কোয়ান্টাম সংখ্যা ও অরবিটাল: নিয়ম, গণনা ও আকৃতি

তরঙ্গরূপে ইলেকট্রন: দ্য ব্রয়লি তরঙ্গদৈর্ঘ্য

1924 সালে দ্য ব্রয়লি প্রস্তাব করেন যে যেকোনো গতিশীল কণার একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য আছে, λ = h/(mv), যেখানে h প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক, m ভর এবং v বেগ। দৈনন্দিন বস্তুর ক্ষেত্রে তরঙ্গদৈর্ঘ্য এত ক্ষুদ্র যে টের পাওয়া যায় না। 40.0 m/s বেগে চলমান 0.145 kg-এর একটি বেসবলের λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m। 9.109 × 10⁻³¹ kg ভরের (NIST CODATA) একটি ইলেকট্রনের ক্ষেত্রে তরঙ্গদৈর্ঘ্য একটি পরমাণুর আকারের সঙ্গে তুলনীয়।

সমাধান করা উদাহরণ 1। 2.188 × 10⁶ m/s বেগে চলমান একটি ইলেকট্রনের λ = h/(mv)। CODATA মান h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s এবং m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg নিয়ে λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, বা 0.3324 nm। এই বেগটিই বোর মডেল হাইড্রোজেনের সর্বনিম্ন কক্ষপথের ইলেকট্রনকে দেয়, যে কক্ষপথের ব্যাসার্ধ হলো বোর ব্যাসার্ধ, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA)। কক্ষপথের পরিধি 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, তাই এর চারপাশে ঠিক একটি ইলেকট্রন তরঙ্গদৈর্ঘ্য এঁটে যায়, 0.02%-এর চেয়েও ভালো মিলসহ। একটি ইলেকট্রন তরঙ্গকে যখন নিজেকে বাতিল না করে তার জায়গায় এঁটে যেতে হয়, তখনই কোয়ান্টায়িত শক্তিস্তর পাওয়া যায়, ঠিক যেমন গিটারের তার কেবল নির্দিষ্ট কিছু কম্পাঙ্কে কাঁপতে পারে।

অনিশ্চয়তা এবং নির্দিষ্ট কক্ষপথের অবসান

হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি অবস্থান ও ভরবেগ একসঙ্গে কতটা ভালোভাবে জানা যায় তার একটি সীমা নির্ধারণ করে: Δx·Δp ≥ ħ/2, যেখানে ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s।

সমাধান করা উদাহরণ 2। একটি ইলেকট্রনকে 1.0 × 10⁻¹⁰ m চওড়া একটি অঞ্চলে আবদ্ধ করুন, যা প্রায় একটি পরমাণুর আকার। তাহলে Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, এবং Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s। বেগের অনিশ্চয়তা বেগেরই একটি বড় ভগ্নাংশ, তাই গ্রহের কক্ষপথের মতো সুনির্দিষ্ট পথের ধারণা পরমাণুর ইলেকট্রনের জন্য অর্থহীন।

কোয়ান্টাম বলবিদ্যা পথের বদলে একটি তরঙ্গ অপেক্ষক, ψ, ব্যবহার করে। এর বর্গ, ψ², হলো সম্ভাবনা ঘনত্ব: একটি ছোট অঞ্চলের আয়তন দিয়ে গুণ করলে এটি সেখানে ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা দেয়। একটি অরবিটাল হলো একটি ইলেকট্রনের তরঙ্গ অপেক্ষক, এবং অরবিটালের পরিচিত ছবিগুলো এমন পৃষ্ঠ যা সেই সম্ভাবনার বেশিরভাগ, প্রায়ই 90%, ঘিরে রাখে।

n, l, mₗ ও mₛ-এর অনুমোদিত মান

হাইড্রোজেন পরমাণুর জন্য তরঙ্গ সমীকরণ সমাধান করলে তিনটি কোয়ান্টাম সংখ্যা পাওয়া যায়, যার প্রতিটি তার আগেরটি দ্বারা সীমাবদ্ধ। চতুর্থটি ইলেকট্রনের স্পিন বর্ণনা করে। পুরো বিষয়টাই এই সীমাবদ্ধতাগুলোর ওপর দাঁড়িয়ে।

• মুখ্য কোয়ান্টাম সংখ্যা n = 1, 2, 3, …। এটি শক্তিস্তর এবং হাইড্রোজেনে শক্তি নির্ধারণ করে। বড় n মানে বড়, উচ্চতর শক্তির অরবিটাল।
• কৌণিক ভরবেগ কোয়ান্টাম সংখ্যা l = 0, 1, …, n − 1। এটি উপস্তর ও আকৃতি নির্ধারণ করে: l = 0, 1, 2, 3 হলো s, p, d, f।
• চৌম্বক কোয়ান্টাম সংখ্যা mₗ = −l, …, 0, …, +l, যা 2l + 1টি মান দেয়। এটি স্থানে অরবিটালের অভিমুখ নির্ধারণ করে।
• স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা mₛ = +½ বা −½। এটি অন্য তিনটির ওপর নির্ভর করে না।

সমাধান করা উদাহরণ: কোয়ান্টাম সংখ্যার ছয়টি সেট যাচাই

একটি সেট (n, l, mₗ, mₛ) যাচাই করতে ক্রমানুসারে প্রতিটি সংখ্যাকে তার আগেরটির সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন। প্রথম লঙ্ঘনেই থামুন।

(3, 3, 0, +½) অনুমোদিত নয়: l সর্বোচ্চ n − 1 = 2 হতে পারে। (4, 2, −3, −½) অনুমোদিত নয়: l = 2 হলে mₗ কেবল −2 থেকে +2 পর্যন্ত চলে। (3, 2, 1, 0) অনুমোদিত নয়: mₛ অবশ্যই +½ বা −½ হবে, কখনো 0 নয়। (2, 1, −1, −½) অনুমোদিত এবং একটি 2p অরবিটালের ইলেকট্রন বর্ণনা করে। (5, 0, 0, +½) অনুমোদিত এবং একটি 5s ইলেকট্রন বর্ণনা করে। (4, 3, −3, +½) অনুমোদিত এবং একটি 4f ইলেকট্রন বর্ণনা করে।

একটি অনুমোদিত সেট থেকে অরবিটালের নাম দিতে n লিখুন, তারপর l-এর অক্ষরটি লিখুন। mₗ-এর মান উপস্তরের মধ্যে একটি অরবিটাল বেছে নেয়, কিন্তু এই প্রতীকপদ্ধতিতে তার নাম বদলায় না।

শর্তসাপেক্ষে অরবিটাল ও ইলেকট্রন গোনা

গণনার প্রশ্ন সহজ নিয়মমাফিক কাজ হয়ে যায় যদি আপনি অনুমোদিত l মানগুলো, তারপর প্রতিটির mₗ মানগুলো তালিকা করেন, এবং কেবল তারপরই শর্তটি প্রয়োগ করেন। প্রতিটি অরবিটাল, অর্থাৎ প্রতিটি অনুমোদিত (n, l, mₗ) সমন্বয়, দুটি ইলেকট্রন ধারণ করে, প্রতিটি স্পিনের একটি করে।

মুখ্য কোয়ান্টাম সংখ্যা n-এর একটি শক্তিস্তরে n²টি অরবিটাল ও 2n²টি ইলেকট্রন থাকে। n = 4-এর জন্য l হতে পারে 0, 1, 2 বা 3, যা দেয় 1 + 3 + 5 + 7 = 16টি অরবিটাল ও 32টি ইলেকট্রন।

সমাধান করা উদাহরণ 3। একটি পরমাণুতে কয়টি ইলেকট্রনের n = 3 ও mₗ = +1 হতে পারে? n = 3-এর জন্য l-এর মান 0, 1 ও 2। mₗ = +1 কেবল l ≥ 1 হলে সম্ভব, তাই 3p-তে এমন একটি এবং 3d-তে একটি অরবিটাল আছে: দুটি অরবিটাল, চারটি ইলেকট্রন। কয়টির n = 5 ও mₛ = +½ হতে পারে? শক্তিস্তর 5-এ 5² = 25টি অরবিটাল, প্রতিটিতে একটি করে +½ ইলেকট্রন, তাই 25টি। কয়টির n = 4 ও l = 2 হতে পারে? এটি 4d উপস্তর: 5টি অরবিটাল ও 10টি ইলেকট্রন।

অরবিটালের আকৃতি ও নোড গোনা

নোড হলো এমন জায়গা যেখানে ψ, এবং তাই ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা, শূন্য। একটি অরবিটালে মোট n − 1টি নোড থাকে। এর মধ্যে l-টি কৌণিক নোড, অর্থাৎ নিউক্লিয়াসের মধ্য দিয়ে যাওয়া তল বা শঙ্কু, এবং বাকি n − l − 1টি অরীয় নোড, অর্থাৎ নির্দিষ্ট দূরত্বে গোলকীয় খোল। OpenStax Chemistry 2e (অনুচ্ছেদ 6.3) অরীয় নোডের নিয়মটি দেয়।

s অরবিটাল (l = 0) গোলকাকার এবং এর কোনো কৌণিক নোড নেই, তাই একটি 2s অরবিটালে একটি অরীয় নোড এবং একটি 3s অরবিটালে দুটি। p অরবিটালের (l = 1) নিউক্লিয়াসের বিপরীত দুই পাশে দুটি লোব থাকে, যাদের মাঝে একটি নোডতল; তিনটি p অরবিটালকে তারা যে অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে সে অনুযায়ী pₓ, p_y ও p_z লেবেল দেওয়া হয়। d অরবিটালের (l = 2) দুটি কৌণিক নোড আছে। এদের চারটির চারটি করে লোব; পঞ্চমটি, d_z², z অক্ষ বরাবর দুটি লোব এবং মাঝখানে একটি বলয় নিয়ে গঠিত।

সমাধান করা উদাহরণ 4। একটি 3p অরবিটালে 3 − 1 − 1 = 1টি অরীয় নোড এবং 1টি কৌণিক নোড। একটি 4d অরবিটালে 1টি অরীয় নোড এবং 2টি কৌণিক নোড, মোট 3টি। একটি 3d অরবিটালে কোনো অরীয় নোড নেই, এবং একটি 6s অরবিটালে 5টি।

একই শক্তিস্তরের অরবিটালগুলোর শক্তি যখন ভিন্ন হয়

হাইড্রোজেনে শক্তি কেবল n-এর ওপর নির্ভর করে, তাই 3s, 3p ও 3d-এর শক্তি সমান। একাধিক ইলেকট্রনযুক্ত পরমাণুতে অন্য ইলেকট্রনগুলো নিউক্লিয়াসকে অসমভাবে আবৃত করে। একটি s ইলেকট্রন একই শক্তিস্তরের p বা d ইলেকট্রনের চেয়ে নিউক্লিয়াসের বেশি কাছে প্রবেশ করে, নিউক্লিয়াসের চার্জের বেশি অংশ অনুভব করে এবং কম শক্তির হয়। ফলাফল হলো একটি শক্তিস্তরের মধ্যে s < p < d < f বিভাজন, যা ইলেকট্রন বিন্যাস গাইডে আলোচিত পূরণ ক্রম নির্ধারণ করে।

একই উপস্তরের অরবিটালগুলো, যেমন তিনটি 2p অরবিটাল, একটি বিচ্ছিন্ন পরমাণুতে সমান শক্তির থাকে। এদের সমশক্তিসম্পন্ন বলা হয়। অণু বা কেলাসে চারপাশের পরমাণু সেই সমশক্তিতা ভেঙে দিতে পারে।

কোয়ান্টাম সংখ্যার যে ভুলগুলো যাচাই করবেন

প্রায় প্রতিটি ভুল আসে তালিকা করার ধাপটি বাদ দেওয়া থেকে। সন্দেহ হলে গোনার আগে প্রতিটি অনুমোদিত মান লিখে ফেলুন।

• l-কে n-এর সমান ধরা। l-এর সর্বোচ্চ অনুমোদিত মান n − 1, তাই 1p বা 2d অরবিটাল নেই।
• mₗ-এর মান −l থেকে +l-এর বদলে 0 থেকে l পর্যন্ত গোনা, যা অরবিটাল কম গোনে।
• প্রশ্নে ইলেকট্রন চাইলে অরবিটাল গোনা, বা উল্টোটা। প্রতিটি অরবিটাল দুটি ইলেকট্রন ধারণ করে।
• mₛ-কে 0 বা 1 মান দেওয়া। স্পিন কেবল +½ বা −½।
• n − l − 1-কে নোডের মোট সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করা। এই সূত্র কেবল অরীয় নোড গোনে; মোট সংখ্যা n − 1।
• 90% সীমানা পৃষ্ঠকে একটি শক্ত প্রান্ত হিসেবে ধরা। ইলেকট্রন ঘনত্ব মসৃণভাবে ক্ষীণ হয়ে আসে এবং এর কোনো তীক্ষ্ণ সীমানা নেই।