Integrated nga mga Rate Law: Konsentrasyon, Oras ngan Half-Life

Pagbalhin han rate law ngadto ha konsentrasyon kontra oras

An differential nga rate law, sugad han rate = k[A], nagsusumpay han rate ngadto ha konsentrasyon ha usa nga higayon. Samtang nadalagan an reaksyon, naubos an [A], salit naubos liwat an rate. An pag-integrate han rate law ha paglabay han oras, usa nga lakang ha calculus nga diri mo kinahanglan ulion ha kada problema, naghahatag hin ekwasyon para ha [A] ha bisan ano nga oras nga t sumala ha sinugdan nga konsentrasyon nga [A]₀ ngan han rate constant nga k.

An mga ekwasyon ha ubos nag-aaplikar ha mga reaksyon nga an rate nagdepende ha konsentrasyon han usa nga reactant, A, ha konstante nga temperatura. Nag-aaplikar liwat ini kun an iba nga mga reactant aada ha sugad kadako nga sobra nga an ira mga konsentrasyon diri halos nagbabag-o. Ito nga kahimtang gintatawag nga pseudo-first-order (o pseudo-zero-order) nga pamatasan.

Tulo nga ekwasyon nga angay ibutang nga magkatupad

An kada integrated rate law puyde ayuson utro ngadto ha porma han tadong nga linya, y = mx + b, nga an oras aada ha x-axis. An half-life, t½, amo an oras nga kinahanglan basi an [A] maubos ngadto ha katunga han yana nga bili hini. Tikang ini ha pagtakda han [A] = ½[A]₀ ha kada ekwasyon.

An first-order nga half-life la an diri nagdepende ha konsentrasyon. Ito nga usa nga kamatuoran an nagpapaliwanag kay ano nga an first-order nga mga proseso, upod an radioactive decay, kasagaran ginhuhulagway pinaagi han ira mga half-life.

• Zero order: [A] = [A]₀ − kt. An plot han [A] kontra t usa nga tadong nga linya nga may slope nga −k. Half-life: t½ = [A]₀/(2k), salit naiikli ini samtang nagpapadayon an reaksyon.
• First order: ln[A] = ln[A]₀ − kt, o [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ. An plot han ln[A] kontra t usa nga tadong nga linya nga may slope nga −k. Half-life: t½ = ln 2 / k = 0.693/k, pariho ha kada yugto.
• Second order: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt. An plot han 1/[A] kontra t usa nga tadong nga linya nga may slope nga +k. Half-life: t½ = 1/(k[A]₀), salit an kada half-life doble an kahaba han nauna hini.

Halimbawa nga gin-solbar: cyclobutane, usa nga first-order nga decomposition

An OpenStax section 12.4 naghahatag han first-order nga rate constant para ha decomposition han cyclobutane, C₄H₈ → 2 C₂H₄, sugad nga 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ ha 500 °C. An half-life t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s, ha duha nga mahinungdanon nga digit basi umangay ha k.

Ano nga fraction han cyclobutane an nabibilin kahuman hin 3.00 min? I-convert anay an oras ngadto ha mga segundo, tungod kay an k aada ha s⁻¹: t = 180 s. An exponent kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656, salit [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e nga ginpataas ha puwersa nga −1.656 = 0.19, ngan 19 porsyento an nabibilin. Kun an sinugdan nga konsentrasyon 0.0800 mol/L, kun sugad [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L. Diri mo kinahanglan an sinugdan nga konsentrasyon basi makita an fraction. Tinuod la ini para ha first-order nga mga reaksyon.

Gaano kaiha antes maubos ngadto ha 5.0 porsyento han orihinal nga kadamo? Ayusa utro ngadto ha t = ln([A]₀/[A]) / k = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s, mga 5.4 min. Sugad nga pagsusi, mga 4.3 nga half-life ito, ngan (½)⁴·³ ≈ 0.05.

Halimbawa nga gin-solbar: dimerization han butadiene, usa nga second-order nga reaksyon

An mga molekula han butadiene nagsasanib nga tinagduha, 2 C₄H₆ → C₈H₁₂, ha reaksyon nga second order ha butadiene. An OpenStax section 12.4 nag-cite hin k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ ha mga kondisyon nga ginhuhulagway hini. Magsugod ha [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L.

An syahan nga half-life t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min. An ikaduha nga half-life nagsisugod ha 0.0250 mol/L ngan naabot hin 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min, doble an kaiha. An half-life nga nagtatahaas samtang naubos an konsentrasyon amo an timaan han second-order nga kinetics.

Basi makita an konsentrasyon kahuman hin 2.00 h, gamita an mga minuto basi umangay an mga yunit ha k: t = 120 min. 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol, salit [A] = 0.0372 mol/L. An sagot mas gutiay kay ha sinugdan nga bili ngan mas dako kay ha katunga hini, sugad han angay ha oras nga mas halipot kay ha syahan nga half-life.

Pag-ihap han mga half-life ha first-order nga mga problema

Para ha first-order nga reaksyon, an fraction nga nabibilin kahuman hin n nga half-life amo an (½)ⁿ. Kahuman hin usa nga half-life, 50 porsyento an nabibilin; kahuman hin duha, 25 porsyento; kahuman hin tulo, 12.5 porsyento. Kun an tinutumbok nga konsentrasyon bug-os nga kadamo han pagbahin ha katunga an kaharayo, puyde ka mag-ihap imbes nga gumamit hin mga logarithm.

Halimbawa nga gin-solbar. An OpenStax section 12.4 nagrereport nga an hydrogen peroxide nag-decompose pinaagi han first-order nga kinetics ha 40 °C nga may half-life nga 2.16 × 10⁴ s, nga 6.00 h. An rate constant k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹. An pagkadto tikang 0.800 mol/L ngadto 0.100 mol/L tulo nga pagbahin ha katunga (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100), salit 3 × 6.00 h = 18.0 h an kinahanglan.

Para ha 0.800 mol/L ngadto 0.150 mol/L an ihap diri bug-os nga numero, salit gamita an ekwasyon: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s, o 14.5 h. Nahuhulog ito tali han duha nga half-life (12.0 h) ngan tulo (18.0 h), sugad han gindadahom.

Pagpili han order tikang ha concentration–time nga table

Kun may-ada ka mga konsentrasyon nga ginsukod ha pira nga oras, sulayi an kada linear nga porma. Kuwentaha an [A], ln[A] ngan 1/[A] para ha kada punto ngan tan-awa kun hain an nagbabag-o hin pariho nga kadamo ha kada pariho nga lakang han oras. Ha tinuod nga datos nga may ingay, i-plot an ngatanan nga tulo ngan pilia an pinakatadong nga linya, o ikumpara an correlation han mga linear fit.

Halimbawa nga gin-solbar. An masunod nga datos ginhimo para ha praktis. Ha t = 0, 50, 100, 150 ngan 200 s, [A] = 0.1000, 0.0667, 0.0500, 0.0400 ngan 0.0333 mol/L. An mga pag-ubos han [A] ha kada 50 s nga lakang amo an 0.0333, 0.0167, 0.0100 ngan 0.0067 mol/L, nga diri konstante, salit an reaksyon diri zero order. An mga pagbag-o ha ln[A] amo an −0.405, −0.288, −0.223 ngan −0.183, nga diri liwat konstante, salit diri ini first order. An mga bili han 1/[A] amo an 10.0, 15.0, 20.0, 25.0 ngan 30.0 L/mol, nga natataas hin 5.0 L/mol kada 50 s. An reaksyon second order, ngan an slope naghahatag hin k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹.

An mga half-life nagpapamatuod han order. An [A] naubos tikang 0.100 ngadto 0.0500 mol/L ha 100 s, ngan an second-order nga pormula nagtatagna nga an sunod nga pagbahin ha katunga, ngadto ha 0.0250 mol/L, magkikinahanglan hin 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s.

Diin nasasayop an mga sagot ha integrated rate law

Kadam-an han mga sayop tikang ha pagsamok han mga ekwasyon o mga yunit. An madali nga pagsusi amo nga an kada konsentrasyon nga imo ginkukuwenta kinahanglan mas gutiay kay ha [A]₀ ngan mas dako kay ha sero.

• Paggamit hin first-order nga ekwasyon para ha reaksyon nga an order diri pa nimo napamatud-an.
• Pagsagol han mga yunit han oras: an k ha s⁻¹ upod an t ha mga minuto naghahatag hin bili han kt nga sayop hin factor nga 60.
• Pagsulat han ln([A]/[A]₀) = kt ngan pagkawara han minus nga timaan, nga naghihimo nga nadako an konsentrasyon upod an oras.
• Paggamit han log (base 10) kun diin an ekwasyon nagkikinahanglan hin ln (base e).
• Pagpadapat han t½ = 0.693/k ha second-order nga reaksyon, nga an half-life nagdepende ha konsentrasyon.
• Pagkuha han slope han 1/[A] nga plot sugad nga −k. Para ha second order an slope amo an +k.