የኢንቴግራል የፍጥነት ሕጎች፦ ክምችት፣ ጊዜና የግማሽ ሕይወት

የፍጥነት ሕግን ወደ ክምችት በጊዜ ግንኙነት መቀየር

እንደ rate = k[A] ያለ ዲፈረንሻል የፍጥነት ሕግ ፍጥነቱን በአንድ ቅጽበት ካለው ክምችት ጋር ያገናኛል። ምላሹ ሲካሄድ [A] ይቀንሳል፤ ስለዚህ ፍጥነቱም ይቀንሳል። የፍጥነት ሕጉን በጊዜ ላይ ኢንቴግሬት ማድረግ፣ ማለትም በእያንዳንዱ ችግር ውስጥ መድገም የማያስፈልግዎት የካልኩለስ እርምጃ፣ በማንኛውም ጊዜ t ላይ ያለውን [A] በመነሻ ክምችት [A]₀ እና በፍጥነት ቋሚ k የሚገልጽ እኩልታ ይሰጣል።

ከታች ያሉት እኩልታዎች ፍጥነታቸው በአንድ ምላሽ ሰጪ፣ A፣ ክምችት ላይ የተመሠረተ ምላሾችን በቋሚ የሙቀት መጠን ይመለከታሉ። ሌሎች ምላሽ ሰጪዎች ክምችታቸው እምብዛም እስከማይለወጥ ድረስ በከፍተኛ ትርፍ ሲገኙም ይሠራሉ። ያ ሁኔታ የፕሲውዶ የመጀመሪያ ደረጃ (ወይም የፕሲውዶ ዜሮ ደረጃ) ባሕርይ ይባላል።

ጎን ለጎን የሚቀመጡ ሦስት እኩልታዎች

እያንዳንዱ የኢንቴግራል የፍጥነት ሕግ ጊዜ በx ዘንግ ላይ ሆኖ ወደ ቀጥተኛ መስመር ቅርፅ፣ y = mx + b፣ ሊስተካከል ይችላል። የግማሽ ሕይወት t½፣ [A] አሁን ካለው እሴቱ ግማሽ ላይ ለመድረስ የሚወስደው ጊዜ ነው። በእያንዳንዱ እኩልታ ውስጥ [A] = ½[A]₀ በማድረግ ይገኛል።

በክምችት ላይ የማይመሠረተው የመጀመሪያ ደረጃ የግማሽ ሕይወት ብቻ ነው። ይህ አንድ እውነታ ራዲዮአክቲቭ መበስበስን ጨምሮ የመጀመሪያ ደረጃ ሂደቶች ለምን በብዛት በግማሽ ሕይወቶቻቸው እንደሚገለጹ ያብራራል።

• ዜሮ ደረጃ፦ [A] = [A]₀ − kt። የ[A] በt ላይ ግራፍ ተዳፋቱ −k የሆነ ቀጥተኛ መስመር ነው። የግማሽ ሕይወት፦ t½ = [A]₀/(2k)፤ ስለዚህ ምላሹ ሲቀጥል ያጥራል።
• የመጀመሪያ ደረጃ፦ ln[A] = ln[A]₀ − kt፣ ወይም [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ። የln[A] በt ላይ ግራፍ ተዳፋቱ −k የሆነ ቀጥተኛ መስመር ነው። የግማሽ ሕይወት፦ t½ = ln 2 / k = 0.693/k፤ በማንኛውም የምላሹ ወቅት ተመሳሳይ ነው።
• የሁለተኛ ደረጃ፦ 1/[A] = 1/[A]₀ + kt። የ1/[A] በt ላይ ግራፍ ተዳፋቱ +k የሆነ ቀጥተኛ መስመር ነው። የግማሽ ሕይወት፦ t½ = 1/(k[A]₀)፤ ስለዚህ እያንዳንዱ የግማሽ ሕይወት ከቀዳሚው እጥፍ ይረዝማል።

የተሠራ ምሳሌ፦ ሳይክሎቡቴን፣ የመጀመሪያ ደረጃ መበስበስ

OpenStax ክፍል 12.4 ለሳይክሎቡቴን መበስበስ፣ C₄H₈ → 2 C₂H₄፣ በ500 °C ያለውን የመጀመሪያ ደረጃ የፍጥነት ቋሚ 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ ብሎ ይሰጣል። የግማሽ ሕይወቱ t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s ነው፤ ከk ጋር እንዲስማማ በሁለት ጉልህ አሃዞች።

ከ3.00 min በኋላ ምን ያህል የሳይክሎቡቴን ክፍልፋይ ይቀራል? k በs⁻¹ ስለሆነ መጀመሪያ ጊዜውን ወደ ሰከንድ ይቀይሩ፦ t = 180 s። ኤክስፖነንቱ kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656 ነው፤ ስለዚህ [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e በ−1.656 ኃይል የተነሳ = 0.19፤ 19 በመቶ ይቀራል። የመነሻ ክምችቱ 0.0800 mol/L ከነበረ [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L ነው። ክፍልፋዩን ለማግኘት የመነሻ ክምችቱ አላስፈለገዎትም። ይህ እውነት የሚሆነው ለመጀመሪያ ደረጃ ምላሾች ብቻ ነው።

ከመጀመሪያው መጠን ወደ 5.0 በመቶ ለመውረድ ምን ያህል ጊዜ ይወስዳል? እኩልታውን እንደሚከተለው ያስተካክሉ፦ t = ln([A]₀/[A]) / k = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s፣ ወደ 5.4 min ገደማ። ለፍተሻ፣ ይህ ወደ 4.3 የግማሽ ሕይወቶች ገደማ ሲሆን (½)⁴·³ ≈ 0.05 ነው።

የተሠራ ምሳሌ፦ የቡታዳይን ዳይመራይዜሽን፣ የሁለተኛ ደረጃ ምላሽ

የቡታዳይን ሞለኪውሎች በቡታዳይን የሁለተኛ ደረጃ በሆነ ምላሽ በጥንድ ይጣመራሉ፦ 2 C₄H₆ → C₈H₁₂። OpenStax ክፍል 12.4 በሚገልጻቸው ሁኔታዎች k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ ይጠቅሳል። በ[C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L ይጀምሩ።

የመጀመሪያው የግማሽ ሕይወት t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min ነው። ሁለተኛው የግማሽ ሕይወት በ0.0250 mol/L ይጀምርና 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min ይቆያል፤ ማለትም እጥፍ ይረዝማል። ክምችቱ ሲቀንስ የሚያድግ የግማሽ ሕይወት የሁለተኛ ደረጃ ኪነቲክስ መለያ ምልክት ነው።

ከ2.00 h በኋላ ያለውን ክምችት ለማግኘት አሃዶቹ ከk ጋር እንዲስማሙ ደቂቃዎችን ይጠቀሙ፦ t = 120 min። 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol፤ ስለዚህ [A] = 0.0372 mol/L። መልሱ ከመነሻ እሴቱ ያነሰና ከግማሹ የሚበልጥ ነው፤ ከመጀመሪያው የግማሽ ሕይወት ባጠረ ጊዜ እንደዚያ መሆን አለበት።

በመጀመሪያ ደረጃ ችግሮች ውስጥ የግማሽ ሕይወቶችን መቁጠር

ለመጀመሪያ ደረጃ ምላሽ ከn የግማሽ ሕይወቶች በኋላ የሚቀረው ክፍልፋይ (½)ⁿ ነው። ከአንድ የግማሽ ሕይወት በኋላ 50 በመቶ ይቀራል፤ ከሁለት በኋላ 25 በመቶ፤ ከሦስት በኋላ 12.5 በመቶ። የታለመው ክምችት በሙሉ ቁጥር ግማሽ ቅነሳዎች ርቀት ላይ ሲሆን ሎጋሪዝም ከመጠቀም ይልቅ መቁጠር ይችላሉ።

የተሠራ ምሳሌ። OpenStax ክፍል 12.4 ሃይድሮጂን ፐርኦክሳይድ በ40 °C በመጀመሪያ ደረጃ ኪነቲክስ እንደሚበሰብስና የግማሽ ሕይወቱ 2.16 × 10⁴ s፣ ማለትም 6.00 h፣ እንደሆነ ይዘግባል። የፍጥነት ቋሚው k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹ ነው። ከ0.800 mol/L ወደ 0.100 mol/L መሄድ ሦስት ግማሽ ቅነሳዎች ነው (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100)፤ ስለዚህ 3 × 6.00 h = 18.0 h ይወስዳል።

ከ0.800 mol/L ወደ 0.150 mol/L ሲሆን ቆጠራው ሙሉ ቁጥር ስላልሆነ እኩልታውን ይጠቀሙ፦ t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s፣ ወይም 14.5 h። ይህ እንደተጠበቀው በሁለት የግማሽ ሕይወቶች (12.0 h) እና በሦስት (18.0 h) መካከል ይወድቃል።

ደረጃውን ከክምችት–ጊዜ ሠንጠረዥ መምረጥ

በበርካታ ጊዜያት የተለኩ ክምችቶች ካሉዎት እያንዳንዱን ቀጥተኛ ቅርፅ ይፈትሹ። ለእያንዳንዱ ነጥብ [A]፣ ln[A] እና 1/[A]ን ያስሉ፤ በእያንዳንዱ እኩል የጊዜ እርምጃ በተመሳሳይ መጠን የሚለወጠው የትኛው እንደሆነ ይመልከቱ። መዋዠቅ ባለው እውነተኛ መረጃ ሦስቱንም በግራፍ አስቀምጠው በጣም ቀጥተኛውን መስመር ይምረጡ፤ ወይም የቀጥተኛ መስመር ማስማማቶችን የተዛምዶ መጠን ያወዳድሩ።

የተሠራ ምሳሌ። የሚከተለው መረጃ ለልምምድ የተዘጋጀ ነው። በt = 0፣ 50፣ 100፣ 150 እና 200 s፣ [A] = 0.1000፣ 0.0667፣ 0.0500፣ 0.0400 እና 0.0333 mol/L ነው። በእያንዳንዱ 50 s እርምጃ የ[A] ቅነሳዎች 0.0333፣ 0.0167፣ 0.0100 እና 0.0067 mol/L ናቸው፤ እነዚህ ቋሚ አይደሉም፤ ስለዚህ ምላሹ ዜሮ ደረጃ አይደለም። የln[A] ለውጦች −0.405፣ −0.288፣ −0.223 እና −0.183 ናቸው፤ እነዚህም ቋሚ አይደሉም፤ ስለዚህ የመጀመሪያ ደረጃ አይደለም። የ1/[A] እሴቶች 10.0፣ 15.0፣ 20.0፣ 25.0 እና 30.0 L/mol ሲሆኑ በየ50 s በ5.0 L/mol ይጨምራሉ። ምላሹ የሁለተኛ ደረጃ ሲሆን ተዳፋቱ k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹ ይሰጣል።

የግማሽ ሕይወቶቹ ደረጃውን ያረጋግጣሉ። [A] በ100 s ውስጥ ከ0.100 ወደ 0.0500 mol/L ወርዷል፤ የሁለተኛ ደረጃ ቀመሩም ቀጣዩ ግማሽ ቅነሳ፣ ወደ 0.0250 mol/L፣ 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s እንደሚወስድ ይተነብያል።

የኢንቴግራል የፍጥነት ሕግ መልሶች የሚሳሳቱባቸው ቦታዎች

አብዛኞቹ ስህተቶች የሚመጡት እኩልታዎችን ወይም አሃዶችን ከማደባለቅ ነው። ፈጣን ፍተሻ፦ የሚያሰሉት እያንዳንዱ ክምችት ከ[A]₀ ያነሰና ከዜሮ የሚበልጥ መሆን አለበት።

• ደረጃውን ላላረጋገጡት ምላሽ የመጀመሪያ ደረጃ እኩልታን መጠቀም።
• የጊዜ አሃዶችን ማደባለቅ፦ k በs⁻¹ ሆኖ t በደቂቃ ሲሆን የሚገኘው የkt እሴት በ60 ብዜት ይሳሳታል።
• ln([A]/[A]₀) = kt ብሎ መጻፍና የመቀነስ ምልክቱን ማጣት፤ ይህም ክምችቱ ከጊዜ ጋር እንዲያድግ ያደርጋል።
• እኩልታው ln (መሠረት e) በሚፈልግበት ቦታ log (መሠረት 10) መጠቀም።
• የግማሽ ሕይወቱ በክምችት ላይ በሚመሠረት የሁለተኛ ደረጃ ምላሽ ላይ t½ = 0.693/kን መተግበር።
• የ1/[A] ግራፍን ተዳፋት −k አድርጎ መውሰድ። ለሁለተኛ ደረጃ ተዳፋቱ +k ነው።