Kvantarvud ja orbitaalid: reeglid, loendamine ja kujud

Elektronid lainetena: de Broglie lainepikkus

1924. aastal pakkus de Broglie välja, et igal liikuval osakesel on lainepikkus λ = h/(mv), kus h on Plancki konstant, m mass ja v kiirus. Igapäevaste objektide puhul on lainepikkus märkamiseks liiga väike. 0.145 kg pesapalli lainepikkus kiirusel 40.0 m/s on λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Elektroni puhul, mille mass on 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), on lainepikkus võrreldav aatomi suurusega.

Lahendatud näide 1. Kiirusega 2.188 × 10⁶ m/s liikuva elektroni lainepikkus on λ = h/(mv). CODATA väärtustega h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s ja m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg on λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m ehk 0.3324 nm. See on kiirus, mille Bohri mudel omistab vesiniku madalaimal orbiidil olevale elektronile; selle orbiidi raadius on Bohri raadius a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Orbiidi ümbermõõt on 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, seega mahub selle ümber üks elektroni lainepikkus, kokkulangevusega parem kui 0.02%. Kvanditud energiatasemed tekivad siis, kui elektronlaine peab oma ruumi mahtuma ennast kustutamata, umbes nagu kitarrikeel saab võnkuda ainult teatud sagedustel.

Määramatus ja kindlate orbiitide lõpp

Heisenbergi määramatuse printsiip seab piiri sellele, kui täpselt saab asukohta ja impulssi koos teada: Δx·Δp ≥ ħ/2, kus ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Lahendatud näide 2. Piira elektron 1.0 × 10⁻¹⁰ m laiusega piirkonda, mis on umbes aatomi suurune. Siis Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s ja Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Kiiruse määramatus on märkimisväärne osa kiirusest endast, seega on kindel trajektoor, nagu planeedi orbiit, aatomis oleva elektroni puhul mõttetu.

Kvantmehaanika asendab trajektoori lainefunktsiooniga ψ. Selle ruut ψ² on tõenäosustihedus: väikese piirkonna ruumalaga korrutatuna annab see tõenäosuse leida elektron sealt. Orbitaal on ühe elektroni lainefunktsioon ja tuttavad orbitaalijoonised on pinnad, mis hõlmavad suurema osa sellest tõenäosusest, sageli 90%.

n, l, mₗ ja mₛ lubatud väärtused

Vesinikuaatomi lainevõrrandi lahendamine annab kolm kvantarvu, millest igaüht piirab eelmine. Neljas kirjeldab elektroni spinni. Kogu mäng seisnebki nendes piirangutes.

• Peakvantarv n = 1, 2, 3, …. See määrab kihi ja vesiniku puhul energia. Suurem n tähendab suuremat ja kõrgema energiaga orbitaali.
• Orbitaalkvantarv l = 0, 1, …, n − 1. See määrab alamkihi ja kuju: l = 0, 1, 2, 3 on s, p, d, f.
• Magnetkvantarv mₗ = −l, …, 0, …, +l, mis annab 2l + 1 väärtust. See määrab orbitaali orientatsiooni ruumis.
• Spinnkvantarv mₛ = +½ või −½. See ei sõltu ülejäänud kolmest.

Lahendatud näide: kuue kvantarvude komplekti kontrollimine

Komplekti (n, l, mₗ, mₛ) kontrollimiseks võrdle iga arvu järjekorras eelmisega. Peatu esimese rikkumise juures.

(3, 3, 0, +½) ei ole lubatud: l peab olema kõige rohkem n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) ei ole lubatud: kui l = 2, ulatub mₗ ainult −2-st +2-ni. (3, 2, 1, 0) ei ole lubatud: mₛ peab olema +½ või −½, mitte kunagi 0. (2, 1, −1, −½) on lubatud ja kirjeldab elektroni 2p-orbitaalil. (5, 0, 0, +½) on lubatud ja kirjeldab 5s-elektroni. (4, 3, −3, +½) on lubatud ja kirjeldab 4f-elektroni.

Lubatud komplekti põhjal orbitaali nimetamiseks kirjuta n ja selle järele l-ile vastav täht. mₗ väärtus valib alamkihis ühe orbitaali, kuid ei muuda selles tähistuses selle nime.

Orbitaalide ja elektronide loendamine piirangu korral

Loendamisküsimused muutuvad rutiinseks, kui loetled lubatud l väärtused, seejärel igaühe mₗ väärtused ja alles siis rakendad piirangut. Igal orbitaalil ehk igal lubatud (n, l, mₗ) kombinatsioonil on kaks elektroni, kumbki eri spinniga.

Peakvantarvuga n kihis on n² orbitaali ja 2n² elektroni. Kui n = 4, võib l olla 0, 1, 2 või 3, mis annab 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitaali ja 32 elektroni.

Lahendatud näide 3. Mitmel aatomi elektronil saab olla n = 3 ja mₗ = +1? Kui n = 3, on l väärtused 0, 1 ja 2. mₗ = +1 on võimalik ainult siis, kui l ≥ 1, seega on üks selline orbitaal 3p-s ja üks 3d-s: kaks orbitaali, neli elektroni. Mitmel saab olla n = 5 ja mₛ = +½? 5. kihis on 5² = 25 orbitaali, igaühes üks +½ elektron, seega 25. Mitmel saab olla n = 4 ja l = 2? See on 4d-alamkiht: 5 orbitaali ja 10 elektroni.

Orbitaalide kujud ja sõlmpindade loendamine

Sõlmpind on koht, kus ψ ja seega elektroni leidmise tõenäosus on null. Orbitaalil on kokku n − 1 sõlmpinda. Neist l on nurksõlmpinnad, tuuma läbivad tasandid või koonused, ja ülejäänud n − l − 1 on radiaalsed sõlmpinnad, kindlal kaugusel paiknevad sfäärilised pinnad. OpenStax Chemistry 2e (jaotis 6.3) annab radiaalsete sõlmpindade reegli.

s-orbitaalid (l = 0) on sfäärilised ja ilma nurksõlmpindadeta, seega on 2s-orbitaalil üks radiaalne sõlmpind ja 3s-orbitaalil kaks. p-orbitaalidel (l = 1) on tuuma vastaskülgedel kaks sagarat, mille vahel on üks sõlmtasand; need kolm tähistatakse pₓ, p_y ja p_z vastavalt teljele, mille suunas need on. d-orbitaalidel (l = 2) on kaks nurksõlmpinda. Neljal neist on neli sagarat; viiendal, d_z², on kaks sagarat piki z-telge ja rõngas keskosa ümber.

Lahendatud näide 4. 3p-orbitaalil on 3 − 1 − 1 = 1 radiaalne sõlmpind ja 1 nurksõlmpind. 4d-orbitaalil on 1 radiaalne sõlmpind ja 2 nurksõlmpinda, kokku 3. 3d-orbitaalil ei ole radiaalseid sõlmpindu ja 6s-orbitaalil on neid 5.

Kui sama kihi orbitaalid erinevad energia poolest

Vesinikus sõltub energia ainult n-ist, seega on 3s-, 3p- ja 3d-orbitaalidel sama energia. Rohkem kui ühe elektroniga aatomites varjestavad teised elektronid tuuma ebaühtlaselt. s-elektron tungib tuumale lähemale kui sama kihi p- või d-elektron, tunneb suuremat osa tuumalaengust ja on madalama energiaga. Tulemuseks on kihisisene lõhenemine s < p < d < f, mis määrab täitumise järjekorra, mida käsitletakse elektronkonfiguratsioonide juhendis.

Sama alamkihi orbitaalid, näiteks kolm 2p-orbitaali, jäävad isoleeritud aatomis võrdse energiaga. Neid nimetatakse kõdunuteks. Ümbritsevad aatomid molekulis või kristallis võivad selle kõdumise lõhkuda.

Kvantarvude vead, mida kontrollida

Peaaegu iga viga tuleneb loetlemissammu vahelejätmisest. Kahtluse korral kirjuta enne loendamist välja kõik lubatud väärtused.

• l võrdsustamine n-iga. Suurim lubatud l on n − 1, seega ei ole olemas 1p- ega 2d-orbitaali.
• mₗ väärtuste lugemine 0-st l-ni, mitte −l-st +l-ni, mis annab orbitaalide arvuks liiga vähe.
• Orbitaalide loendamine, kui küsimus küsib elektrone, või vastupidi. Igal orbitaalil on kaks elektroni.
• mₛ väärtuseks 0 või 1 andmine. Spinn on ainult +½ või −½.
• Avaldise n − l − 1 kasutamine sõlmpindade koguarvuna. See valem loendab ainult radiaalseid sõlmpindu; koguarv on n − 1.
• 90% piirpinna käsitlemine terava servana. Elektrontihedus hääbub sujuvalt ja sel ei ole teravat piiri.