Kvanttal och orbitaler: regler, antal och former

Elektroner som vågor: de Broglie-våglängden

År 1924 föreslog de Broglie att varje partikel i rörelse har en våglängd λ = h/(mv), där h är Plancks konstant, m massan och v hastigheten. För vardagliga föremål är våglängden alldeles för liten för att märkas. En baseboll på 0.145 kg i 40.0 m/s har λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. För en elektron, med massan 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), är våglängden jämförbar med en atoms storlek.

Räkneexempel 1. En elektron som rör sig med 2.188 × 10⁶ m/s har λ = h/(mv). Med CODATA-värdena h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s och m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg blir λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, eller 0.3324 nm. Denna hastighet är den som Bohrs modell tilldelar elektronen i vätets lägsta bana, vars radie är Bohrradien, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Banans omkrets är 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, så en elektronvåglängd ryms runt den, med en överensstämmelse bättre än 0.02%. Kvantiserade energinivåer är vad man får när en elektronvåg måste passa in i sitt utrymme utan att släcka ut sig själv, ungefär som en gitarrsträng bara kan svänga med vissa frekvenser.

Osäkerhet och slutet för bestämda banor

Heisenbergs osäkerhetsprincip sätter en gräns för hur väl läge och rörelsemängd kan vara kända samtidigt: Δx·Δp ≥ ħ/2, där ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Räkneexempel 2. Begränsa en elektron till ett område som är 1.0 × 10⁻¹⁰ m brett, ungefär en atoms storlek. Då är Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, och Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Osäkerheten i hastighet är en betydande del av själva hastigheten, så en bestämd bana, som en planets omloppsbana, saknar mening för en elektron i en atom.

Kvantmekaniken ersätter banan med en vågfunktion, ψ. Dess kvadrat, ψ², är sannolikhetstätheten: multiplicerad med volymen av ett litet område ger den sannolikheten att hitta elektronen där. En orbital är en vågfunktion för en elektron, och de välbekanta orbitalbilderna är ytor som omsluter det mesta av denna sannolikhet, ofta 90%.

Tillåtna värden för n, l, mₗ och mₛ

När vågekvationen löses för väteatomen får man tre kvanttal, vart och ett begränsat av det föregående. Ett fjärde beskriver elektronens spinn. Det är begränsningarna som är hela poängen.

• Huvudkvanttalet n = 1, 2, 3, …. Det bestämmer skalet och, i väte, energin. Större n betyder en större orbital med högre energi.
• Bikvanttalet (rörelsemängdsmomentets kvanttal) l = 0, 1, …, n − 1. Det bestämmer underskalet och formen: l = 0, 1, 2, 3 är s, p, d, f.
• Magnetiska kvanttalet mₗ = −l, …, 0, …, +l, vilket ger 2l + 1 värden. Det bestämmer orbitalens orientering i rummet.
• Spinnkvanttalet mₛ = +½ eller −½. Det beror inte på de tre andra.

Räkneexempel: att pröva sex uppsättningar kvanttal

För att pröva en uppsättning (n, l, mₗ, mₛ), kontrollera varje tal mot det föregående, i tur och ordning. Stanna vid det första brottet mot reglerna.

(3, 3, 0, +½) är inte tillåten: l får högst vara n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) är inte tillåten: med l = 2 går mₗ bara från −2 till +2. (3, 2, 1, 0) är inte tillåten: mₛ måste vara +½ eller −½, aldrig 0. (2, 1, −1, −½) är tillåten och beskriver en elektron i en 2p-orbital. (5, 0, 0, +½) är tillåten och beskriver en 5s-elektron. (4, 3, −3, +½) är tillåten och beskriver en 4f-elektron.

För att namnge orbitalen utifrån en tillåten uppsättning, skriv n följt av bokstaven för l. Värdet på mₗ väljer ut en orbital inom underskalet men ändrar inte dess namn i denna notation.

Att räkna orbitaler och elektroner under ett villkor

Räknefrågor blir rutin om du listar de tillåtna l-värdena, sedan mₗ-värdena för vart och ett, och först därefter tillämpar villkoret. Varje orbital, det vill säga varje tillåten kombination (n, l, mₗ), rymmer två elektroner, en med vardera spinn.

Ett skal med huvudkvanttalet n innehåller n² orbitaler och 2n² elektroner. För n = 4 kan l vara 0, 1, 2 eller 3, vilket ger 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitaler och 32 elektroner.

Räkneexempel 3. Hur många elektroner i en atom kan ha n = 3 och mₗ = +1? l-värdena för n = 3 är 0, 1 och 2. mₗ = +1 är möjligt bara när l ≥ 1, så det finns en sådan orbital i 3p och en i 3d: två orbitaler, fyra elektroner. Hur många kan ha n = 5 och mₛ = +½? Skal 5 har 5² = 25 orbitaler, var och en med en +½-elektron, alltså 25. Hur många kan ha n = 4 och l = 2? Det är underskalet 4d: 5 orbitaler och 10 elektroner.

Orbitalernas former och att räkna noder

En nod är ett ställe där ψ, och därmed sannolikheten att hitta elektronen, är noll. En orbital har totalt n − 1 noder. Av dessa är l vinkelnoder, plan eller koner genom kärnan, och de återstående n − l − 1 är radiella noder, sfäriska skal på bestämda avstånd. OpenStax Chemistry 2e (avsnitt 6.3) anger regeln för radiella noder.

s-orbitaler (l = 0) är sfäriska utan vinkelnoder, så en 2s-orbital har en radiell nod och en 3s-orbital har två. p-orbitaler (l = 1) har två lober på motsatta sidor om kärnan med ett nodplan mellan dem; de tre betecknas pₓ, p_y och p_z efter den axel de pekar längs. d-orbitaler (l = 2) har två vinkelnoder. Fyra av dem har fyra lober; den femte, d_z², har två lober längs z-axeln och en ring runt mitten.

Räkneexempel 4. En 3p-orbital har 3 − 1 − 1 = 1 radiell nod och 1 vinkelnod. En 4d-orbital har 1 radiell nod och 2 vinkelnoder, totalt 3. En 3d-orbital har inga radiella noder, och en 6s-orbital har 5.

När orbitaler i samma skal skiljer sig i energi

I väte beror energin bara på n, så 3s, 3p och 3d har samma energi. I atomer med mer än en elektron skärmar de övriga elektronerna kärnan ojämnt. En s-elektron tränger närmare kärnan än en p- eller d-elektron i samma skal, känner mer av kärnladdningen och har lägre energi. Resultatet är uppdelningen s < p < d < f inom ett skal, som bestämmer den fyllnadsordning som behandlas i guiden om elektronkonfigurationer.

Orbitaler i samma underskal, som de tre 2p-orbitalerna, har samma energi i en isolerad atom. De kallas degenererade. Omgivande atomer i en molekyl eller kristall kan bryta denna degeneration.

Fel med kvanttal att se upp med

Nästan alla fel kommer av att man hoppar över steget där värdena listas. Skriv ut alla tillåtna värden innan du räknar när du är osäker.

• Att låta l vara lika med n. Det största tillåtna l är n − 1, så det finns ingen 1p- eller 2d-orbital.
• Att räkna mₗ-värden från 0 till l i stället för från −l till +l, vilket ger för få orbitaler.
• Att räkna orbitaler när frågan gäller elektroner, eller tvärtom. Varje orbital rymmer två elektroner.
• Att ge mₛ värdet 0 eller 1. Spinnet är endast +½ eller −½.
• Att använda n − l − 1 som det totala antalet noder. Den formeln räknar bara radiella noder; det totala antalet är n − 1.
• Att behandla 90-procentsytan som en skarp kant. Elektrontätheten avtar gradvis och saknar skarp gräns.