Kuantum Sayıları ve Orbitaller: Kurallar, Sayımlar ve Şekiller

Dalga olarak elektronlar: de Broglie dalga boyu

de Broglie 1924'te hareket eden her taneciğin λ = h/(mv) dalga boyuna sahip olduğunu öne sürdü; burada h Planck sabiti, m kütle ve v hızdır. Gündelik nesneler için dalga boyu fark edilemeyecek kadar küçüktür. 40.0 m/s hızla giden 0.145 kg'lık bir beyzbol topunun λ değeri 1.14 × 10⁻³⁴ m'dir. Kütlesi 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) olan bir elektron içinse dalga boyu bir atomun boyutuyla karşılaştırılabilir.

Çözümlü örnek 1. 2.188 × 10⁶ m/s hızla hareket eden bir elektronun dalga boyu λ = h/(mv)'dir. CODATA değerleri h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s ve m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg ile λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m veya 0.3324 nm. Bu hız, Bohr modelinin hidrojenin en alt yörüngesindeki elektrona atadığı hızdır; bu yörüngenin yarıçapı Bohr yarıçapıdır, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Yörüngenin çevresi 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m'dir; dolayısıyla çevreye bir elektron dalga boyu sığar ve uyum %0.02'den daha iyidir. Kuantumlu enerji düzeyleri, bir elektron dalgasının kendini sönümlemeden alanına sığması gerektiğinde ortaya çıkan şeydir; tıpkı bir gitar telinin yalnızca belirli frekanslarda titreşebilmesi gibi.

Belirsizlik ve sabit yörüngelerin sonu

Heisenberg belirsizlik ilkesi, konum ve momentumun birlikte ne kadar iyi bilinebileceğine bir sınır koyar: Δx·Δp ≥ ħ/2, burada ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Çözümlü örnek 2. Bir elektronu yaklaşık bir atom boyutunda, 1.0 × 10⁻¹⁰ m genişliğinde bir bölgeye hapsedin. O zaman Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s ve Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Hızdaki belirsizlik hızın kendisinin önemli bir kesridir; bu yüzden bir gezegenin yörüngesi gibi belirli bir yol, atomdaki bir elektron için anlamsızdır.

Kuantum mekaniği yolun yerine bir dalga fonksiyonu, ψ, koyar. Karesi, ψ², olasılık yoğunluğudur: küçük bir bölgenin hacmiyle çarpıldığında elektronu orada bulma olasılığını verir. Bir orbital tek bir elektron için bir dalga fonksiyonudur ve tanıdık orbital çizimleri, bu olasılığın çoğunu, sıklıkla %90'ını, kapsayan yüzeylerdir.

n, l, mₗ ve mₛ'nin izinli değerleri

Hidrojen atomu için dalga denklemini çözmek, her biri bir öncekiyle kısıtlanan üç kuantum sayısı üretir. Dördüncüsü elektronun spinini tanımlar. Bütün mesele bu kısıtlamalardır.

• Baş kuantum sayısı n = 1, 2, 3, …. Kabuğu ve hidrojende enerjiyi belirler. Daha büyük n daha büyük ve daha yüksek enerjili bir orbital demektir.
• Açısal momentum kuantum sayısı l = 0, 1, …, n − 1. Alt kabuğu ve şekli belirler: l = 0, 1, 2, 3 sırasıyla s, p, d, f'dir.
• Manyetik kuantum sayısı mₗ = −l, …, 0, …, +l; 2l + 1 değer verir. Orbitalin uzaydaki yönelimini belirler.
• Spin kuantum sayısı mₛ = +½ veya −½. Diğer üçüne bağlı değildir.

Çözümlü örnek: altı kuantum sayısı takımını sınama

Bir (n, l, mₗ, mₛ) takımını sınamak için her sayıyı sırayla kendinden öncekine göre kontrol edin. İlk ihlalde durun.

(3, 3, 0, +½) izinli değildir: l en fazla n − 1 = 2 olabilir. (4, 2, −3, −½) izinli değildir: l = 2 iken mₗ yalnızca −2'den +2'ye kadar uzanır. (3, 2, 1, 0) izinli değildir: mₛ +½ veya −½ olmalıdır, asla 0 olamaz. (2, 1, −1, −½) izinlidir ve bir 2p orbitalindeki bir elektronu tanımlar. (5, 0, 0, +½) izinlidir ve bir 5s elektronunu tanımlar. (4, 3, −3, +½) izinlidir ve bir 4f elektronunu tanımlar.

İzinli bir takımdan orbitali adlandırmak için n'yi ve ardından l'nin harfini yazın. mₗ değeri alt kabuk içinde tek bir orbitali seçer, ancak bu gösterimde adını değiştirmez.

Bir kısıtlama altında orbitalleri ve elektronları sayma

Önce izinli l değerlerini, sonra her biri için mₗ değerlerini listeler ve kısıtlamayı ancak ondan sonra uygularsanız sayma soruları sıradan hâle gelir. Her orbital, yani her izinli (n, l, mₗ) birleşimi, her spinden birer tane olmak üzere iki elektron alır.

Baş kuantum sayısı n olan bir kabuk n² orbital ve 2n² elektron içerir. n = 4 için l 0, 1, 2 veya 3 olabilir; bu 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbital ve 32 elektron verir.

Çözümlü örnek 3. Bir atomda kaç elektron n = 3 ve mₗ = +1 değerlerine sahip olabilir? n = 3 için l değerleri 0, 1 ve 2'dir. mₗ = +1 yalnızca l ≥ 1 olduğunda mümkündür; bu yüzden 3p'de bir ve 3d'de bir böyle orbital vardır: iki orbital, dört elektron. Kaç elektron n = 5 ve mₛ = +½ değerlerine sahip olabilir? 5. kabukta 5² = 25 orbital vardır ve her birinde bir +½ elektron bulunur; yani 25. Kaç elektron n = 4 ve l = 2 değerlerine sahip olabilir? Bu 4d alt kabuğudur: 5 orbital ve 10 elektron.

Orbital şekilleri ve düğümleri sayma

Düğüm, ψ'nin ve dolayısıyla elektronu bulma olasılığının sıfır olduğu yerdir. Bir orbitalin toplam n − 1 düğümü vardır. Bunların l tanesi açısal düğümlerdir, yani çekirdekten geçen düzlemler veya konilerdir; kalan n − l − 1 tanesi radyal düğümlerdir, yani sabit uzaklıklardaki küresel kabuklardır. OpenStax Chemistry 2e (Bölüm 6.3) radyal düğüm kuralını verir.

s orbitalleri (l = 0) küreseldir ve açısal düğümleri yoktur; bu yüzden bir 2s orbitalinin bir, bir 3s orbitalinin iki radyal düğümü vardır. p orbitallerinin (l = 1) çekirdeğin karşıt taraflarında iki lobu ve aralarında bir düğüm düzlemi vardır; üçü, yöneldikleri eksene göre pₓ, p_y ve p_z olarak etiketlenir. d orbitallerinin (l = 2) iki açısal düğümü vardır. Dördünün dört lobu vardır; beşincisi olan d_z²'nin z ekseni boyunca iki lobu ve ortasında bir halkası vardır.

Çözümlü örnek 4. Bir 3p orbitalinin 3 − 1 − 1 = 1 radyal düğümü ve 1 açısal düğümü vardır. Bir 4d orbitalinin 1 radyal ve 2 açısal düğümü, toplam 3 düğümü vardır. Bir 3d orbitalinin hiç radyal düğümü yoktur, bir 6s orbitalinin ise 5 radyal düğümü vardır.

Aynı kabuktaki orbitallerin enerjileri ne zaman farklıdır

Hidrojende enerji yalnızca n'ye bağlıdır; bu yüzden 3s, 3p ve 3d aynı enerjiye sahiptir. Birden fazla elektronu olan atomlarda diğer elektronlar çekirdeği eşit olmayan biçimde perdeler. Bir s elektronu aynı kabuktaki bir p veya d elektronundan çekirdeğe daha yakına girer, çekirdek yükünü daha fazla hisseder ve enerjisi daha düşüktür. Sonuç, bir kabuk içinde s < p < d < f ayrılmasıdır; bu da elektron dizilimleri rehberinde ele alınan doldurma sırasını belirler.

Üç 2p orbitali gibi aynı alt kabuktaki orbitaller, yalıtılmış bir atomda eşit enerjili kalır. Bunlara dejenere denir. Bir moleküldeki veya kristaldeki çevre atomlar bu dejenereliği bozabilir.

Kontrol edilmesi gereken kuantum sayısı hataları

Neredeyse her hata listeleme adımını atlamaktan kaynaklanır. Şüphe duyduğunuzda saymadan önce her izinli değeri yazın.

• l'nin n'ye eşit olmasına izin vermek. İzinli en büyük l, n − 1'dir; bu yüzden 1p veya 2d orbitali yoktur.
• mₗ değerlerini −l'den +l'ye değil, 0'dan l'ye kadar saymak; bu, orbitalleri eksik sayar.
• Soru elektronları sorduğunda orbitalleri saymak veya tersini yapmak. Her orbital iki elektron alır.
• mₛ'ye 0 veya 1 değerini vermek. Spin yalnızca +½ veya −½'dir.
• n − l − 1'i toplam düğüm sayısı olarak kullanmak. Bu formül yalnızca radyal düğümleri sayar; toplam n − 1'dir.
• %90 sınır yüzeyini keskin bir kenar gibi ele almak. Elektron yoğunluğu düzgün biçimde azalır ve keskin bir sınırı yoktur.