Llum i espectres atòmics: fotons, nivells d'energia i les línies de l'hidrogen

Longitud d'ona, freqüència i velocitat de la llum

La llum és una ona electromagnètica. La seva longitud d'ona λ és la distància entre crestes, i la seva freqüència ν és el nombre de crestes que passen per un punt cada segon, en hertzs (s⁻¹). En el buit, totes les longituds d'ona viatgen a la mateixa velocitat, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, un valor exacte per definició que recull el NIST. Les tres magnituds es relacionen amb c = λν, de manera que la longitud d'ona i la freqüència són inversament proporcionals: si una es redueix a la meitat, l'altra es duplica.

La llum visible va aproximadament de 400 nm (violeta) a 700 nm (vermell). La llum ultraviolada té longituds d'ona més curtes i freqüències més altes; la infraroja té longituds d'ona més llargues i freqüències més baixes. Converteix els nanòmetres en metres abans de fer servir c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energia del fotó i efecte fotoelèctric

La llum s'absorbeix i s'emet en paquets anomenats fotons. Cada fotó porta una energia E = hν = hc/λ, on h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s és la constant de Planck, també exacta. Una longitud d'ona més curta vol dir més energia per fotó. Una llum més brillant del mateix color vol dir més fotons, no fotons més energètics.

Exemple resolt 1. La llum groga d'un llum de sodi és a prop de 589.0 nm. La seva freqüència és ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Un fotó porta E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Multiplica pel nombre d'Avogadro, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, per a un mol de fotons: 2.031 × 10⁵ J, o 203.1 kJ/mol. És comparable a l'energia d'un enllaç químic feble, i per això la llum visible i l'ultraviolada poden provocar reaccions fotoquímiques.

L'efecte fotoelèctric mostra directament la imatge dels fotons. La llum arrenca electrons d'un metall només si cada fotó porta com a mínim la funció de treball del metall, Φ. Tota l'energia sobrant es converteix en energia cinètica de l'electró: KEmax = hν − Φ.

Exemple resolt 2. Suposa que una superfície metàl·lica té una longitud d'ona llindar de 540 nm (un valor donat per a aquest exercici). La seva funció de treball és Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. La llum violeta de 405 nm té fotons de 4.905 × 10⁻¹⁹ J, de manera que KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Arrodonit a tres xifres significatives, és 1.23 × 10⁻¹⁹ J, o 0.765 eV. La llum vermella de 650 nm, per intensa que sigui, no arrenca cap electró, perquè cada fotó només té 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Per què els àtoms donen espectres de línies i no arcs de Sant Martí

Un sòlid calent, com el filament d'una bombeta, emet un espectre continu. Un gas d'àtoms calent i a baixa pressió només emet determinades longituds d'ona. Els electrons d'un àtom només poden ocupar determinats nivells d'energia. Quan un electró baixa d'un nivell superior a un d'inferior, l'àtom emet un sol fotó l'energia del qual és igual a la diferència: ΔE = hν. Com que només existeixen determinades diferències, només apareixen determinades longituds d'ona.

L'absorció és el procés invers. Si fas passar llum blanca a través d'un gas fred, els àtoms n'eliminen exactament les longituds d'ona que corresponen als seus salts cap amunt, i deixen línies fosques en un espectre altrament continu. Un salt entre els mateixos dos nivells té la mateixa longitud d'ona tant si l'àtom absorbeix com si emet. El conjunt de diferències de cada element és únic, de manera que els espectres identifiquen elements en flames, làmpades i estrelles llunyanes.

Nivells d'energia de l'hidrogen i equació de Rydberg

En un àtom d'un sol electró, els nivells d'energia segueixen una fórmula senzilla. OpenStax Chemistry 2e (secció 6.2) dona Eₙ = −kZ²/n², amb k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z la càrrega nuclear i n = 1, 2, 3, …. L'energia és negativa perquè l'electró lligat té menys energia que un electró lliure en repòs, a la qual s'assigna el valor zero. A mesura que n creix, els nivells s'apilen cap a zero.

El fotó emès quan l'electró cau de nᵢ a un n_f més baix té una energia ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Dividint per hc s'obté l'equació de Rydberg per a l'hidrogen, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), amb R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Exemple resolt 3. Troba la longitud d'ona de la línia n = 3 → n = 2 de l'hidrogen. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, conservant un dígit addicional fins al final. Amb hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m, λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, o 656.4 nm. El NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data dona aquesta línia vermella a 656.3 nm en aire. La diferència en l'últim dígit prové de l'arrodoniment de k i de la velocitat de la llum lleugerament més baixa en l'aire.

Exemple resolt 4. L'energia d'ionització de l'hidrogen és l'energia necessària per portar l'electró de n = 1 a n = ∞, que és la mateixa k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J per àtom. Per mol, (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, o 1312 kJ/mol. El valor de la NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, equival a 1312.0 kJ/mol.

Sèries de Lyman, Balmer i Paschen

Les línies que acaben al mateix nivell inferior formen una sèrie. En totes, les línies s'acosten entre si a mesura que nᵢ augmenta i s'aproximen a un límit de la sèrie, on l'electró comença lliure.

• Sèrie de Lyman, que acaba a n = 1: ultraviolat. La línia 2 → 1 és a 121.6 nm, i el límit de la sèrie és a prop de 91.2 nm.
• Sèrie de Balmer, que acaba a n = 2: les quatre línies visibles de l'hidrogen, a uns 656, 486, 434 i 410 nm per a nᵢ = 3, 4, 5 i 6. El límit de la sèrie és a prop de 365 nm, a l'ultraviolat.
• Sèrie de Paschen, que acaba a n = 3: infraroig. La línia 4 → 3 és a prop de 1875 nm.

Errors amb els espectres i comprovacions ràpides

La majoria dels errors en aquests problemes són errors d'unitats o de signe. Dues comprovacions en detecten la majoria: un fotó visible hauria de portar aproximadament entre 2.8 i 5.0 × 10⁻¹⁹ J, i una diferència d'energia més gran ha de donar una longitud d'ona més curta.

• Deixar la longitud d'ona en nanòmetres en fer servir c = λν o E = hc/λ. Converteix-la primer a metres.
• Fer servir l'equació de Rydberg amb nᵢ i n_f intercanviats, cosa que dona una longitud d'ona negativa.
• Esperar que totes les línies de l'hidrogen siguin visibles. Tota la sèrie de Lyman és ultraviolada i la sèrie de Paschen és infraroja.
• Pensar que una llum més brillant arrenca fotoelectrons més ràpids. La intensitat canvia el nombre d'electrons, no la seva energia màxima.
• Aplicar Eₙ = −kZ²/n² a l'heli o a qualsevol àtom amb més d'un electró. Només és vàlida per a espècies d'un sol electró com H, He⁺ i Li²⁺.
• Oblidar el nombre d'Avogadro en convertir una energia per fotó a kJ/mol, o aplicar-lo dues vegades.

Què explica el model de Bohr i on deixa de funcionar

El model de Bohr de l'àtom d'hidrogen, amb l'electró en òrbites circulars d'energia fixa, reprodueix les línies de l'hidrogen i l'escalat amb Z² per a ions com l'He⁺. En l'He⁺, l'energia de cada transició de l'hidrogen és quatre vegades més gran, de manera que la seva línia 2 → 1 és a prop de 30.4 nm.

El model falla per als àtoms amb dos o més electrons, perquè la repulsió electró–electró canvia els nivells. També representa els electrons en trajectòries definides, cosa que la mecànica quàntica descarta. La teoria moderna conserva els nivells d'energia de Bohr per a l'hidrogen, però substitueix les òrbites per orbitals, que descriuen on és probable trobar un electró.