Νόμοι των αερίων: από τον νόμο του Boyle στη σχέση PV = nRT

Τέσσερις μεταβλητές που περιγράφουν ένα δείγμα αερίου

Ένα δείγμα αερίου περιγράφεται από την πίεσή του P, τον όγκο V, τη θερμοκρασία T και την ποσότητα n. Η πίεση εμφανίζεται σε πολλές μονάδες: μία ατμόσφαιρα είναι 101.325 kPa ή 760 mmHg και, για όλους τους πρακτικούς σκοπούς, ένα torr ισούται με ένα mmHg. Η ποσότητα είναι πάντα σε mol και όχι σε γραμμάρια.

Η θερμοκρασία πρέπει να είναι σε κέλβιν: προσθέστε 273.15 σε μια ένδειξη Κελσίου. Οι νόμοι των αερίων είναι αναλογίες και μια αναλογία λειτουργεί μόνο σε κλίμακα όπου το μηδέν σημαίνει μηδέν. Η μετάβαση από τους 10 °C στους 20 °C δεν διπλασιάζει τον όγκο ενός αερίου, ενώ ο διπλασιασμός από 283 K σε 566 K διπλασιάζει τον όγκο ενός αερίου που διατηρείται σε σταθερή πίεση.

Boyle, Charles και Avogadro ως φέτες ενός νόμου

Κάθε κλασικός νόμος κρατά δύο μεταβλητές σταθερές. Νόμος του Boyle: σε σταθερά n και T, P₁V₁ = P₂V₂, άρα η συμπίεση ενός αερίου στο μισό του όγκου διπλασιάζει την πίεσή του. Νόμος του Charles: σε σταθερά n και P, V₁/T₁ = V₂/T₂, άρα ο όγκος αυξάνεται ανάλογα με τη θερμοκρασία Κέλβιν. Νόμος του Avogadro: σε σταθερά P και T, V₁/n₁ = V₂/n₂, άρα ίσοι όγκοι αερίων περιέχουν ίσους αριθμούς μορίων.

Μαζί δίνουν τον συνδυασμένο νόμο των αερίων για σταθερή ποσότητα αερίου, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂. Όταν εμπιστευτείτε αυτή τη μορφή, διαγράψτε ό,τι μένει σταθερό και οι υπόλοιπες μεταβλητές δίνουν τη σωστή ειδική περίπτωση.

Λυμένο παράδειγμα 1. Ένας κύλινδρος με κινητό έμβολο περιέχει 1.75 L αζώτου στους 18.0 °C και 0.985 atm. Το αέριο ψύχεται στους −8.0 °C ενώ η πίεση στο έμβολο ελαττώνεται σε 0.712 atm. Μετατρέψτε πρώτα τις θερμοκρασίες: T₁ = 291.15 K και T₂ = 265.15 K. Λύστε ως προς V₂ = V₁ × (P₁/P₂) × (T₂/T₁) = 1.75 L × (0.985 atm / 0.712 atm) × (265.15 K / 291.15 K) = 2.20 L. Ελέγξτε την κατεύθυνση κάθε παράγοντα: η χαμηλότερη πίεση διαστέλλει το αέριο (λόγος πάνω από 1) και η ψύξη το συρρικνώνει (λόγος κάτω από 1).

Επίλυση προβλημάτων με τη σχέση PV = nRT

Η προσθήκη της ποσότητας αερίου στον συνδυασμένο νόμο δίνει τον νόμο των ιδανικών αερίων, PV = nRT. Κάθε προηγούμενος νόμος είναι ειδική περίπτωσή του.

Με πίεση σε ατμόσφαιρες και όγκο σε λίτρα, χρησιμοποιήστε R = 0.08206 L·atm/(mol·K)· με πίεση σε πασκάλ και όγκο σε κυβικά μέτρα, χρησιμοποιήστε R = 8.314 J/(mol·K).

Στους 273.15 K και 1 atm, ένα mol ιδανικού αερίου καταλαμβάνει 22.41 L. Από το 1982, η IUPAC ορίζει την πρότυπη πίεση ως 1 bar, όπου ο γραμμομοριακός όγκος στους 273.15 K είναι 22.71 L. Ελέγξτε ποια σύμβαση χρησιμοποιεί το μάθημά σας πριν βασιστείτε στα 22.4 L ανά mol ως συντόμευση.

Λυμένο παράδειγμα 2. Ένας χαλύβδινος κύλινδρος 2.50 L περιέχει 0.180 mol αργού στους 22.0 °C. Βρείτε την πίεση από τη σχέση P = nRT/V. T = 22.0 + 273.15 = 295.15 K. P = (0.180 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(295.15 K) / 2.50 L = 1.74 atm. Σε κιλοπασκάλ το αποτέλεσμα είναι 1.74 atm × 101.325 kPa/atm = 177 kPa.

Πυκνότητα αερίου και γραμμομοριακή μάζα από μέτρηση σε φιάλη

Επειδή n = m/M, όπου m η μάζα και M η γραμμομοριακή μάζα, ο νόμος των ιδανικών αερίων μπορεί να ξαναγραφεί ως PM = dRT, με d = m/V την πυκνότητα του αερίου. Σε σταθερή θερμοκρασία και πίεση, η πυκνότητα του αερίου είναι ανάλογη της γραμμομοριακής μάζας, άρα η ζύγιση γνωστού όγκου αερίου δίνει τη γραμμομοριακή του μάζα.

Λυμένο παράδειγμα 3. Μια φιάλη 0.500 L γεμάτη με άγνωστο αέριο στους 35.0 °C και 0.968 atm περιέχει 0.967 g του αερίου. Αν αντικαταστήσετε το n = m/M στον νόμο των ιδανικών αερίων και λύσετε, παίρνετε M = (m × R × T)/(P × V) = (0.967 g)(0.08206 L·atm/(mol·K))(308.15 K) / [(0.968 atm)(0.500 L)] = 50.5 g/mol. Με τις πρότυπες ατομικές μάζες της IUPAC στρογγυλοποιημένες σε δύο δεκαδικά (H 1.01, C 12.01, Cl 35.45), το χλωρομεθάνιο, CH₃Cl, έχει M = 12.01 + 3(1.01) + 35.45 = 50.49 g/mol, άρα τα δεδομένα συμφωνούν με αυτό το αέριο. Η συμφωνία δεν αποτελεί απόδειξη: ένα άλλο αέριο με παρόμοια γραμμομοριακή μάζα θα έδινε το ίδιο αποτέλεσμα.

Μερικές πιέσεις σε μείγματα και αέρια που συλλέγονται πάνω από νερό

Σε ένα μείγμα αερίων που δεν αντιδρούν, κάθε αέριο συμπεριφέρεται σαν να ήταν μόνο του. Ο νόμος του Dalton ορίζει ότι η ολική πίεση είναι το άθροισμα των μερικών πιέσεων: P_total = P_A + P_B + …. Κάθε μερική πίεση ισούται με το γραμμομοριακό κλάσμα του αερίου επί την ολική πίεση, P_A = x_A × P_total, όπου x_A = n_A/n_total.

Λυμένο παράδειγμα 4. Ένα δοχείο 4.00 L στους 25.0 °C περιέχει 0.150 mol N₂ και 0.0450 mol CO₂. Η συνολική ποσότητα είναι 0.195 mol, άρα P_total = (0.195 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(298.15 K) / 4.00 L = 1.19 atm. Το γραμμομοριακό κλάσμα του N₂ είναι 0.150/0.195 = 0.769, που δίνει P(N₂) = 0.917 atm, και P(CO₂) = 0.275 atm. Αθροίζουν στο 1.19 atm, όπως πρέπει.

Ένα αέριο που συλλέγεται πάνω από νερό είναι αναμεμειγμένο με υδρατμούς, γι' αυτό αφαιρέστε πρώτα την τάση ατμών του νερού στη συγκεκριμένη θερμοκρασία. Για υδρογόνο που συλλέγεται στους 23 °C με ολική πίεση 754 torr, η τάση ατμών του νερού είναι 21.1 torr (Πίνακας 9.2 του OpenStax), άρα P(H₂) = 754 − 21.1 = 733 torr, ή 0.964 atm. Σε δείγμα 0.312 L, n = (P × V)/(R × T) = (0.964 atm)(0.312 L) / [(0.08206 L·atm/(mol·K))(296.15 K)] = 0.0124 mol H₂.

Λάθη στους νόμους των αερίων που πρέπει να εντοπίσετε πριν υποβάλετε την απάντηση

Οι περισσότερες λάθος απαντήσεις στα προβλήματα αερίων προέρχονται από λίγες προβλέψιμες παραδρομές, καθεμία με συγκεκριμένο έλεγχο.

Η πιο χρήσιμη συνήθεια είναι να προβλέπετε αν η απάντηση πρέπει να μεγαλώσει ή να μικρύνει πριν υπολογίσετε. Αν η αριθμητική διαφωνεί, ψάξτε για αντεστραμμένο λόγο.

• Κελσίου στην εξίσωση: μια θερμοκρασία 25 αντί για 298.15 K δίνει απάντηση λάθος κατά παράγοντα περίπου 12. Για συνηθισμένες εργαστηριακές συνθήκες, κάθε T που αντικαθιστάτε πρέπει να είναι περίπου 250 K έως 400 K.
• Ασύμβατο R: η χρήση του 8.314 με atm και L κάνει την απάντηση λάθος κατά παράγοντα περίπου 100.
• Γραμμάρια αντί για mol: το n στη σχέση PV = nRT είναι ποσότητα σε mol. Αν το πρόβλημα δίνει μάζα, διαιρέστε πρώτα με τη γραμμομοριακή μάζα ή χρησιμοποιήστε το PM = dRT.
• Παράλειψη των υδρατμών: ένα αέριο που συλλέγεται πάνω από νερό δεν είναι ξηρό. Αφαιρέστε την τάση ατμών στη θερμοκρασία συλλογής.

Όταν τα πραγματικά αέρια παύουν να συμπεριφέρονται ιδανικά

Ο νόμος των ιδανικών αερίων προϋποθέτει ότι τα μόρια δεν καταλαμβάνουν όγκο και δεν έλκονται μεταξύ τους. Τα πραγματικά αέρια το προσεγγίζουν σε χαμηλή πίεση και υψηλή θερμοκρασία. Σε υψηλή πίεση, ο ίδιος ο όγκος των μορίων γίνεται αισθητό κλάσμα του δοχείου, άρα το αέριο είναι λιγότερο συμπιέσιμο από όσο προβλέπεται. Σε χαμηλή θερμοκρασία, οι έλξεις φέρνουν τα μόρια κοντά και η μετρημένη πίεση πέφτει κάτω από την ιδανική τιμή.

Η εξίσωση van der Waals προσθέτει δύο διορθώσεις: έναν όρο με το a για τις έλξεις και έναν όρο με το b για το μοριακό μέγεθος. Τα αέρια με ισχυρές διαμοριακές δυνάμεις έχουν μεγαλύτερες τιμές a και αποκλίνουν περισσότερο: ο Πίνακας 9.3 του OpenStax δίνει a = 5.46 L²·atm/mol² για τους υδρατμούς, έναντι 1.39 για το άζωτο και 0.0342 για το ήλιο. Κοντά στο 1 atm και στη θερμοκρασία δωματίου ο νόμος των ιδανικών αερίων είναι συνήθως καλός μέχρι μερικά τοις εκατό, αλλά μην τον εμπιστεύεστε κοντά στο σημείο όπου ένα αέριο συμπυκνώνεται.