الضوء والأطياف الذرية: الفوتونات ومستويات الطاقة وخطوط الهيدروجين

الطول الموجي والتردد وسرعة الضوء

الضوء موجة كهرومغناطيسية. طولها الموجي λ هو المسافة بين القمم، وترددها ν هو عدد القمم اللي بتعدّي على نقطة كل ثانية، بالهرتز (s⁻¹). في الفراغ كل الأطوال الموجية بتمشي بنفس السرعة، c = 2.99792458 × 10⁸ m/s، وهي قيمة معرّفة بالظبط ومذكورة عند NIST. والكميات التلاتة مربوطة بـ c = λν، فالطول الموجي والتردد متناسبين عكسيًا: لو قسمت واحد على اتنين التاني بيتضاعف.

الضوء المرئي بيمتد من حوالي 400 nm (بنفسجي) لـ 700 nm (أحمر). الأشعة فوق البنفسجية أطوالها الموجية أقصر وتردداتها أعلى؛ والأشعة تحت الحمرا أطوالها الموجية أطول وتردداتها أقل. حوّل النانومتر لمتر قبل ما تستخدم c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

طاقة الفوتون والتأثير الكهروضوئي

الضوء بيتمتص وبيتبعث على شكل حزم اسمها فوتونات. كل فوتون بيحمل طاقة E = hν = hc/λ، حيث h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s هو ثابت بلانك، وهو كمان قيمة مضبوطة. الطول الموجي الأقصر معناه طاقة أكتر لكل فوتون. والضوء الأسطع من نفس اللون معناه فوتونات أكتر، مش فوتونات طاقتها أعلى.

مثال محلول 1. الضوء الأصفر بتاع لمبة الصوديوم قريب من 589.0 nm. تردده ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. الفوتون الواحد بيحمل E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. اضرب في عدد أفوجادرو، 6.022 × 10²³ mol⁻¹، عشان مول من الفوتونات: 2.031 × 10⁵ J، يعني 203.1 kJ/mol. وده قريب من طاقة رابطة كيميائية ضعيفة، وده سبب إن الضوء المرئي والأشعة فوق البنفسجية يقدروا يشغّلوا تفاعلات كيميائية ضوئية.

التأثير الكهروضوئي بيبيّن صورة الفوتون مباشرة. الضوء بيطرد إلكترونات من الفلز بس لو كل فوتون بيحمل على الأقل دالة الشغل بتاعة الفلز، Φ. وأي طاقة زيادة بتتحول لطاقة حركة للإلكترون: KEmax = hν − Φ.

مثال محلول 2. افترض إن سطح فلز الطول الموجي الحدّي بتاعه 540 nm (قيمة معطاة للتمرين ده). دالة الشغل بتاعته Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. الضوء البنفسجي عند 405 nm فوتوناته طاقتها 4.905 × 10⁻¹⁹ J، فـ KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. ولو اتقرّبت لتلات أرقام معنوية تبقى 1.23 × 10⁻¹⁹ J، يعني 0.765 eV. أما الضوء الأحمر عند 650 nm، مهما كانت شدته، مش بيطرد أي إلكترونات، لأن كل فوتون فيه 3.06 × 10⁻¹⁹ J بس.

ليه الذرات بتدّي أطياف خطية بدل قوس قزح

الجسم الصلب السخن، زي فتيلة اللمبة، بيبعث طيف متصل. أما غاز ذرات سخن وضغطه منخفض فبيبعث أطوال موجية معيّنة بس. الإلكترونات في الذرة تقدر تشغل مستويات طاقة معيّنة بس. لما إلكترون ينزل من مستوى أعلى لمستوى أقل، الذرة بتبعث فوتون واحد طاقته بتساوي الفرق: ΔE = hν. ولأن فيه فروق معيّنة بس، بتظهر أطوال موجية معيّنة بس.

الامتصاص هو العكس. سلّط ضوء أبيض خلال غاز بارد والذرات هتشيل بالظبط الأطوال الموجية اللي بتطابق قفزاتها لفوق، وتسيب خطوط سودا في طيف كان هيبقى متصل. القفزة بين نفس المستويين ليها نفس الطول الموجي سواء الذرة بتمتص أو بتبعث. ومجموعة الفروق لكل عنصر فريدة، فالأطياف بتحدد العناصر في اللهب واللمبات والنجوم البعيدة.

مستويات طاقة الهيدروجين ومعادلة ريدبرج

في الذرة اللي فيها إلكترون واحد، مستويات الطاقة بتمشي على صيغة بسيطة. OpenStax Chemistry 2e (القسم 6.2) بيدّي Eₙ = −kZ²/n²، حيث k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J، وZ شحنة النواة، وn = 1، 2، 3، …. الطاقة سالبة لأن الإلكترون المرتبط طاقته أقل من إلكترون حر في حالة سكون، واللي طاقته متحددة بصفر. ولما n تكبر، المستويات بتتزاحم جنب بعض ناحية الصفر.

الفوتون اللي بيتبعث لما الإلكترون ينزل من nᵢ لـ n_f أقل طاقته ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). القسمة على hc بتدّي معادلة ريدبرج للهيدروجين، 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²)، حيث R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

مثال محلول 3. لاقي الطول الموجي لخط الهيدروجين n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J، مع الاحتفاظ برقم زيادة لحد الآخر. ومع hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m، يبقى λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m، يعني 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data بيسرد الخط الأحمر ده عند 656.3 nm في الهوا. والفرق في آخر رقم جاي من تقريب k ومن إن سرعة الضوء في الهوا أبطأ شوية.

مثال محلول 4. طاقة تأين الهيدروجين هي الطاقة اللازمة لنقل الإلكترون من n = 1 لـ n = ∞، وهي k نفسها: 2.179 × 10⁻¹⁸ J لكل ذرة. ولكل مول، (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J، يعني 1312 kJ/mol. وقيمة قاعدة بيانات NIST للأطياف الذرية، 13.598 eV، بتتحول لـ 1312.0 kJ/mol.

متسلسلات ليمان وبالمر وباشن

الخطوط اللي بتنتهي عند نفس المستوى الأقل بتكوّن متسلسلة. كلها بتقرب من بعض لما nᵢ تزيد، وبتقرب من حد المتسلسلة، اللي عنده الإلكترون بيبدأ حر.

• متسلسلة ليمان، بتنتهي عند n = 1: أشعة فوق بنفسجية. الخط 2 → 1 عند 121.6 nm، وحد المتسلسلة قريب من 91.2 nm.
• متسلسلة بالمر، بتنتهي عند n = 2: خطوط الهيدروجين المرئية الأربعة، عند حوالي 656 و486 و434 و410 nm لـ nᵢ = 3 و4 و5 و6. وحد المتسلسلة قريب من 365 nm، في منطقة الأشعة فوق البنفسجية.
• متسلسلة باشن، بتنتهي عند n = 3: أشعة تحت حمرا. الخط 4 → 3 قريب من 1875 nm.

أخطاء الأطياف وفحوصات سريعة

أغلب الأخطاء في المسائل دي أخطاء وحدات أو أخطاء إشارة. فحصين بيكشفوا أغلبها: الفوتون المرئي المفروض يحمل تقريبًا من 2.8 لـ 5.0 × 10⁻¹⁹ J، والفرق الأكبر في الطاقة لازم يدّي طول موجي أقصر.

• ترك الطول الموجي بالنانومتر وإنت بتستخدم c = λν أو E = hc/λ. حوّل للمتر الأول.
• استخدام معادلة ريدبرج مع تبديل nᵢ وn_f، وده بيدّي طول موجي سالب.
• توقّع إن كل خطوط الهيدروجين مرئية. متسلسلة ليمان كلها أشعة فوق بنفسجية ومتسلسلة باشن أشعة تحت حمرا.
• الاعتقاد إن الضوء الأسطع بيطرد إلكترونات ضوئية أسرع. الشدة بتغيّر عدد الإلكترونات، مش أقصى طاقة ليها.
• تطبيق Eₙ = −kZ²/n² على الهيليوم أو أي ذرة فيها أكتر من إلكترون. الصيغة بتنطبق بس على الأنواع اللي فيها إلكترون واحد زي H وHe⁺ وLi²⁺.
• نسيان عدد أفوجادرو وإنت بتحوّل طاقة الفوتون الواحد لـ kJ/mol، أو استخدامه مرتين.

صورة بور بتفسّر إيه وبتقف فين

نموذج بور لذرة الهيدروجين، اللي فيه الإلكترون في مدارات دايرية طاقتها ثابتة، بيعيد إنتاج خطوط الهيدروجين وتناسب Z² للأيونات زي He⁺. في He⁺، كل طاقة انتقال من انتقالات الهيدروجين بتبقى أكبر أربع مرات، فالخط 2 → 1 بتاعه قريب من 30.4 nm.

النموذج بيفشل مع الذرات اللي فيها إلكترونين أو أكتر، لأن التنافر بين الإلكترونات بيغيّر المستويات. وكمان بيصوّر الإلكترونات ماشية في مسارات محددة، وده اللي ميكانيكا الكم بتنفيه. النظرية الحديثة بتحتفظ بمستويات طاقة بور للهيدروجين لكن بتستبدل المدارات بالأوربيتالات، اللي بتوصف الأماكن اللي احتمال تلاقي فيها الإلكترون.