Ljus och atomspektra: fotoner, energinivåer och vätets linjer

Våglängd, frekvens och ljusets hastighet

Ljus är en elektromagnetisk våg. Dess våglängd λ är avståndet mellan vågtoppar, och dess frekvens ν är antalet vågtoppar som passerar en punkt varje sekund, i hertz (s⁻¹). I vakuum färdas alla våglängder med samma hastighet, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, ett exakt definierat värde som NIST anger. De tre storheterna hänger ihop genom c = λν, så våglängd och frekvens är omvänt proportionella: halvera den ena så fördubblas den andra.

Synligt ljus sträcker sig från ungefär 400 nm (violett) till 700 nm (rött). Ultraviolett ljus har kortare våglängder och högre frekvenser; infrarött har längre våglängder och lägre frekvenser. Omvandla nanometer till meter innan du använder c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Fotonenergi och den fotoelektriska effekten

Ljus absorberas och sänds ut i paket som kallas fotoner. Varje foton bär energin E = hν = hc/λ, där h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s är Plancks konstant, som också är exakt. Kortare våglängd betyder mer energi per foton. Starkare ljus av samma färg betyder fler fotoner, inte mer energirika.

Räkneexempel 1. Det gula ljuset från en natriumlampa ligger nära 589.0 nm. Dess frekvens är ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. En foton bär E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Multiplicera med Avogadros tal, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, för en mol fotoner: 2.031 × 10⁵ J, eller 203.1 kJ/mol. Det är jämförbart med energin i en svag kemisk bindning, vilket är skälet till att synligt och ultraviolett ljus kan driva fotokemiska reaktioner.

Den fotoelektriska effekten visar fotonbilden direkt. Ljus slår ut elektroner ur en metall bara om varje foton bär minst metallens utträdesarbete, Φ. All överskottsenergi blir elektronens rörelseenergi: KEmax = hν − Φ.

Räkneexempel 2. Anta att en metallyta har tröskelvåglängden 540 nm (ett givet värde för den här övningen). Dess utträdesarbete är Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Violett ljus vid 405 nm har fotoner på 4.905 × 10⁻¹⁹ J, så KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Avrundat till tre gällande siffror är det 1.23 × 10⁻¹⁹ J, eller 0.765 eV. Rött ljus vid 650 nm slår inte ut några elektroner, hur intensivt det än är, eftersom varje foton bara har 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Varför atomer ger linjespektra i stället för regnbågar

En het fast kropp, som en glödtråd i en lampa, sänder ut ett kontinuerligt spektrum. En het gas av atomer vid lågt tryck sänder bara ut vissa våglängder. Elektroner i en atom kan bara befinna sig på vissa energinivåer. När en elektron faller från en högre nivå till en lägre sänder atomen ut en enda foton vars energi är lika med skillnaden: ΔE = hν. Eftersom bara vissa skillnader finns uppträder bara vissa våglängder.

Absorption är det omvända. Låt vitt ljus passera genom en kall gas så tar atomerna bort exakt de våglängder som motsvarar deras hopp uppåt, vilket lämnar mörka linjer i ett annars kontinuerligt spektrum. Ett hopp mellan samma två nivåer har samma våglängd oavsett om atomen absorberar eller sänder ut. Varje grundämnes uppsättning av energiskillnader är unik, så spektra identifierar grundämnen i lågor, lampor och avlägsna stjärnor.

Vätets energinivåer och Rydbergs formel

För en atom med en elektron följer energinivåerna en enkel formel. OpenStax Chemistry 2e (avsnitt 6.2) anger Eₙ = −kZ²/n², med k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z kärnladdningen och n = 1, 2, 3, …. Energin är negativ eftersom den bundna elektronen har lägre energi än en fri elektron i vila, vars energi sätts till noll. När n växer trängs nivåerna ihop mot noll.

Fotonen som sänds ut när elektronen faller från nᵢ till ett lägre n_f har energin ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Division med hc ger Rydbergs formel för väte, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), med R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Räkneexempel 3. Bestäm våglängden för vätets linje n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, där en extra siffra behålls till slutet. Med hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m blir λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, eller 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data anger denna röda linje till 656.3 nm i luft. Skillnaden i sista siffran beror på avrundningen av k och på att ljuset färdas något långsammare i luft.

Räkneexempel 4. Vätets joniseringsenergi är den energi som krävs för att flytta elektronen från n = 1 till n = ∞, vilket är k självt: 2.179 × 10⁻¹⁸ J per atom. Per mol blir det (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, eller 1312 kJ/mol. Värdet i NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, motsvarar 1312.0 kJ/mol.

Lyman-, Balmer- och Paschenserierna

Linjer som slutar på samma lägre nivå bildar en serie. Alla kommer de närmare varandra när nᵢ ökar och närmar sig en seriegräns, där elektronen startar som fri.

• Lymanserien, som slutar vid n = 1: ultraviolett. Linjen 2 → 1 ligger vid 121.6 nm, och seriegränsen ligger nära 91.2 nm.
• Balmerserien, som slutar vid n = 2: vätets fyra synliga linjer, vid ungefär 656, 486, 434 och 410 nm för nᵢ = 3, 4, 5 och 6. Seriegränsen ligger nära 365 nm, i det ultravioletta.
• Paschenserien, som slutar vid n = 3: infraröd. Linjen 4 → 3 ligger nära 1875 nm.

Vanliga fel med spektra och snabba kontroller

De flesta fel i dessa uppgifter är enhetsfel eller teckenfel. Två kontroller fångar de flesta av dem: en synlig foton bör bära ungefär 2.8 till 5.0 × 10⁻¹⁹ J, och en större energiskillnad måste ge en kortare våglängd.

• Att låta våglängden stå i nanometer när c = λν eller E = hc/λ används. Omvandla först till meter.
• Att använda Rydbergs formel med nᵢ och n_f förväxlade, vilket ger en negativ våglängd.
• Att vänta sig att alla vätets linjer är synliga. Hela Lymanserien är ultraviolett och Paschenserien är infraröd.
• Att tro att starkare ljus slår ut snabbare fotoelektroner. Intensiteten ändrar antalet elektroner, inte deras maximala energi.
• Att tillämpa Eₙ = −kZ²/n² på helium eller någon annan atom med mer än en elektron. Formeln gäller bara för arter med en elektron, som H, He⁺ och Li²⁺.
• Att glömma Avogadros tal när en energi per foton omvandlas till kJ/mol, eller att använda det två gånger.

Vad Bohrs modell förklarar och var den tar slut

Bohrs modell av väteatomen, med elektronen i cirkulära banor med bestämd energi, återger vätets linjer och Z²-skalningen för joner som He⁺. För He⁺ är varje övergångsenergi fyra gånger större än i väte, så dess linje 2 → 1 ligger nära 30.4 nm.

Modellen misslyckas för atomer med två eller fler elektroner, eftersom repulsionen mellan elektronerna ändrar nivåerna. Den framställer också elektroner som rörliga i bestämda banor, något som kvantmekaniken utesluter. Modern teori behåller Bohrs energinivåer för väte men ersätter banor med orbitaler, som beskriver var en elektron sannolikt finns.