Gasgesetze: vom Gesetz von Boyle zu PV = nRT

Vier Größen, die eine Gasprobe beschreiben

Eine Gasprobe wird durch ihren Druck P, ihr Volumen V, ihre Temperatur T und ihre Stoffmenge n beschrieben. Der Druck tritt in mehreren Einheiten auf: Eine Atmosphäre sind 101.325 kPa oder 760 mmHg, und für alle praktischen Zwecke entspricht ein Torr einem mmHg. Die Stoffmenge wird immer in Mol angegeben, nicht in Gramm.

Die Temperatur muss in Kelvin angegeben werden: Addiere 273.15 zu einem Celsius-Wert. Die Gasgesetze sind Proportionalitäten, und eine Proportionalität funktioniert nur auf einer Skala, deren Null wirklich null bedeutet. Der Übergang von 10 °C auf 20 °C verdoppelt das Volumen eines Gases nicht, aber die Verdopplung von 283 K auf 566 K verdoppelt das Volumen eines Gases bei konstantem Druck.

Boyle, Charles und Avogadro als Ausschnitte eines Gesetzes

Jedes klassische Gesetz hält zwei Größen konstant. Gesetz von Boyle: bei konstantem n und T gilt P₁V₁ = P₂V₂, sodass das Zusammendrücken eines Gases auf das halbe Volumen seinen Druck verdoppelt. Gesetz von Charles: bei konstantem n und P gilt V₁/T₁ = V₂/T₂, sodass das Volumen proportional zur Kelvin-Temperatur steigt. Gesetz von Avogadro: bei konstantem P und T gilt V₁/n₁ = V₂/n₂, sodass gleiche Gasvolumina gleich viele Moleküle enthalten.

Zusammen ergeben sie das kombinierte Gasgesetz für eine feste Gasmenge, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂. Vertraust du dieser Form, streiche, was konstant bleibt, und die übrigen Größen liefern den richtigen Sonderfall.

Rechenbeispiel 1. Ein Zylinder mit beweglichem Kolben enthält 1.75 L Stickstoff bei 18.0 °C und 0.985 atm. Das Gas wird auf −8.0 °C abgekühlt, während der Druck auf den Kolben auf 0.712 atm gesenkt wird. Rechne zuerst die Temperaturen um: T₁ = 291.15 K und T₂ = 265.15 K. Löse nach V₂ = V₁ × (P₁/P₂) × (T₂/T₁) = 1.75 L × (0.985 atm / 0.712 atm) × (265.15 K / 291.15 K) = 2.20 L. Prüfe die Richtung jedes Faktors: Niedrigerer Druck dehnt das Gas aus (Verhältnis über 1), und Abkühlen lässt es schrumpfen (Verhältnis unter 1).

Aufgaben mit PV = nRT lösen

Ergänzt man das kombinierte Gesetz um die Gasmenge, erhält man das ideale Gasgesetz, PV = nRT. Jedes frühere Gesetz ist ein Sonderfall davon.

Verwende bei Druck in Atmosphären und Volumen in Litern R = 0.08206 L·atm/(mol·K); bei Druck in Pascal und Volumen in Kubikmetern R = 8.314 J/(mol·K).

Bei 273.15 K und 1 atm nimmt ein Mol eines idealen Gases 22.41 L ein. Seit 1982 definiert die IUPAC den Standarddruck als 1 bar, wobei das Molvolumen bei 273.15 K 22.71 L beträgt. Prüfe, welche Konvention dein Kurs verwendet, bevor du dich auf 22.4 L pro Mol als Abkürzung verlässt.

Rechenbeispiel 2. Eine 2.50-L-Stahlflasche enthält 0.180 mol Argon bei 22.0 °C. Bestimme den Druck aus P = nRT/V. T = 22.0 + 273.15 = 295.15 K. P = (0.180 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(295.15 K) / 2.50 L = 1.74 atm. In Kilopascal ist das Ergebnis 1.74 atm × 101.325 kPa/atm = 177 kPa.

Gasdichte und molare Masse aus einer Kolbenmessung

Weil n = m/M gilt, wobei m die Masse und M die molare Masse ist, lässt sich das ideale Gasgesetz als PM = dRT schreiben, mit d = m/V als Gasdichte. Bei fester Temperatur und festem Druck ist die Gasdichte proportional zur molaren Masse, sodass das Wiegen eines bekannten Gasvolumens seine molare Masse liefert.

Rechenbeispiel 3. Ein 0.500-L-Kolben, gefüllt mit einem unbekannten Gas bei 35.0 °C und 0.968 atm, enthält 0.967 g des Gases. Setzt man n = m/M in das ideale Gasgesetz ein und stellt um, erhält man M = (m × R × T)/(P × V) = (0.967 g)(0.08206 L·atm/(mol·K))(308.15 K) / [(0.968 atm)(0.500 L)] = 50.5 g/mol. Mit IUPAC-Standard-Atomgewichten, auf zwei Dezimalstellen gerundet (H 1.01, C 12.01, Cl 35.45), hat Chlormethan, CH₃Cl, M = 12.01 + 3(1.01) + 35.45 = 50.49 g/mol, die Daten sind also mit diesem Gas vereinbar. Vereinbar ist nicht bewiesen: Ein anderes Gas mit ähnlicher molarer Masse würde dasselbe Ergebnis liefern.

Partialdrücke in Gemischen und über Wasser aufgefangene Gase

In einem Gemisch nicht reagierender Gase verhält sich jedes Gas so, als wäre es allein. Das Gesetz von Dalton besagt, dass der Gesamtdruck die Summe der Partialdrücke ist: P_total = P_A + P_B + …. Jeder Partialdruck ist der Stoffmengenanteil dieses Gases mal dem Gesamtdruck, P_A = x_A × P_total, mit x_A = n_A/n_total.

Rechenbeispiel 4. Ein 4.00-L-Gefäß bei 25.0 °C enthält 0.150 mol N₂ und 0.0450 mol CO₂. Die Gesamtstoffmenge ist 0.195 mol, also P_total = (0.195 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(298.15 K) / 4.00 L = 1.19 atm. Der Stoffmengenanteil von N₂ ist 0.150/0.195 = 0.769, was P(N₂) = 0.917 atm ergibt, und P(CO₂) = 0.275 atm. Sie summieren sich zu 1.19 atm, wie es sein muss.

Über Wasser aufgefangenes Gas ist mit Wasserdampf vermischt, ziehe daher zuerst den Dampfdruck von Wasser bei dieser Temperatur ab. Für Wasserstoff, der bei 23 °C mit einem Gesamtdruck von 754 torr aufgefangen wurde, beträgt der Wasserdampfdruck 21.1 torr (OpenStax Tabelle 9.2), also P(H₂) = 754 − 21.1 = 733 torr oder 0.964 atm. In einer 0.312-L-Probe ist n = (P × V)/(R × T) = (0.964 atm)(0.312 L) / [(0.08206 L·atm/(mol·K))(296.15 K)] = 0.0124 mol H₂.

Fehler bei Gasgesetzen, die du vor der Abgabe finden solltest

Die meisten falschen Antworten bei Gasaufgaben gehen auf wenige vorhersehbare Ausrutscher zurück, zu denen es jeweils eine eigene Kontrolle gibt.

Die nützlichste Gewohnheit ist, vor dem Rechnen vorherzusagen, ob das Ergebnis wachsen oder schrumpfen sollte. Widerspricht die Rechnung, suche nach einem umgekehrten Verhältnis.

• Celsius in der Gleichung: Eine Temperatur von 25 statt 298.15 K ergibt ein Ergebnis, das um etwa den Faktor 12 danebenliegt. Unter üblichen Laborbedingungen sollte jedes eingesetzte T ungefähr zwischen 250 K und 400 K liegen.
• Nicht passendes R: Die Verwendung von 8.314 mit atm und L verfehlt das Ergebnis um etwa den Faktor 100.
• Gramm statt Mol: n in PV = nRT ist eine Stoffmenge in Mol. Gibt die Aufgabe die Masse an, teile zuerst durch die molare Masse oder verwende PM = dRT.
• Wasserdampf vergessen: Ein über Wasser aufgefangenes Gas ist nicht trocken. Ziehe den Dampfdruck bei der Auffangtemperatur ab.

Wenn reale Gase sich nicht mehr ideal verhalten

Das ideale Gasgesetz setzt voraus, dass Moleküle kein Volumen einnehmen und einander nicht anziehen. Reale Gase nähern sich dem bei niedrigem Druck und hoher Temperatur an. Bei hohem Druck wird das Eigenvolumen der Moleküle zu einem spürbaren Bruchteil des Behälters, sodass das Gas weniger komprimierbar ist als vorhergesagt. Bei niedriger Temperatur ziehen Anziehungen die Moleküle zusammen, und der gemessene Druck fällt unter den idealen Wert.

Die van-der-Waals-Gleichung fügt zwei Korrekturen hinzu: einen Term in a für Anziehungen und einen Term in b für die Molekülgröße. Gase mit starken zwischenmolekularen Kräften haben größere a-Werte und weichen stärker ab: OpenStax Tabelle 9.3 nennt a = 5.46 L²·atm/mol² für Wasserdampf gegenüber 1.39 für Stickstoff und 0.0342 für Helium. Nahe 1 atm und Raumtemperatur ist das ideale Gasgesetz meist auf einige Prozent genau, aber vertraue ihm nicht nahe dem Punkt, an dem ein Gas kondensiert.