Tüvenumbrid keemiaarvutustes

Mõõdetud arvud ja täpsed arvud

Mõõdetud väärtus on ebakindel, sest igal mõõteriistal on oma piir. Kui loed bürettilt, mille jaotus on 0.1 mL, kirjutad üles kindlad jaotised ja hindad nende vahel veel ühe numbri, nii et näit 18.36 mL sisaldab nelja tüvenumbrit: kolm kindlat numbrit ja ühe hinnatud numbri. Kirjutades 18.360 mL väidaksid täpsust, mida büret ei suuda anda.

Täpsetel arvudel puudub mõõtemääramatus. Need tulenevad loendamisest (12 katseklaasi statiivis), definitsioonidest (1 toll on täpselt 2.54 cm ja 1 L on täpselt 1000 mL) ning keemiliste valemite ja võrrandite kordajatest ja indeksitest. Käsitle täpseid arve nii, nagu neil oleks piiramatult tüvenumbreid, nii et need ei piira kunagi arvutatud tulemuse täpsust.

Numbrite lugemine, sealhulgas probleemsed nullid

Nullist erinevad numbrid on alati tüvenumbrid. Nullid on tüvenumbrid või mitte sõltuvalt sellest, kas need annavad mõõdetud teavet või märgivad ainult koma asukohta. Allpool olevad reeglid katavad kõik juhud, millega üldkeemias kokku puutud.

Täisarvu lõpunullid ilma komata on ainus tõeliselt mitmetähenduslik juht. Massi 1200 g võib olla teada kahe, kolme või nelja tüvenumbri täpsusega. Teaduslik kuju kõrvaldab mitmetähenduslikkuse: 1.2 × 10³ g sisaldab kahte, 1.20 × 10³ g kolme ja 1.200 × 10³ g nelja tüvenumbrit.

• Nullist erinevate numbrite vahel olevad nullid on tüvenumbrid: 30.506 g sisaldab viit.
• Eesnullid ei ole kunagi tüvenumbrid; need ainult määravad koma asukoha: 0.004070 m sisaldab nelja (4, 0, 7, 0).
• Koma järel olevad lõpunullid on tüvenumbrid: 2.500 mL sisaldab nelja.
• Täisarvu lõpunullid ilma komata on mitmetähenduslikud; oma kavatsuse väljendamiseks kasuta teaduslikku kuju.

Liitmine ja lahutamine: joonda kümnendkohad

Kui suurusi liidetakse või lahutatakse, on oluline absoluutne määramatus viimases kümnendkohas, mitte tüvenumbrite arv. Ümarda tulemus samale arvule kümnendkohtadele kui vähimate kümnendkohtadega mõõtmisel.

Lahendatud näide 1. Sa ühendad kolm erinevatel kaaludel kaalutud tahke aine portsjonit: 12.6 g, 0.237 g ja 105.42 g. Kalkulaator näitab 118.257 g. Esimene mass on teada ainult kümnendikeni, seega on summa teada ainult kümnendikeni: 118.3 g. Pane tähele, et vastuses on neli tüvenumbrit, kuigi ühes algandmes oli ainult kolm; liitmisel ei piira tulemust numbrite arv.

Lahutamine võib tüvenumbreid hävitada. Oletame, et vedelikku sisaldav kolb kaalub pealtlaetaval kaalul 58.36 g ja tühi kolb kaalus analüütilisel kaalul 57.912 g. Vahe on kalkulaatoril 0.448 g, kuid esimene mass on teada ainult sajandikeni, seega on vedeliku mass 0.45 g. Kaks tüvenumbrit jääb alles algandmetest, milles oli neli ja viis. Kui oluline on kahe suure arvu väike vahe, kaalu mõlemad täpsemal kaalul.

Korrutamine ja jagamine: loe tüvenumbreid

Korrutiste ja jagatiste puhul kandub edasi suhteline määramatus. Ümarda tulemus samale arvule tüvenumbritele kui vähimate tüvenumbritega algandmel.

Lahendatud näide 2. Ristkülikukujulise klotsi mõõtmed on 4.20 cm, 2.15 cm ja 1.8 cm. Ruumala on kalkulaatoril 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³. Kõrgusel on ainult kaks tüvenumbrit, seega esitatakse ruumala kui 16 cm³. Kolmanda numbri õigustaks ainult kõrguse täpsem mõõtmine, näiteks 1.80 cm nihikuga.

Logaritmide suhtes kehtib seotud reegel, mis tuleb ette pH arvutustes: logaritmi kümnendkohtade arv võrdub algväärtuse tüvenumbrite arvuga. Vesinikioonide kontsentratsioonil 3.4 × 10⁻⁴ mol/L on kaks tüvenumbrit, seega esitatakse selle pH kahe kümnendkohaga: 3.47.

Ümardamine üks kord, mitmeastmelise arvutuse lõpus

Mitmeastmelises arvutuses jäta igasse vahetulemusse vähemalt üks või kaks lisanumbrit (varunumbrit) ja ümarda ainult lõppvastus. Jälgi, mitu tüvenumbrit iga samm õigustab, kuid ära loobu numbritest enne lõppu. Igas etapis ümardamine lisab iga kord väikese vea ja need vead võivad nihutada viimast esitatud numbrit.

Lahendatud näide 3. Sa lahustad 1.37 g naatriumkloriidi vees ja lahjendad selle mõõtkolvis täpselt 50.00 mL-ni. IUPAC-i standardsete aatommasside kahe kümnendkohani ümardatud väärtustega (Na 22.99, Cl 35.45) on NaCl molaarmass 58.44 g/mol. Aine hulk on 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, mis jäetakse ümardamata. Ruumala on 0.05000 L, seega on kontsentratsioon 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, mis ümardatakse väärtuseks 0.469 mol/L, kuna massil on kolm tüvenumbrit.

Kui oleksid aine hulga esmalt ümardanud väärtuseks 0.0234 mol, saaksid 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Erinevus on väike, kuid see on tegelik viga, mille tekitab aritmeetika, mitte mõõtmised, ning pikemates arvutusahelates võib see kasvada.

Millal ümardada pooleks jäävad numbrid ülespoole või paarisnumbrini

Kui esimene ärajäetav number on väiksem kui 5, jäta säilitatav number samaks; kui see on suurem kui 5 või on 5, millele järgneb mõni nullist erinev number, ümarda ülespoole. Seega ümardub 0.064371 kolme tüvenumbri täpsusel väärtuseks 0.0644 ja 7.2849 väärtuseks 7.28.

Ainus vaidlusalune juht on täpselt 5 olev ärajäetav number, mille järel pole midagi. Raamat OpenStax Chemistry 2e ümardab nii, et säilitatav number on paarisarv (6.125 muutub 6.12-ks, aga 6.135 muutub 6.14-ks), mis väldib paljude ümardamiste korral kerget ülespoole kallutatust. Paljud õppejõud ümardavad 5 lihtsalt ülespoole. Uuri, millist reeglit sinu kursus kasutab, ja rakenda seda järjepidevalt; see mõjutab ainult seda ühte juhtu.

Tüvenumbrite vead, mida oma töös otsida

Enamik tüvenumbrite vigu tuleneb käputäiest etteaimatavatest eksimustest. Enne vastuse lõplikku raamimist loe algandmed uuesti läbi ja küsi, milline neist tulemust piirab ja millise reegli järgi.

Väike harjumus muudab selle rutiiniks: märgi iga vastuse kõrvale piirav algandmed ja rakendatud reegel, kümnendkohad või numbrite arv. Kui vastuses on rohkem numbreid, kui see algandmed õigustab, ümarda; kui vähem, otsi lõpunulli, mille kalkulaator on ära jätnud.

• Täpse arvu laskmine vastust piirata. Tegur 1000 mL/L või kordaja 2 ei vähenda kunagi tüvenumbreid.
• Korrutamisreegli kasutamine summa puhul. Summasid ja vahesid piiravad kümnendkohad, mitte numbrite arv.
• Iga vahetulemuse ümardamine. Hoia varunumbreid ja ümarda ainult üks kord lõpus.
• Tähendusrikaste lõpunullide mahajätmine. Kalkulaator näitab 2.5, kui mõõtmine oli 2.50 mL; kirjuta null tagasi.
• Eesnullide lugemine. 0.0081 g sisaldab kahte tüvenumbrit, mitte nelja.
• Mitmetähenduslike nullidega täisarvu esitamine. Kirjuta 3.40 × 10² g, mitte 340 g, kui kolm numbrit on tähenduslikud.