mahtuu kaksi elektronia.
• Arvon 0 tai 1 antaminen mₛ:lle. Spin on vain +½ tai −½.
• Lausekkeen n − l − 1 käyttäminen solmujen kokonaismääränä. Se laskee vain radiaaliset solmut; kokonaismäärä on n − 1.
• 90 %:n rajapinnan pitäminen terävänä reunana. Elektronitiheys hiipuu tasaisesti, eikä sillä ole terävää rajaa.