أعداد الكم والأوربيتالات: القواعد والعدّ والأشكال

الإلكترونات كموجات: طول موجة دي بروي

سنة 1924 اقترح دي بروي إن أي جسيم متحرك ليه طول موجي λ = h/(mv)، حيث h ثابت بلانك، وm الكتلة، وv السرعة. في الأجسام اليومية الطول الموجي صغير جدًا لدرجة إنه مايتلاحظش. كورة بيسبول كتلتها 0.145 kg وسرعتها 40.0 m/s ليها λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. أما الإلكترون، اللي كتلته 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA)، فطوله الموجي قريب من حجم الذرة.

مثال محلول 1. إلكترون بيتحرك بسرعة 2.188 × 10⁶ m/s ليه λ = h/(mv). بقيم CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s وm = 9.10938 × 10⁻³¹ kg، يبقى λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m، يعني 0.3324 nm. السرعة دي هي اللي نموذج بور بيدّيها للإلكترون في أقل مدار للهيدروجين، اللي نصف قطره هو نصف قطر بور، a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). محيط المدار 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m، فطول موجي واحد للإلكترون بيلف حواليه بالظبط، بتطابق أحسن من 0.02%. مستويات الطاقة المكمّاة هي اللي بتطلع لما موجة الإلكترون لازم تملا مساحتها من غير ما تلغي نفسها، زي ما وتر الجيتار يقدر يهتز عند ترددات معيّنة بس.

عدم اليقين ونهاية المدارات الثابتة

مبدأ عدم اليقين لهايزنبرج بيحط حد لقد إيه ممكن نعرف الموضع وكمية الحركة مع بعض: Δx·Δp ≥ ħ/2، حيث ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

مثال محلول 2. احصر إلكترون في منطقة عرضها 1.0 × 10⁻¹⁰ m، حوالي حجم ذرة. يبقى Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s، وΔv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. عدم اليقين في السرعة جزء كبير من السرعة نفسها، فالمسار المحدد، زي مدار كوكب، ملوش معنى لإلكترون جوه ذرة.

ميكانيكا الكم بتستبدل المسار بدالة موجية، ψ. مربعها، ψ²، هو كثافة الاحتمال: لو اتضربت في حجم منطقة صغيرة بتدّي احتمال إنك تلاقي الإلكترون هناك. الأوربيتال دالة موجية لإلكترون واحد، وصور الأوربيتالات المعروفة هي أسطح بتحاوط أغلب الاحتمال ده، غالبًا 90%.

القيم المسموحة لـ n وl وmₗ وmₛ

حل معادلة الموجة لذرة الهيدروجين بيطلّع تلات أعداد كم، كل واحد مقيّد باللي قبله. ورابع بيوصف لف الإلكترون. القيود دي هي اللعبة كلها.

• عدد الكم الرئيسي n = 1، 2، 3، …. بيحدد مستوى الطاقة، وفي الهيدروجين بيحدد الطاقة. n الأكبر معناها أوربيتال أكبر وطاقته أعلى.
• عدد كم الزخم الزاوي l = 0، 1، …، n − 1. بيحدد المستوى الفرعي والشكل: l = 0 و1 و2 و3 هي s وp وd وf.
• عدد الكم المغناطيسي mₗ = −l، …، 0، …، +l، وده بيدّي 2l + 1 قيمة. بيحدد اتجاه الأوربيتال في الفراغ.
• عدد كم اللف mₛ = +½ أو −½. مش بيعتمد على التلاتة التانيين.

مثال محلول: اختبار ست مجموعات من أعداد الكم

عشان تختبر مجموعة (n، l، mₗ، mₛ)، افحص كل رقم مقابل اللي قبله، بالترتيب. ووقّف عند أول مخالفة.

(3, 3, 0, +½) مش مسموحة: l لازم تبقى على الأكتر n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) مش مسموحة: مع l = 2، mₗ بتمتد بس من −2 لـ +2. (3, 2, 1, 0) مش مسموحة: mₛ لازم تبقى +½ أو −½، عمرها ما تبقى 0. (2, 1, −1, −½) مسموحة وبتوصف إلكترون في أوربيتال 2p. (5, 0, 0, +½) مسموحة وبتوصف إلكترون 5s. (4, 3, −3, +½) مسموحة وبتوصف إلكترون 4f.

عشان تسمّي الأوربيتال من مجموعة مسموحة، اكتب n وبعدها الحرف بتاع l. قيمة mₗ بتختار أوربيتال واحد جوه المستوى الفرعي لكنها مش بتغيّر اسمه في الترميز ده.

عدّ الأوربيتالات والإلكترونات تحت شرط

أسئلة العدّ بتبقى روتينية لو سردت قيم l المسموحة، وبعدين قيم mₗ لكل واحدة، وبعد كده بس تطبّق الشرط. كل أوربيتال، يعني كل تركيبة (n، l، mₗ) مسموحة، بيشيل إلكترونين، واحد بكل اتجاه لف.

مستوى الطاقة اللي عدد الكم الرئيسي بتاعه n فيه n² أوربيتال و2n² إلكترون. لـ n = 4، l ممكن تبقى 0 أو 1 أو 2 أو 3، وده بيدّي 1 + 3 + 5 + 7 = 16 أوربيتال و32 إلكترون.

مثال محلول 3. كام إلكترون في الذرة ممكن يكون ليهم n = 3 وmₗ = +1؟ قيم l لـ n = 3 هي 0 و1 و2. mₗ = +1 ممكنة بس لما l ≥ 1، فيه أوربيتال واحد زي ده في 3p وواحد في 3d: أوربيتالين، أربع إلكترونات. كام واحد ممكن يكون ليه n = 5 وmₛ = +½؟ مستوى الطاقة 5 فيه 5² = 25 أوربيتال، كل واحد فيه إلكترون واحد +½، يبقى 25. كام واحد ممكن يكون ليه n = 4 وl = 2؟ ده المستوى الفرعي 4d: 5 أوربيتالات و10 إلكترونات.

أشكال الأوربيتالات وعدّ العُقد

العُقدة مكان فيه ψ، وبالتالي احتمال وجود الإلكترون، بيساوي صفر. الأوربيتال فيه n − 1 عُقدة في المجموع. منهم l عُقد زاوية، مستويات أو مخاريط بتعدّي بالنواة، والباقي n − l − 1 عُقد قطرية، قشرات كروية على مسافات ثابتة. OpenStax Chemistry 2e (القسم 6.3) بيدّي قاعدة العُقد القطرية.

أوربيتالات s (l = 0) كروية ومفيهاش عُقد زاوية، فأوربيتال 2s فيه عُقدة قطرية واحدة و3s فيه اتنين. أوربيتالات p (l = 1) ليها فصّين على جانبين متقابلين من النواة وبينهم مستوى عُقدي واحد؛ والتلاتة بيتسمّوا pₓ وp_y وp_z حسب المحور اللي بيشاوروا عليه. أوربيتالات d (l = 2) فيها عُقدتين زاويتين. أربعة منهم ليهم أربع فصوص؛ والخامس، d_z²، ليه فصّين على محور z وحلقة حوالين النص.

مثال محلول 4. أوربيتال 3p فيه 3 − 1 − 1 = 1 عُقدة قطرية و1 عُقدة زاوية. أوربيتال 4d فيه 1 عُقدة قطرية و2 عُقدة زاوية، 3 في المجموع. أوربيتال 3d مفيهوش عُقد قطرية، وأوربيتال 6s فيه 5.

لما أوربيتالات نفس مستوى الطاقة تختلف في الطاقة

في الهيدروجين، الطاقة بتعتمد على n بس، فـ 3s و3p و3d ليهم نفس الطاقة. في الذرات اللي فيها أكتر من إلكترون، الإلكترونات التانية بتحجب النواة بشكل مش متساوي. إلكترون s بيخترق أقرب للنواة من إلكترون p أو d في نفس مستوى الطاقة، وبيحس بجزء أكبر من شحنة النواة وطاقته بتبقى أقل. والنتيجة هي الانقسام s < p < d < f جوه مستوى الطاقة، وده اللي بيحدد ترتيب الملء المشروح في دليل التوزيعات الإلكترونية.

الأوربيتالات في نفس المستوى الفرعي، زي أوربيتالات 2p التلاتة، بتفضل متساوية في الطاقة في الذرة المعزولة. واسمها متماثلة الطاقة. الذرات المحيطة في جزيء أو بلورة ممكن تكسر التماثل ده.

أخطاء أعداد الكم اللي لازم تفحصها

تقريبًا كل خطأ بييجي من تخطّي خطوة السرد. لو مش متأكد، اكتب كل قيمة مسموحة قبل ما تعدّ.

• إنك تخلّي l تساوي n. أكبر l مسموحة هي n − 1، فمفيش أوربيتال 1p أو 2d.
• عدّ قيم mₗ من 0 لـ l بدل من −l لـ +l، وده بيقلّل عدد الأوربيتالات.
• عدّ الأوربيتالات لما السؤال بيطلب الإلكترونات، أو العكس. كل أوربيتال بيشيل إلكترونين.
• إعطاء mₛ القيمة 0 أو 1. اللف +½ أو −½ بس.
• استخدام n − l − 1 كإجمالي عدد العُقد. الصيغة دي بتعدّ العُقد القطرية بس؛ والإجمالي n − 1.
• معاملة سطح الحدود اللي عند 90% على إنه حافة صلبة. كثافة الإلكترونات بتتلاشى بنعومة وملهاش حد حاد.