రసాయనశాస్త్ర లెక్కలలో సార్థక అంకెలు

కొలిచిన సంఖ్యలు, ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు

ప్రతి పరికరానికి ఒక పరిమితి ఉంటుంది కాబట్టి కొలిచిన విలువ అనిశ్చితంగా ఉంటుంది. 0.1 mL అంతరాలతో గుర్తులున్న బ్యూరెట్‌ను చదివేటప్పుడు, నిశ్చితమైన గుర్తులను నమోదు చేసి, వాటి మధ్య మరో అంకెను అంచనా వేస్తారు. కాబట్టి 18.36 mL వంటి రీడింగ్‌లో నాలుగు సార్థక అంకెలు ఉంటాయి: మూడు నిశ్చిత అంకెలు, ఒక అంచనా అంకె. 18.360 mL అని రాస్తే బ్యూరెట్ అందించలేని కచ్చితత్వాన్ని క్లెయిమ్ చేసినట్లవుతుంది.

ఖచ్చితమైన సంఖ్యలకు కొలత అనిశ్చితి ఉండదు. అవి లెక్కించడం నుండి (రాక్‌లో 12 పరీక్ష నాళికలు), నిర్వచనాల నుండి (1 అంగుళం సరిగ్గా 2.54 cm, 1 L సరిగ్గా 1000 mL), రసాయన సూత్రాలు, సమీకరణాలలోని గుణకాలు, పాదాంకాల నుండి వస్తాయి. ఖచ్చితమైన సంఖ్యలకు అపరిమిత సార్థక అంకెలు ఉన్నాయని భావించండి; అందువల్ల అవి లెక్కించిన ఫలితం కచ్చితత్వాన్ని ఎప్పుడూ పరిమితం చేయవు.

అంకెలను లెక్కించడం, ఇబ్బంది పెట్టే సున్నాలతో సహా

సున్నా కాని అంకెలు ఎల్లప్పుడూ సార్థకమైనవి. సున్నాలు కొలిచిన సమాచారాన్ని తెలియజేస్తున్నాయా లేక దశాంశ బిందువు స్థానాన్ని మాత్రమే సూచిస్తున్నాయా అనేదాన్ని బట్టి సార్థకమవుతాయి లేదా కావు. సాధారణ రసాయనశాస్త్రంలో మీకు ఎదురయ్యే ప్రతి సందర్భాన్ని కింది నియమాలు కవర్ చేస్తాయి.

దశాంశ బిందువు లేని పూర్ణ సంఖ్యలోని చివరి సున్నాలే నిజంగా అస్పష్టమైన ఏకైక సందర్భం. 1200 g అని రాసిన ద్రవ్యరాశి రెండు, మూడు లేదా నాలుగు సార్థక అంకెల వరకు తెలిసి ఉండవచ్చు. శాస్త్రీయ సంజ్ఞామానం ఈ అస్పష్టతను తొలగిస్తుంది: 1.2 × 10³ g కు రెండు, 1.20 × 10³ g కు మూడు, 1.200 × 10³ g కు నాలుగు ఉంటాయి.

• సున్నా కాని అంకెల మధ్య ఉన్న సున్నాలు సార్థకమైనవి: 30.506 g లో ఐదు ఉన్నాయి.
• ముందున్న సున్నాలు ఎప్పుడూ సార్థకం కావు; అవి దశాంశ బిందువును ఉంచడానికి మాత్రమే: 0.004070 m లో నాలుగు ఉన్నాయి (4, 0, 7, 0).
• దశాంశ బిందువుకు కుడివైపున ఉన్న చివరి సున్నాలు సార్థకమైనవి: 2.500 mL లో నాలుగు ఉన్నాయి.
• దశాంశ బిందువు లేని పూర్ణ సంఖ్యలో చివరి సున్నాలు అస్పష్టం; మీ ఉద్దేశాన్ని తెలపడానికి శాస్త్రీయ సంజ్ఞామానం ఉపయోగించండి.

కూడటం, తీసివేయడం: దశాంశ స్థానాలను సరిచేయండి

రాశులను కూడినప్పుడు లేదా తీసివేసినప్పుడు, ముఖ్యమైనది చివరి దశాంశ స్థానంలోని పరమ అనిశ్చితి, సార్థక అంకెల సంఖ్య కాదు. అతి తక్కువ దశాంశ స్థానాలు ఉన్న కొలతతో సమానమైన దశాంశ స్థానాల సంఖ్యకు ఫలితాన్ని పూర్తి చేయండి.

సాధన ఉదాహరణ 1. వేర్వేరు త్రాసులపై తూచిన ఒక ఘన పదార్థం యొక్క మూడు భాగాలను కలుపుతున్నారు: 12.6 g, 0.237 g, 105.42 g. కాలిక్యులేటర్ 118.257 g చూపిస్తుంది. మొదటి ద్రవ్యరాశి కేవలం పదో వంతు స్థానం వరకే తెలుసు, కాబట్టి మొత్తం కూడా పదో వంతు స్థానం వరకే తెలుస్తుంది: 118.3 g. ఒక ఇన్‌పుట్‌కు మూడు సార్థక అంకెలే ఉన్నా సమాధానానికి నాలుగు ఉన్నాయని గమనించండి; కూడికలో ఫలితాన్ని పరిమితం చేసేవి అంకెల సంఖ్యలు కావు.

తీసివేత సార్థక అంకెలను నాశనం చేయగలదు. ఒక ద్రవం ఉన్న ఫ్లాస్క్ టాప్-లోడింగ్ త్రాసుపై 58.36 g బరువు ఉందనీ, ఖాళీ ఫ్లాస్క్ విశ్లేషణాత్మక త్రాసుపై 57.912 g బరువు ఉండేదనీ అనుకోండి. కాలిక్యులేటర్‌లో తేడా 0.448 g, కానీ మొదటి ద్రవ్యరాశి వందో వంతు స్థానం వరకే తెలుసు, కాబట్టి ద్రవం ద్రవ్యరాశి 0.45 g. నాలుగు, ఐదు అంకెలున్న ఇన్‌పుట్‌ల నుండి రెండు సార్థక అంకెలు మాత్రమే మిగులుతాయి. రెండు పెద్ద సంఖ్యల మధ్య చిన్న తేడా ముఖ్యమైనప్పుడు, రెండింటినీ మరింత కచ్చితమైన త్రాసుపై తూచండి.

గుణించడం, భాగించడం: సార్థక అంకెలను లెక్కించండి

లబ్ధాలు, భాగఫలాలకు సాపేక్ష అనిశ్చితే ముందుకు సాగుతుంది. అతి తక్కువ సార్థక అంకెలు ఉన్న ఇన్‌పుట్‌తో సమానమైన సార్థక అంకెల సంఖ్యకు ఫలితాన్ని పూర్తి చేయండి.

సాధన ఉదాహరణ 2. ఒక దీర్ఘచతురస్ర దిమ్మె కొలతలు 4.20 cm, 2.15 cm, 1.8 cm. కాలిక్యులేటర్‌లో ఘనపరిమాణం 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³. ఎత్తుకు రెండు సార్థక అంకెలే ఉన్నాయి, కాబట్టి ఘనపరిమాణాన్ని 16 cm³ గా చెబుతారు. ఎత్తును, ఉదాహరణకు కాలిపర్‌తో 1.80 cm గా మరింత జాగ్రత్తగా కొలిస్తేనే మూడో అంకెను సమర్థించగలం.

సంవర్గమానాలు (లాగరిథమ్‌లు) pH పనిలో కనిపించే సంబంధిత నియమాన్ని అనుసరిస్తాయి: సంవర్గమానంలోని దశాంశ స్థానాల సంఖ్య అసలు విలువలోని సార్థక అంకెల సంఖ్యకు సమానం. 3.4 × 10⁻⁴ mol/L హైడ్రోజన్ అయాన్ గాఢతకు రెండు సార్థక అంకెలు ఉన్నాయి, కాబట్టి దాని pH రెండు దశాంశ స్థానాలతో 3.47 గా చెబుతారు.

బహుదశల లెక్కలో చివర్లో ఒకేసారి పూర్తి చేయడం

అనేక దశలున్న లెక్కలో, ప్రతి మధ్యంతర విలువలో కనీసం ఒకటి లేదా రెండు అదనపు అంకెలను (రక్షణ అంకెలు) ఉంచి, తుది సమాధానాన్ని మాత్రమే పూర్తి చేయండి. ప్రతి దశ ఎన్ని సార్థక అంకెలను సమర్థిస్తుందో గమనించండి, కానీ చివరి వరకు అంకెలను వదిలేయకండి. ప్రతి దశలో పూర్తి చేస్తే ప్రతిసారీ చిన్న దోషం చేరుతుంది, ఆ దోషాలు చివరగా చెప్పే అంకెను మార్చవచ్చు.

సాధన ఉదాహరణ 3. 1.37 g సోడియం క్లోరైడ్‌ను నీటిలో కరిగించి, ఘనపరిమాణ ఫ్లాస్క్‌లో సరిగ్గా 50.00 mL వరకు విలీనం చేశారు. రెండు దశాంశ స్థానాలకు పూర్తి చేసిన IUPAC ప్రామాణిక పరమాణు భారాలను (Na 22.99, Cl 35.45) ఉపయోగిస్తే, NaCl మోలార్ ద్రవ్యరాశి 58.44 g/mol. పరిమాణం 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, పూర్తి చేయకుండా అలాగే ఉంచారు. ఘనపరిమాణం 0.05000 L, కాబట్టి గాఢత 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L; ద్రవ్యరాశికి మూడు సార్థక అంకెలు ఉన్నందున ఇది 0.469 mol/L గా పూర్తవుతుంది.

పరిమాణాన్ని ముందుగా 0.0234 mol కు పూర్తి చేసి ఉంటే, 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L వచ్చేది. తేడా చిన్నదే, కానీ అది కొలతల వల్ల కాక అంకగణితం వల్ల వచ్చిన నిజమైన దోషం, పొడవైన శ్రేణులలో ఇది పెరగవచ్చు.

సగం అంకెలను ఎప్పుడు పైకి లేదా సరి అంకెకు పూర్తి చేయాలి

వదిలేసే మొదటి అంకె 5 కంటే తక్కువైతే, ఉంచుకునే అంకెను మార్చకండి; అది 5 కంటే ఎక్కువైతే, లేదా 5 తర్వాత సున్నా కాని అంకెలు ఉంటే, పైకి పూర్తి చేయండి. కాబట్టి మూడు సార్థక అంకెల వద్ద 0.064371 ను 0.0644 గా, 7.2849 ను 7.28 గా పూర్తి చేస్తారు.

వివాదాస్పద సందర్భం ఒక్కటే: వదిలేసే అంకె సరిగ్గా 5 ఉండి, దాని తర్వాత ఏమీ లేనప్పుడు. OpenStax Chemistry 2e ఉంచే అంకె సరిగా ఉండేలా పూర్తి చేస్తుంది (6.125 → 6.12, 6.135 → 6.14); దీనివల్ల అనేకసార్లు పూర్తి చేసినప్పుడు కలిగే స్వల్ప పైకి వాలు నివారించబడుతుంది. చాలామంది బోధకులు 5 ను సాధారణంగా పైకి పూర్తి చేస్తారు. మీ కోర్సు ఏ సంప్రదాయాన్ని వాడుతుందో చూసి, దాన్ని స్థిరంగా వర్తింపజేయండి; ఇది ఈ ఒక్క సందర్భాన్ని మాత్రమే ప్రభావితం చేస్తుంది.

మీ సొంత పనిలో వెతకాల్సిన సార్థక అంకెల దోషాలు

చాలా సార్థక అంకెల దోషాలు ముందే ఊహించగల కొన్ని పొరపాట్ల నుండి వస్తాయి. సమాధానాన్ని పెట్టెలో రాసే ముందు, ఇన్‌పుట్‌లను మళ్లీ చదివి, ఏది ఫలితాన్ని పరిమితం చేస్తుందో, ఏ నియమం ప్రకారమో అడగండి.

ఒక చిన్న అలవాటు దీన్ని దినచర్యగా మారుస్తుంది: ప్రతి సమాధానం పక్కన పరిమితం చేసే ఇన్‌పుట్‌ను, మీరు వర్తింపజేసిన నియమాన్ని (దశాంశ స్థానాలు లేదా అంకెల సంఖ్య) రాయండి. సమాధానంలో ఆ ఇన్‌పుట్ సమర్థించే దానికంటే ఎక్కువ అంకెలు కనిపిస్తే పూర్తి చేయండి; తక్కువ కనిపిస్తే, కాలిక్యులేటర్ వదిలేసిన చివరి సున్నా కోసం చూడండి.

• ఖచ్చితమైన సంఖ్య సమాధానాన్ని పరిమితం చేయనివ్వడం. 1000 mL/L కారకం లేదా 2 గుణకం సార్థక అంకెలను ఎప్పుడూ తగ్గించవు.
• మొత్తానికి గుణకార నియమాన్ని వాడటం. మొత్తాలు, తేడాలు దశాంశ స్థానాలతో పరిమితమవుతాయి, అంకెల సంఖ్యలతో కాదు.
• ప్రతి మధ్యంతర విలువను పూర్తి చేయడం. రక్షణ అంకెలను ఉంచి, చివర్లో ఒక్కసారే పూర్తి చేయండి.
• అర్థవంతమైన చివరి సున్నాలను వదిలేయడం. కొలత 2.50 mL అయినప్పుడు కాలిక్యులేటర్ 2.5 చూపిస్తుంది; సున్నాను తిరిగి రాయండి.
• ముందున్న సున్నాలను లెక్కించడం. 0.0081 g లో రెండు సార్థక అంకెలు ఉన్నాయి, నాలుగు కాదు.
• అస్పష్టమైన సున్నాలతో పూర్ణ సంఖ్యను చెప్పడం. మూడు అంకెలు అర్థవంతమైనప్పుడు 340 g బదులు 3.40 × 10² g అని రాయండి.