Boyut Analizi ve Birim Dönüşümleri

Dönüşüm çarpanı neden kılık değiştirmiş bir 1'dir

1 L = 1000 mL gibi bir eşitlik, iki tarafın aynı miktarı anlattığını söyler. Bu nedenle bir tarafı diğerine bölmek tam olarak 1'e eşit bir oran verir: (1000 mL / 1 L) = 1 ve (1 L / 1000 mL) = 1. Bir niceliği 1 ile çarpmak niceliği değiştirmez; yalnızca nasıl ifade edildiğini değiştirir. Yöntemin tüm gerekçesi budur.

Her eşitlik iki oran verdiğinden, elinizdeki birimi sadeleştiren ve istediğiniz birimi bırakan yönü seçersiniz. 0.355 L'yi mililitreye çevirmek için 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL yazın. Litreler sadeleşir, çünkü L bir kez payda bir kez de paydada yer alır. Birimler sadeleşmiyorsa çarpan ters durmaktadır ve bunu herhangi bir aritmetik yapmadan önce anlarsınız.

Kesin ve ölçülmüş eşitlikler

Bazı eşitlikler tanımdır ve kesindir: her SI öneki (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ ve 1 inç = 2.54 cm. Kesin çarpanlar anlamlı rakamları asla sınırlamaz. Diğer eşitlikler, bir yoğunluk veya tek bir madeni paranın kütlesi gibi ölçümden gelir ve anlamlı rakamları diğer ölçülmüş değerler gibi sayılır.

Önek çarpanları, ters çevirme hatalarının en yaygın kaynağıdır. 1 µg = 10⁻⁶ g ifadesini, bir mikrogram gramın milyonda biridir diye okuyun. Küçük birim 1'i, büyük birim ise onun küçük kuvvetini alır; eşdeğer olarak 1 g = 10⁶ µg. 1 g = 10⁻⁶ µg yazmak ilişkiyi 10¹² kat ters çevirir.

• Uzunluk: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 inç = 2.54 cm (kesin).
• Hacim: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Kütle: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Zaman: 1 h = 60 min = 3600 s.

Birkaç çarpanı tek satırda zincirleme

Başlangıç ve hedef birimleri tek bir eşitlikle bağlanmadığında, her biri bir öncekinin getirdiği birimi sadeleştiren bir çarpan zinciri çarpın. Hesaplamadan önce tüm zinciri yazmak, sadeleşmeyi bir bakışta kontrol etmenizi sağlar ve adımlar arasında yuvarlamayı önler.

Çözümlü örnek 1. Bir pompa çözücüyü 1.75 mL/min hızla veriyor. Akış hızı saatte kaç litredir? İki birimin değişmesi gerekir; biri payda, biri paydada. 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h) kurun. Mililitreler sadeleşir, dakikalar sadeleşir ve L/h kalır. Hesap 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h'tir. Her iki çarpan da kesindir; bu yüzden cevap 1.75 mL/min'nın üç anlamlı rakamını korur.

Burada hızlı bir makullük kontrolü işe yarar: bir saat 60 dakikadır, bu yüzden saatteki hacim dakikadakinden büyük olmalıdır, yaklaşık 105 mL. Litre cinsinden bu kabaca litrenin onda biridir ve 0.105 L/h ile uyuşur.

Kare ve küp birimler, kare ve küp çarpanlar gerektirir

cm³ gibi türetilmiş bir birim, cm × cm × cm demektir. Onu dönüştürmek, uzunluk çarpanını her boyut için bir kez uygulamayı gerektirir; bunu, çarpanın tamamını, sayı ve birimle birlikte, ilgili kuvvete yükselterek yaparsınız. (1 m / 100 cm)³, 1 m³ / 100 cm³ değil, 1 m³ / 10⁶ cm³'e eşittir.

Çözümlü örnek 2. Bir saklama dolabının iç hacmi 0.0465 m³'tür. Bunu santimetreküp ve litre cinsinden ifade edin. Santimetreküp cinsinden: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. Litre cinsinden 1 m³ = 1000 L'yi kullanın: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Çapraz kontrol olarak 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) de 46.5 L verir.

Hızlar ve diğer bileşik birimler de aynı mantığı izler. N/m² cinsinden bir basınçta, m/s cinsinden bir hızda ve mol/L cinsinden bir derişimde her birim, üsler gözetilerek ayrı ayrı dönüştürülür.

Kütle ile hacim arasında köprü olarak yoğunluk

Yoğunluk kütlenin hacme bölünmesidir; bu yüzden her iki yönde de bir dönüşüm çarpanı olarak çalışır: (g / mL) hacmi kütleye, (mL / g) ise kütleyi hacme çevirir. Önek çarpanlarından farklı olarak yoğunluk ölçülmüştür, sıcaklığa bağlıdır ve anlamlı rakamları sınırlar.

Çözümlü örnek 3. OpenStax Chemistry 2e (Tablo 1.4), gliserinin yoğunluğunu oda sıcaklığı civarında 1.26 g/cm³ olarak verir. Hangi hacimde gliserin 15.0 g içerir? Gramlar sadeleşsin diye yoğunluğu ters çevirin: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³; 1 cm³ = 1 mL kesin olduğundan bu 11.9 mL'dir. Hesap makinesi 11.905 gösterir ve her iki girdi de üç anlamlı rakama sahiptir.

Şimdi daha uzun bir zincirle diğer yöne gidelim: 2.50 L gliserinin kütlesi kilogram cinsinden nedir? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Bir litre suyun kütlesi 1 kg'a yakındır ve gliserin sudan biraz daha yoğundur; bu yüzden 2.5 kg'dan biraz fazlası makuldür.

Sıcaklık ölçekleri ve öteleme içeren diğer dönüşümler

Çarpan-etiket yöntemi, bir birimdeki sıfırın diğerinde de sıfır olduğu orantılı ilişkileri ele alır. Celsius, Fahrenheit ve kelvin ölçeklerinin sıfırı ortak değildir; bu yüzden sıcaklığı dönüştürmek, eklenen bir öteleme içeren bir denklem gerektirir: T(K) = T(°C) + 273.15 ve T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Örneğin 21.47 °C, 21.47 + 273.15 = 294.62 K ve 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F eder.

Sıcaklık değişimleri farklıdır. 1 °C'lik bir değişim, 1 K'lik ve 1.8 °F'lik bir değişime eşittir; öteleme yoktur, çünkü iki sıcaklığı çıkardığınızda öteleme sadeleşir. Bir ısı veya hız denklemi T yerine ΔT kullandığında bu ayrımı aklınızda tutun.

Dönüşüm hataları ve onları yakalama yolları

Boyut analizi, her çarpan gerçek bir eşitlikse son birimin doğru olduğunu garanti eder. Doğru niceliği seçtiğinizi garanti etmez; bu yüzden birim kontrolünü bir büyüklük tahminiyle birlikte kullanın.

Çarpmadan önce sayının büyümesi mi küçülmesi mi gerektiğine karar verin. Litreden mililitreye olduğu gibi daha küçük bir birime dönüştürmek daha büyük bir sayı verir; daha büyük bir birime dönüştürmek daha küçük bir sayı verir. Sonuç yanlış yönde hareket ediyorsa bir çarpanın sayıları ters yazılmıştır; birimler sadeleşiyor görünse bile yanlış hatırlanan bir önek tam olarak bunu yapar.

• Ters çarpan: kaldırmak istediğiniz birim hâlâ duruyorsa o çarpanı ters çevirin.
• Ters önek: 1 kg = 1000 g örneğindeki gibi, küçük birimin daha büyük sayıya sahip olduğunu kontrol edin.
• Kuvveti unutmak: alan ve hacim çarpanları, sayı dâhil, kare veya küp alınmalıdır.
• Hesabın ortasında birimleri bırakmak: eksik bir sadeleşmenin görünür kalması için her sayının yanına birimini yazın.
• Ölçülmüş bir çarpanı kesin saymak: bir yoğunluk veya ölçülmüş birim başına kütle, anlamlı rakamları sınırlar.
• Doğru birim, yanlış fizik: çözeltinin gramı ile çözünenin gramı ikisi de g olarak sadeleşir; bu yüzden her niceliği neyi tanımladığıyla etiketleyin.