డైమెన్షనల్ విశ్లేషణ, ప్రమాణ మార్పిడులు

మార్పిడి కారకం ఎందుకు మారువేషంలో ఉన్న 1

1 L = 1000 mL వంటి సమానత్వం రెండు వైపులా ఒకే పరిమాణాన్ని వివరిస్తుందని చెబుతుంది. కాబట్టి ఒక వైపును మరో వైపుతో భాగిస్తే సరిగ్గా 1 కు సమానమైన నిష్పత్తి వస్తుంది: (1000 mL / 1 L) = 1, (1 L / 1000 mL) = 1. ఒక రాశిని 1 తో గుణిస్తే రాశి మారదు; అది ఎలా వ్యక్తమవుతుందో మాత్రమే మారుతుంది. ఈ పద్ధతి మొత్తం సమర్థనం ఇదే.

ప్రతి సమానత్వం రెండు నిష్పత్తులను ఇస్తుంది కాబట్టి, మీ వద్ద ఉన్న ప్రమాణాన్ని రద్దు చేసి, మీకు కావలసిన ప్రమాణాన్ని మిగిల్చే దిశను ఎంచుకోండి. 0.355 L ను మిల్లీలీటర్లకు మార్చడానికి 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL అని రాయండి. L ఒకసారి లవంలో, ఒకసారి హారంలో ఉండటం వల్ల లీటర్లు రద్దవుతాయి. ప్రమాణాలు రద్దు కాకపోతే, కారకం తలకిందులుగా ఉంది; ఏ అంకగణితం చేయకముందే మీకు తెలిసిపోతుంది.

ఖచ్చితమైన, కొలిచిన సమానత్వాలు

కొన్ని సమానత్వాలు నిర్వచనాలు, అవి ఖచ్చితమైనవి: ప్రతి SI ఉపసర్గ (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1 అంగుళం = 2.54 cm. ఖచ్చితమైన కారకాలు సార్థక అంకెలను ఎప్పుడూ పరిమితం చేయవు. సాంద్రత లేదా ఒక నాణెం ద్రవ్యరాశి వంటి ఇతర సమానత్వాలు కొలత నుండి వస్తాయి; వాటి సార్థక అంకెలు ఇతర కొలిచిన విలువల్లాగే లెక్కించబడతాయి.

ఉపసర్గ కారకాలు తలకిందుల దోషాలకు అత్యంత సాధారణ మూలం. 1 µg = 10⁻⁶ g ను ఒక మైక్రోగ్రామ్ ఒక గ్రాములో పది లక్షలో ఒక వంతు అని చదవండి. చిన్న ప్రమాణానికి 1 వస్తుంది, పెద్ద ప్రమాణానికి చిన్న పదిఘాతం వస్తుంది; లేదా సమానంగా 1 g = 10⁶ µg. 1 g = 10⁻⁶ µg అని రాస్తే సంబంధం 10¹² రెట్లు తలకిందులవుతుంది.

• పొడవు: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 అంగుళం = 2.54 cm (ఖచ్చితం).
• ఘనపరిమాణం: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• ద్రవ్యరాశి: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• కాలం: 1 h = 60 min = 3600 s.

ఒకే వరుసలో అనేక కారకాలను కలపడం

ప్రారంభ, లక్ష్య ప్రమాణాలను కలిపే ఒకే సమానత్వం లేనప్పుడు, కారకాల గొలుసును గుణించండి; ప్రతి కారకం ముందు కారకం ప్రవేశపెట్టిన ప్రమాణాన్ని రద్దు చేస్తుంది. లెక్కించే ముందు మొత్తం గొలుసును రాస్తే, రద్దవడాన్ని ఒక్క చూపులో సరిచూసుకోవచ్చు, దశల మధ్య పూర్తి చేయడం కూడా తప్పుతుంది.

సాధన ఉదాహరణ 1. ఒక పంపు ద్రావకాన్ని 1.75 mL/min వద్ద సరఫరా చేస్తుంది. లీటర్లు ప్రతి గంటకు అనే ప్రవాహ రేటు ఎంత? రెండు ప్రమాణాలు మారాలి, ఒకటి లవంలో, ఒకటి హారంలో. 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h) అని ఏర్పాటు చేయండి. మిల్లీలీటర్లు రద్దవుతాయి, నిమిషాలు రద్దవుతాయి, L/h మిగులుతుంది. అంకగణితం 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. రెండు కారకాలూ ఖచ్చితమైనవి, కాబట్టి సమాధానం 1.75 mL/min లోని మూడు సార్థక అంకెలను ఉంచుకుంటుంది.

ఇక్కడ ఒక త్వరిత సహేతుకత పరీక్ష ఉపయోగపడుతుంది: ఒక గంట అంటే 60 నిమిషాలు, కాబట్టి గంటకు ఘనపరిమాణం నిమిషానికి కంటే ఎక్కువగా, సుమారు 105 mL ఉండాలి. లీటర్లలో వ్యక్తపరిస్తే అది దాదాపు లీటరులో పదో వంతు, ఇది 0.105 L/h తో సరిపోతుంది.

వర్గ, ఘన ప్రమాణాలకు వర్గ, ఘన కారకాలు అవసరం

cm³ వంటి ఉత్పన్న ప్రమాణం అంటే cm × cm × cm. దీన్ని మార్చడానికి ప్రతి కొలతకు ఒకసారి పొడవు కారకాన్ని వర్తింపజేయాలి; దీనికి మొత్తం కారకాన్ని, సంఖ్యా ప్రమాణాలతో కలిపి, సంబంధిత ఘాతానికి పెంచండి. (1 m / 100 cm)³ అంటే 1 m³ / 10⁶ cm³, 1 m³ / 100 cm³ కాదు.

సాధన ఉదాహరణ 2. ఒక నిల్వ అల్మారా లోపలి ఘనపరిమాణం 0.0465 m³. దాన్ని ఘన సెంటీమీటర్లలో, లీటర్లలో వ్యక్తపరచండి. ఘన సెంటీమీటర్లలో: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. లీటర్లలో, 1 m³ = 1000 L ఉపయోగించండి: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. క్రాస్-చెక్‌గా, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) కూడా 46.5 L ఇస్తుంది.

రేట్లు, ఇతర సంయుక్త ప్రమాణాలు అదే తర్కాన్ని అనుసరిస్తాయి. N/m² లో పీడనం, m/s లో వేగం, mol/L లో గాఢత — ప్రతిదానిలో ప్రతి ప్రమాణం విడివిడిగా, ఘాతాంకాలను పాటిస్తూ మార్చబడుతుంది.

ద్రవ్యరాశి, ఘనపరిమాణం మధ్య వంతెనగా సాంద్రత

సాంద్రత అంటే ద్రవ్యరాశిని ఘనపరిమాణంతో భాగించడం, కాబట్టి ఇది ఏ దిశలోనైనా మార్పిడి కారకంగా పనిచేస్తుంది: (g / mL) ఘనపరిమాణాన్ని ద్రవ్యరాశిగా, (mL / g) ద్రవ్యరాశిని ఘనపరిమాణంగా మారుస్తుంది. ఉపసర్గ కారకాలకు భిన్నంగా, సాంద్రత కొలిచినది, ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడుతుంది, సార్థక అంకెలను పరిమితం చేస్తుంది.

సాధన ఉదాహరణ 3. OpenStax Chemistry 2e (పట్టిక 1.4) గది ఉష్ణోగ్రత దగ్గర గ్లిసరిన్ సాంద్రతను 1.26 g/cm³ గా చూపిస్తుంది. 15.0 g గ్లిసరిన్ ఎంత ఘనపరిమాణంలో ఉంటుంది? గ్రాములు రద్దవడానికి సాంద్రతను తలకిందులు చేయండి: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³; 1 cm³ = 1 mL సరిగ్గా కాబట్టి ఇది 11.9 mL. కాలిక్యులేటర్ 11.905 చూపిస్తుంది, రెండు ఇన్‌పుట్‌లకూ మూడు సార్థక అంకెలు ఉన్నాయి.

ఇప్పుడు పొడవైన గొలుసు ద్వారా వ్యతిరేక దిశలో వెళ్దాం: 2.50 L గ్లిసరిన్ ద్రవ్యరాశి కిలోగ్రాములలో ఎంత? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. ఒక లీటర్ నీటి ద్రవ్యరాశి దాదాపు 1 kg, గ్లిసరిన్ నీటి కంటే కొంచెం సాంద్రమైనది, కాబట్టి 2.5 kg కంటే కొంచెం ఎక్కువ రావడం సహేతుకం.

ఉష్ణోగ్రత మానాలు, ఆఫ్‌సెట్‌తో ఉన్న ఇతర మార్పిడులు

ఫ్యాక్టర్-లేబుల్ పద్ధతి అనుపాత సంబంధాలను నిర్వహిస్తుంది, అంటే ఒక ప్రమాణంలో సున్నా అంటే రెండో దానిలోనూ సున్నా. సెల్సియస్, ఫారెన్‌హీట్, కెల్విన్ మానాలకు ఉమ్మడి సున్నా లేదు, కాబట్టి ఉష్ణోగ్రతను మార్చడానికి ఆఫ్‌సెట్ చేర్చిన సమీకరణం అవసరం: T(K) = T(°C) + 273.15, T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. ఉదాహరణకు, 21.47 °C అంటే 21.47 + 273.15 = 294.62 K, 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

ఉష్ణోగ్రత మార్పులు వేరు. 1 °C మార్పు 1 K మార్పుకు, 1.8 °F మార్పుకు సమానం, ఆఫ్‌సెట్ లేకుండా; రెండు ఉష్ణోగ్రతలను తీసివేసినప్పుడు ఆఫ్‌సెట్ రద్దవుతుంది కాబట్టి. ఉష్ణం లేదా రేటు సమీకరణం T కాకుండా ΔT ను ఉపయోగించినప్పుడు ఈ తేడాను గుర్తుంచుకోండి.

మార్పిడి తప్పులు, వాటిని పట్టుకునే మార్గాలు

ప్రతి కారకం నిజమైన సమానత్వమైతే తుది ప్రమాణం సరైనదని డైమెన్షనల్ విశ్లేషణ హామీ ఇస్తుంది. మీరు సరైన రాశిని ఎంచుకున్నారని మాత్రం హామీ ఇవ్వదు, కాబట్టి ప్రమాణాల తనిఖీని పరిమాణ అంచనాతో జతచేయండి.

గుణించే ముందు, సంఖ్య పెరగాలా తగ్గాలా అని నిర్ణయించండి. లీటర్ల నుండి మిల్లీలీటర్ల వంటి చిన్న ప్రమాణానికి మార్చితే పెద్ద సంఖ్య వస్తుంది; పెద్ద ప్రమాణానికి మార్చితే చిన్నది వస్తుంది. ఫలితం తప్పు దిశలో కదిలితే, ఒక కారకంలో సంఖ్యలు తారుమారయ్యాయి; ప్రమాణాలు రద్దయినట్లు కనిపించినా, తప్పుగా గుర్తుంచుకున్న ఉపసర్గ చేసేది సరిగ్గా ఇదే.

• తలకిందులైన కారకం: మీరు తొలగించాలనుకున్న ప్రమాణం మిగిలి ఉంటే, ఆ కారకాన్ని తిప్పండి.
• తారుమారైన ఉపసర్గ: 1 kg = 1000 g లో లాగా చిన్న ప్రమాణానికి పెద్ద సంఖ్య ఉందో లేదో సరిచూడండి.
• ఘాతాన్ని మర్చిపోవడం: వైశాల్య, ఘనపరిమాణ కారకాలను, సంఖ్యతో సహా, వర్గం లేదా ఘనం చేయాలి.
• లెక్క మధ్యలో ప్రమాణాలను వదిలేయడం: ప్రతి సంఖ్యపై ప్రమాణాలు రాయండి, అప్పుడు లోపించిన రద్దు కనిపిస్తూనే ఉంటుంది.
• కొలిచిన కారకాన్ని ఖచ్చితమైనదిగా భావించడం: సాంద్రత లేదా ఒక్కో వస్తువు కొలిచిన ద్రవ్యరాశి సార్థక అంకెలను పరిమితం చేస్తాయి.
• సరైన ప్రమాణాలు, తప్పు భౌతికశాస్త్రం: ద్రావణం గ్రాములు, ద్రావిత గ్రాములు రెండూ g గా రద్దవుతాయి, కాబట్టి ప్రతి రాశిని అది దేన్ని వివరిస్తుందో లేబుల్ చేయండి.