Dimenzionalna analiza i pretvaranje jedinica

Zašto je faktor konverzije prerušena jedinica

Jednakost poput 1 L = 1000 mL kaže da obje strane opisuju istu količinu. Dijeljenje jedne strane drugom stoga daje omjer koji je tačno jednak 1: (1000 mL / 1 L) = 1 i (1 L / 1000 mL) = 1. Množenje veličine sa 1 ne mijenja veličinu; mijenja samo način na koji je izražena. To je cjelokupno opravdanje metode.

Pošto svaka jednakost daje dva omjera, birate orijentaciju koja krati jedinicu koju imate i ostavlja jedinicu koju želite. Za pretvaranje 0.355 L u mililitre napišite 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Litri se krate jer se L pojavljuje jednom u brojniku i jednom u nazivniku. Ako se jedinice ne skrate, faktor je naopak, i to znate prije bilo kakvog računanja.

Egzaktne i izmjerene jednakosti

Neke jednakosti su definicije i egzaktne su: svaki SI prefiks (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ i 1 inč = 2.54 cm. Egzaktni faktori nikad ne ograničavaju značajne cifre. Druge jednakosti potiču iz mjerenja, poput gustoće ili mase jednog novčića, a njihove značajne cifre broje se kao kod bilo koje druge izmjerene vrijednosti.

Faktori prefiksa su najčešći izvor grešaka s obrnutim faktorom. Čitajte 1 µg = 10⁻⁶ g kao: jedan mikrogram je milioniti dio grama. Mala jedinica dobija 1, a velika jedinica malu potenciju broja deset, ili ekvivalentno 1 g = 10⁶ µg. Zapis 1 g = 10⁻⁶ µg obrće odnos za faktor 10¹².

• Dužina: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 inč = 2.54 cm (egzaktno).
• Zapremina: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Masa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Vrijeme: 1 h = 60 min = 3600 s.

Povezivanje više faktora u jednom redu

Kada nijedna pojedinačna jednakost ne povezuje početnu i ciljnu jedinicu, pomnožite lanac faktora, od kojih svaki krati jedinicu koju je uveo prethodni. Ako cijeli lanac napišete prije računanja, kraćenje provjeravate na prvi pogled i izbjegavate zaokruživanje između koraka.

Riješeni primjer 1. Pumpa isporučuje otapalo brzinom 1.75 mL/min. Koliki je protok u litrima po satu? Moraju se promijeniti dvije jedinice, jedna u brojniku i jedna u nazivniku. Postavite 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Mililitri se krate, minute se krate i ostaje L/h. Račun je 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Oba faktora su egzaktna, pa odgovor zadržava tri značajne cifre iz 1.75 mL/min.

Ovdje pomaže brza provjera razumnosti: sat ima 60 minuta, pa zapremina po satu mora biti veća nego po minuti, oko 105 mL. Izraženo u litrima, to je otprilike desetina litre, što odgovara vrijednosti 0.105 L/h.

Kvadratne i kubne jedinice zahtijevaju kvadratne i kubne faktore

Izvedena jedinica poput cm³ znači cm × cm × cm. Njeno pretvaranje zahtijeva primjenu faktora dužine jednom za svaku dimenziju, što činite podizanjem cijelog faktora, broja i jedinice zajedno, na odgovarajući stepen. (1 m / 100 cm)³ jednako je 1 m³ / 10⁶ cm³, a ne 1 m³ / 100 cm³.

Riješeni primjer 2. Ormar za odlaganje ima unutrašnju zapreminu 0.0465 m³. Izrazite je u kubnim centimetrima i u litrima. U kubnim centimetrima: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. U litrima koristite 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Za unakrsnu provjeru, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) također daje 46.5 L.

Brzine promjene i druge složene jedinice slijede istu logiku. Pritisak u N/m², brzina u m/s i koncentracija u mol/L imaju svaku jedinicu pretvorenu zasebno, uz poštivanje eksponenata.

Gustoća kao most između mase i zapremine

Gustoća je masa podijeljena zapreminom, pa radi kao faktor konverzije u obje orijentacije: (g / mL) pretvara zapreminu u masu, a (mL / g) pretvara masu u zapreminu. Za razliku od faktora prefiksa, gustoća se mjeri, zavisi od temperature i ograničava značajne cifre.

Riješeni primjer 3. OpenStax Chemistry 2e (Tabela 1.4) navodi gustoću glicerola kao 1.26 g/cm³ blizu sobne temperature. Koja zapremina glicerola sadrži 15.0 g? Obrnite gustoću da se gramovi krate: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, što je 11.9 mL jer je 1 cm³ = 1 mL egzaktno. Kalkulator prikazuje 11.905, a obje ulazne vrijednosti imaju tri značajne cifre.

Sada krenite u suprotnom smjeru kroz duži lanac: kolika je masa, u kilogramima, 2.50 L glicerola? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Litra vode ima masu blizu 1 kg, a glicerol je nešto gušći od vode, pa je nešto više od 2.5 kg razumno.

Temperaturne skale i druge pretvorbe s pomakom

Metoda faktora i oznaka rukuje proporcionalnim odnosima, gdje nula u jednoj jedinici znači nulu u drugoj. Celzijusova, Fahrenheitova i Kelvinova skala nemaju zajedničku nulu, pa pretvaranje temperature zahtijeva jednačinu s dodatnim pomakom: T(K) = T(°C) + 273.15 i T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Na primjer, 21.47 °C je 21.47 + 273.15 = 294.62 K i 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Promjene temperature su drugačije. Promjena od 1 °C jednaka je promjeni od 1 K i promjeni od 1.8 °F, bez pomaka, jer se pomak poništava kada oduzmete dvije temperature. Imajte tu razliku na umu kada jednačina za toplotu ili brzinu koristi ΔT umjesto T.

Greške pri pretvaranju i kako ih uhvatiti

Dimenzionalna analiza jamči da je konačna jedinica ispravna ako je svaki faktor prava jednakost. Ne jamči da ste odabrali pravu veličinu, pa provjeru jedinica kombinirajte s procjenom veličine.

Prije množenja odlučite treba li broj porasti ili se smanjiti. Pretvaranje u manju jedinicu, poput litara u mililitre, daje veći broj; pretvaranje u veću jedinicu daje manji. Ako se rezultat kreće u pogrešnom smjeru, u nekom faktoru su brojevi zamijenjeni, što je upravo ono što pogrešno upamćen prefiks uzrokuje čak i kada se jedinice naizgled skrate.

• Obrnut faktor: ako jedinica koju ste željeli ukloniti preživi, obrnite taj faktor.
• Zamijenjen prefiks: provjerite da manja jedinica ima veći broj, kao u 1 kg = 1000 g.
• Zaboravljen stepen: faktori površine i zapremine moraju se kvadrirati ili kubirati, uključujući broj.
• Izostavljanje jedinica usred računa: pišite jedinice uz svaki broj da nedostajuće kraćenje ostane vidljivo.
• Tretiranje izmjerenog faktora kao egzaktnog: gustoća ili izmjerena masa po komadu ograničava značajne cifre.
• Ispravne jedinice, pogrešna fizika: grami rastvora i grami rastvorene tvari oboje se kraće kao g, pa svaku veličinu označite onim što opisuje.