Namba za Kwantumu na Obiti: Kanuni, Hesabu na Maumbo

Elektroni kama mawimbi: urefu wa wimbi wa de Broglie

Mwaka 1924 de Broglie alipendekeza kwamba chembe yoyote inayosogea ina urefu wa wimbi λ = h/(mv), ambapo h ni konstanti ya Planck, m ni uzito na v ni kasi. Kwa vitu vya kila siku urefu wa wimbi ni mdogo mno kuweza kugunduliwa. Mpira wa besiboli wa 0.145 kg unaosafiri kwa 40.0 m/s una λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Kwa elektroni, yenye uzito wa 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), urefu wa wimbi unalinganishwa na ukubwa wa atomi.

Mfano uliotatuliwa 1. Elektroni inayosogea kwa 2.188 × 10⁶ m/s ina λ = h/(mv). Kwa thamani za CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s na m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, au 0.3324 nm. Kasi hii ndiyo ile ambayo modeli ya Bohr inaipa elektroni katika mzunguko wa chini kabisa wa hidrojeni, ambao radius yake ni radius ya Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Mzingo wa mzunguko ni 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, kwa hivyo urefu mmoja wa wimbi wa elektroni unatosha kuuzunguka, kwa ulinganifu wa bora kuliko 0.02%. Viwango vya nishati vilivyokwantishwa ndivyo unavyopata wimbi la elektroni linapolazimika kutosha nafasi yake bila kujifuta lenyewe, kama vile uzi wa gitaa unavyoweza kutetemeka kwa marudio fulani tu.

Kutokuwa na uhakika na mwisho wa mizunguko isiyobadilika

Kanuni ya kutokuwa na uhakika ya Heisenberg inaweka kikomo cha jinsi mahali na momentamu vinavyoweza kujulikana kwa pamoja: Δx·Δp ≥ ħ/2, ambapo ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Mfano uliotatuliwa 2. Funga elektroni katika eneo lenye upana wa 1.0 × 10⁻¹⁰ m, takriban ukubwa wa atomi. Kisha Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, na Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Kutokuwa na uhakika kwa kasi ni sehemu kubwa ya kasi yenyewe, kwa hivyo njia mahususi, kama mzunguko wa sayari, haina maana kwa elektroni katika atomi.

Mekaniki ya kwantumu inabadilisha njia na kitendakazi cha wimbi, ψ. Mraba wake, ψ², ni msongamano wa uwezekano: ukizidishwa kwa ujazo wa eneo dogo, unatoa uwezekano wa kupata elektroni hapo. Obiti ni kitendakazi cha wimbi cha elektroni moja, na picha za obiti zinazofahamika ni nyuso zinazozingira sehemu kubwa ya uwezekano huo, mara nyingi 90%.

Thamani zinazoruhusiwa za n, l, mₗ na mₛ

Kutatua mlinganyo wa wimbi kwa atomi ya hidrojeni huzalisha namba tatu za kwantumu, kila moja ikizuiliwa na ile iliyotangulia. Ya nne inaeleza spini ya elektroni. Vizuizi ndivyo kila kitu.

• Namba kuu ya kwantumu n = 1, 2, 3, …. Huweka ganda na, katika hidrojeni, nishati. n kubwa zaidi inamaanisha obiti kubwa zaidi yenye nishati ya juu zaidi.
• Namba ya kwantumu ya kasi ya pembe l = 0, 1, …, n − 1. Huweka ganda dogo na umbo: l = 0, 1, 2, 3 ni s, p, d, f.
• Namba ya kwantumu ya sumaku mₗ = −l, …, 0, …, +l, ikitoa thamani 2l + 1. Huweka mwelekeo wa obiti katika nafasi.
• Namba ya kwantumu ya spini mₛ = +½ au −½. Haitegemei zile nyingine tatu.

Mfano uliotatuliwa: kujaribu seti sita za namba za kwantumu

Kujaribu seti (n, l, mₗ, mₛ), kagua kila namba dhidi ya ile iliyotangulia, kwa mpangilio. Simama kwenye ukiukaji wa kwanza.

(3, 3, 0, +½) hairuhusiwi: l lazima isizidi n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) hairuhusiwi: kwa l = 2, mₗ huanzia −2 hadi +2 tu. (3, 2, 1, 0) hairuhusiwi: mₛ lazima iwe +½ au −½, kamwe si 0. (2, 1, −1, −½) inaruhusiwa na inaeleza elektroni katika obiti ya 2p. (5, 0, 0, +½) inaruhusiwa na inaeleza elektroni ya 5s. (4, 3, −3, +½) inaruhusiwa na inaeleza elektroni ya 4f.

Kutaja obiti kutoka kwa seti inayoruhusiwa, andika n ikifuatwa na herufi ya l. Thamani ya mₗ huchagua obiti moja ndani ya ganda dogo lakini haibadilishi jina lake katika nukuu hii.

Kuhesabu obiti na elektroni chini ya kizuizi

Maswali ya kuhesabu huwa ya kawaida ukiorodhesha thamani zinazoruhusiwa za l, kisha thamani za mₗ kwa kila moja, na baada ya hapo tu utumie kizuizi. Kila obiti, yaani kila mchanganyiko unaoruhusiwa wa (n, l, mₗ), hubeba elektroni mbili, moja kwa kila spini.

Ganda lenye namba kuu ya kwantumu n lina obiti n² na elektroni 2n². Kwa n = 4, l inaweza kuwa 0, 1, 2 au 3, ikitoa obiti 1 + 3 + 5 + 7 = 16 na elektroni 32.

Mfano uliotatuliwa 3. Ni elektroni ngapi katika atomi zinaweza kuwa na n = 3 na mₗ = +1? Thamani za l kwa n = 3 ni 0, 1 na 2. mₗ = +1 inawezekana tu wakati l ≥ 1, kwa hivyo kuna obiti moja kama hiyo katika 3p na moja katika 3d: obiti mbili, elektroni nne. Ni ngapi zinaweza kuwa na n = 5 na mₛ = +½? Ganda la 5 lina obiti 5² = 25, kila moja ikiwa na elektroni moja ya +½, kwa hivyo 25. Ni ngapi zinaweza kuwa na n = 4 na l = 2? Hilo ni ganda dogo la 4d: obiti 5 na elektroni 10.

Maumbo ya obiti na kuhesabu nodi

Nodi ni mahali ambapo ψ, na kwa hivyo uwezekano wa kupata elektroni, ni sifuri. Obiti ina nodi n − 1 kwa jumla. Kati ya hizo, l ni nodi za pembe, mabapa au koni zinazopita kwenye kiini, na n − l − 1 zilizobaki ni nodi za radius, magamba ya duara katika umbali usiobadilika. OpenStax Chemistry 2e (Sehemu 6.3) inatoa kanuni ya nodi za radius.

Obiti za s (l = 0) ni za duara bila nodi za pembe, kwa hivyo obiti ya 2s ina nodi moja ya radius na obiti ya 3s ina mbili. Obiti za p (l = 1) zina mapande mawili pande kinyume za kiini na bapa moja la nodi kati yake; tatu hizo huitwa pₓ, p_y na p_z kulingana na mhimili zinaouelekea. Obiti za d (l = 2) zina nodi mbili za pembe. Nne kati yake zina mapande manne; ya tano, d_z², ina mapande mawili kando ya mhimili wa z na pete kuzunguka katikati.

Mfano uliotatuliwa 4. Obiti ya 3p ina nodi 3 − 1 − 1 = 1 ya radius na nodi 1 ya pembe. Obiti ya 4d ina nodi 1 ya radius na nodi 2 za pembe, 3 kwa jumla. Obiti ya 3d haina nodi za radius, na obiti ya 6s ina 5.

Wakati obiti za ganda moja zinatofautiana kwa nishati

Katika hidrojeni, nishati hutegemea n pekee, kwa hivyo 3s, 3p na 3d zina nishati sawa. Katika atomi zenye zaidi ya elektroni moja, elektroni nyingine hukinga kiini bila usawa. Elektroni ya s hupenya karibu zaidi na kiini kuliko elektroni ya p au d ya ganda lile lile, huhisi zaidi chaji ya kiini na iko chini kinishati. Matokeo ni mgawanyiko s < p < d < f ndani ya ganda, unaoweka mpangilio wa kujaza ulioshughulikiwa katika mwongozo wa mipangilio ya elektroni.

Obiti za ganda dogo moja, kama obiti tatu za 2p, hubaki na nishati sawa katika atomi iliyotengwa. Huitwa obiti dejeneti (zenye nishati sawa). Atomi zinazozunguka katika molekuli au fuwele zinaweza kuvunja usawa huo wa nishati.

Makosa ya namba za kwantumu ya kukagua

Karibu kila kosa hutokana na kuruka hatua ya kuorodhesha. Ukiwa na shaka, andika kila thamani inayoruhusiwa kabla ya kuhesabu.

• Kuruhusu l kuwa sawa na n. l kubwa zaidi inayoruhusiwa ni n − 1, kwa hivyo hakuna obiti ya 1p wala 2d.
• Kuhesabu thamani za mₗ kutoka 0 hadi l badala ya kutoka −l hadi +l, jambo linalohesabu obiti pungufu.
• Kuhesabu obiti wakati swali linauliza elektroni, au kinyume chake. Kila obiti hubeba elektroni mbili.
• Kuipa mₛ thamani 0 au 1. Spini ni +½ au −½ pekee.
• Kutumia n − l − 1 kama jumla ya idadi ya nodi. Fomula hiyo huhesabu nodi za radius pekee; jumla ni n − 1.
• Kuchukulia uso wa mpaka wa 90% kama ukingo mgumu. Msongamano wa elektroni hufifia polepole na hauna mpaka mkali.