Квантови числа и орбитали: правила, броене и форми

Електроните като вълни: дължината на вълната на дьо Бройл

През 1924 г. дьо Бройл предполага, че всяка движеща се частица има дължина на вълната λ = h/(mv), където h е константата на Планк, m – масата, а v – скоростта. За ежедневните предмети дължината на вълната е твърде малка, за да бъде забелязана. Бейзболна топка от 0.145 kg при 40.0 m/s има λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. За електрон с маса 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) дължината на вълната е сравнима с размера на атом.

Решен пример 1. Електрон, движещ се с 2.188 × 10⁶ m/s, има λ = h/(mv). Със стойностите по CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s и m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, или 0.3324 nm. Тази скорост е онази, която моделът на Бор приписва на електрона в най-ниската орбита на водорода, чийто радиус е радиусът на Бор, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Обиколката на орбитата е 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, така че по нея се побира една дължина на вълната на електрона, със съвпадение по-добро от 0.02%. Квантуваните енергетични нива са това, което се получава, когато електронната вълна трябва да се побере в своето пространство, без да се самоизгаси – подобно на китарна струна, която може да трепти само с определени честоти.

Неопределеност и краят на фиксираните орбити

Принципът на неопределеността на Хайзенберг поставя граница на това колко точно могат да бъдат известни едновременно положението и импулсът: Δx·Δp ≥ ħ/2, където ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Решен пример 2. Ограничете електрон в област с ширина 1.0 × 10⁻¹⁰ m, около размера на атом. Тогава Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, а Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Неопределеността в скоростта е значителна част от самата скорост, така че определена траектория, като орбитата на планета, е безсмислена за електрон в атом.

Квантовата механика заменя траекторията с вълнова функция, ψ. Нейният квадрат, ψ², е плътността на вероятността: умножен по обема на малка област, той дава вероятността електронът да бъде намерен там. Орбиталата е вълнова функция за един електрон, а познатите изображения на орбитали са повърхности, които обхващат по-голямата част от тази вероятност, често 90%.

Разрешени стойности на n, l, mₗ и mₛ

Решаването на вълновото уравнение за водородния атом дава три квантови числа, всяко ограничено от предишното. Четвърто описва спина на електрона. Ограниченията са цялата игра.

• Главно квантово число n = 1, 2, 3, …. То определя обвивката и, при водорода, енергията. По-голямо n означава по-голяма орбитала с по-висока енергия.
• Орбитално квантово число l = 0, 1, …, n − 1. То определя подобвивката и формата: l = 0, 1, 2, 3 са s, p, d, f.
• Магнитно квантово число mₗ = −l, …, 0, …, +l, което дава 2l + 1 стойности. То определя ориентацията на орбиталата в пространството.
• Спиново квантово число mₛ = +½ или −½. То не зависи от другите три.

Решен пример: проверка на шест набора от квантови числа

За да проверите набор (n, l, mₗ, mₛ), сравнете всяко число с предишното, по ред. Спрете при първото нарушение.

(3, 3, 0, +½) не е разрешен: l трябва да е най-много n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) не е разрешен: при l = 2 mₗ се изменя само от −2 до +2. (3, 2, 1, 0) не е разрешен: mₛ трябва да е +½ или −½, никога 0. (2, 1, −1, −½) е разрешен и описва електрон в 2p орбитала. (5, 0, 0, +½) е разрешен и описва 5s електрон. (4, 3, −3, +½) е разрешен и описва 4f електрон.

За да назовете орбиталата от разрешен набор, запишете n, последвано от буквата за l. Стойността на mₗ избира една орбитала в подобвивката, но не променя името ѝ в този запис.

Броене на орбитали и електрони при ограничение

Въпросите за броене стават рутинни, ако изпишете разрешените стойности на l, после стойностите на mₗ за всяка от тях и едва тогава приложите ограничението. Всяка орбитала, т.е. всяка разрешена комбинация (n, l, mₗ), побира два електрона, по един с всеки спин.

Обвивка с главно квантово число n съдържа n² орбитали и 2n² електрона. При n = 4 l може да е 0, 1, 2 или 3, което дава 1 + 3 + 5 + 7 = 16 орбитали и 32 електрона.

Решен пример 3. Колко електрона в един атом могат да имат n = 3 и mₗ = +1? Стойностите на l при n = 3 са 0, 1 и 2. mₗ = +1 е възможно само когато l ≥ 1, така че има една такава орбитала в 3p и една в 3d: две орбитали, четири електрона. Колко могат да имат n = 5 и mₛ = +½? Обвивка 5 има 5² = 25 орбитали, всяка с един електрон +½, значи 25. Колко могат да имат n = 4 и l = 2? Това е подобвивката 4d: 5 орбитали и 10 електрона.

Форми на орбиталите и броене на възлите

Възелът е място, където ψ, а следователно и вероятността да се намери електронът, е нула. Една орбитала има общо n − 1 възела. От тях l са ъглови възли – равнини или конуси през ядрото, а останалите n − l − 1 са радиални възли – сферични повърхности на фиксирани разстояния. OpenStax Chemistry 2e (раздел 6.3) дава правилото за радиалните възли.

s орбиталите (l = 0) са сферични и нямат ъглови възли, така че 2s орбитала има един радиален възел, а 3s орбитала има два. p орбиталите (l = 1) имат два дяла от противоположните страни на ядрото с една възлова равнина между тях; трите се означават с pₓ, p_y и p_z според оста, по която са насочени. d орбиталите (l = 2) имат два ъглови възела. Четири от тях имат по четири дяла; петата, d_z², има два дяла по оста z и пръстен около средата.

Решен пример 4. 3p орбитала има 3 − 1 − 1 = 1 радиален възел и 1 ъглов възел. 4d орбитала има 1 радиален възел и 2 ъглови възела, общо 3. 3d орбитала няма радиални възли, а 6s орбитала има 5.

Когато орбиталите в една обвивка се различават по енергия

При водорода енергията зависи само от n, така че 3s, 3p и 3d имат една и съща енергия. В атоми с повече от един електрон другите електрони екранират ядрото неравномерно. s електрон прониква по-близо до ядрото от p или d електрон от същата обвивка, усеща по-голяма част от заряда на ядрото и е с по-ниска енергия. Резултатът е разцепването s < p < d < f в рамките на обвивката, което определя реда на запълване, разгледан в ръководството за електронните конфигурации.

Орбиталите в една и съща подобвивка, като трите 2p орбитали, остават с еднаква енергия в изолиран атом. Те се наричат изродени. Околните атоми в молекула или кристал могат да нарушат това израждане.

Грешки с квантовите числа, за които да проверите

Почти всяка грешка идва от пропускане на стъпката с изписването. При съмнение изпишете всяка разрешена стойност, преди да броите.

• Допускане l да е равно на n. Най-голямото разрешено l е n − 1, така че няма 1p или 2d орбитала.
• Броене на стойностите на mₗ от 0 до l вместо от −l до +l, което дава по-малко орбитали.
• Броене на орбитали, когато въпросът пита за електрони, или обратното. Всяка орбитала побира два електрона.
• Даване на mₛ стойност 0 или 1. Спинът е само +½ или −½.
• Използване на n − l − 1 като общ брой възли. Тази формула брои само радиалните възли; общият брой е n − 1.
• Третиране на граничната повърхност от 90% като твърд ръб. Електронната плътност намалява плавно и няма рязка граница.