Kärnkemi: bindningsenergi, sönderfallstyper och halveringstider

Förhållandet mellan neutroner och protoner och stabilitetsbandet

En kärna innehåller protoner och neutroner, gemensamt kallade nukleoner. Protonerna stöter bort varandra elektriskt, och den starka kärnkraften, som bara verkar över mycket korta avstånd, håller ihop alla nukleonerna. Om en kärna är stabil beror främst på balansen mellan protoner och neutroner.

Om du plottar neutroner mot protoner för de stabila nukliderna hamnar de i ett smalt stabilitetsband. Lätta stabila kärnor har ungefär lika många av vardera: kväve-14 har sju av varje. Tyngre kärnor behöver extra neutroner för att motverka den växande repulsionen mellan protonerna. OpenStax anger förhållandet n:p till 1.15 för järn-56 och 1.52 för bly-207. Varje isotop av varje grundämne efter vismut (Z = 83) är radioaktiv.

En nuklid utanför bandet sönderfaller på ett sätt som flyttar den mot bandet. Den enda idén förutsäger de flesta sönderfallstyper, som listan över sönderfallstyper nedan visar.

Massdefekt och kärnans bindningsenergi

En kärna har mindre massa än de separata protoner och neutroner den består av. Den saknade massan, massdefekten, motsvarar kärnans bindningsenergi via E = mc². I atommassenheter motsvarar 1 u 931.494 MeV (CODATA-värde från NIST).

Räkneexempel 1. Bestäm bindningsenergin för helium-4. Att använda atommassor håller elektronerna i balans: två väte-1-atomer bidrar med de två protonerna och två elektroner. NIST anger 1.007 825 032 u för ¹H och 4.002 603 254 u för ⁴He, och CODATA anger 1.008 664 916 u för neutronen. Separata partiklar: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Massdefekt: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Bindningsenergi: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV, eller 7.074 MeV per nukleon. OpenStax anger 28.4 MeV eftersom den använder massor avrundade till fyra decimaler, vilket visar hur känslig en liten skillnad mellan stora tal är för avrundning.

Omräknat till en mol motsvarar 28.30 MeV per kärna 2.73 × 10¹² J/mol. Förbränning av en mol metan frigör ungefär 890 kJ (ur bildningsentalpierna i Bilaga G), så att bilda helium-4 ur dess nukleoner frigör ungefär tre miljoner gånger så mycket energi per mol. Bindningsenergin per nukleon är störst nära masstalet 56; OpenStax beräknar 8.820 MeV per nukleon för järn-56. Det är därför både fusion av lätta kärnor och klyvning av mycket tunga kärnor frigör energi.

Fem sönderfallstyper och vad var och en förändrar

Varje sönderfallstyp ändrar masstalet A och atomnumret Z på ett bestämt sätt. Att veta på vilken sida av bandet en nuklid ligger talar om vilka typer som är sannolika.

• Alfasönderfall sänder ut en helium-4-kärna, ⁴₂He. A minskar med 4 och Z med 2. Det är vanligt för tunga kärnor efter vismut.
• Betasönderfall sänder ut en elektron, ⁰₋₁e, när en neutron blir en proton. A är oförändrat och Z ökar med 1. Det förekommer hos neutronrika nuklider ovanför bandet.
• Positronemission sänder ut en positron, ⁰₊₁e, när en proton blir en neutron. A är oförändrat och Z minskar med 1. Det förekommer hos protonrika nuklider under bandet.
• Elektroninfångning drar in en inre elektron i kärnan, där den förenas med en proton och bildar en neutron. A är oförändrat och Z minskar med 1, samma förändring som vid positronemission.
• Gammastrålning frigör en högenergetisk foton, ⁰₀γ, från en kärna i ett exciterat tillstånd. A och Z är oförändrade. Den följer ofta med de andra typerna.

Att balansera en kärnreaktionsformel genom att bevara A och Z

En kärnreaktionsformel är balanserad när masstalen (de upphöjda indexen) summerar till samma total på båda sidor och atomnumren (de nedsänkta indexen) gör det också. Produktens atomnummer identifierar sedan grundämnet.

Uran-238 genomgår alfasönderfall: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Kontroll: 238 = 234 + 4 och 92 = 90 + 2. Kol-14 genomgår betasönderfall: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, där 6 = 7 + (−1). Fluor-18, som används vid PET-undersökningar, genomgår positronemission: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Kalium-40 kan genomgå elektroninfångning, med elektronen skriven som reaktant: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

För att hitta en okänd partikel, subtrahera. Torium-234 sönderfaller till protaktinium-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. För X är A = 234 − 234 = 0 och Z = 90 − 91 = −1, så X är ⁰₋₁e och detta är betasönderfall. Förutsägelserna stämmer med bandet: kol-14 har förhållandet n:p 1.33, högt för en så lätt kärna, och betasönderfall för det till 1.00 i kväve-14.

Beräkningar med halveringstid för sönderfall av första ordningen

Radioaktivt sönderfall är en process av första ordningen: under en given tid sönderfaller samma andel av de återstående kärnorna, oavsett startmängd. Halveringstiden, t½, är den tid det tar för hälften av kärnorna att sönderfalla. Den är i praktiken oberoende av temperatur, tryck och kemisk form, vilket är det som gör den användbar för datering. Mängden som återstår efter tiden t är N = N₀ × (½)^(t/t½). Likvärdigt gäller ln(N/N₀) = −kt med sönderfallskonstanten k = 0.693/t½.

Räkneexempel 2. Jod-131, som används för att behandla sköldkörtelsjukdom, har t½ = 8.02 dagar (OpenStax tabell 21.2). Hur mycket av ett prov på 50.0 mg återstår efter 30.0 dagar? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 halveringstider. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. En snabb uppskattning bekräftar det: efter 3 halveringstider skulle 6.25 mg återstå och efter 4 halveringstider 3.13 mg, så svaret måste ligga mellan dem.

Räkneexempel 3. Fluor-18 har t½ = 110. minuter. Hur lång tid tar det tills dess aktivitet har sjunkit till 10.0 procent av startvärdet? Aktiviteten är proportionell mot antalet kärnor, så lös (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, ungefär 6.1 timmar. Det korta tidsfönstret är skälet till att fluor-18 måste framställas nära den plats där det används.

Räkneexempel: radiokoldatering av ett träföremål

Levande organismer upprätthåller ett jämnt förhållande mellan kol-14 och kol-12 genom att utbyta kol med sin omgivning. Efter döden sönderfaller kol-14 med t½ = 5730 år (OpenStax avsnitt 21.3) och ersätts inte, så förhållandet sjunker på ett förutsägbart sätt.

Ett verktyg av trä innehåller 28.0 procent av den kol-14-halt som finns i levande trä. Lös 0.280 = (½)^(t/5730 y). Logaritmering ger t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ år, eller ungefär 1.84 halveringstider. Kontrollera uppskattningen: efter en halveringstid återstår 50 procent och efter två 25 procent, och 28.0 procent ligger strax före två.

OpenStax anger att metoden är noggrann upp till ungefär 30 000 år och ger rimliga dateringar upp till högst ungefär 50 000 år. Därutöver återstår för lite kol-14 för att mätas tillförlitligt. Verkliga radiokolåldrar korrigeras också för tidigare förändringar i atmosfärens kol-14-halt.

Fel i kärnreaktionsformler och sönderfallsräkning

Två kontroller fångar de flesta problem: balansera A och Z var för sig i varje reaktionsformel, och uppskatta hur många halveringstider som har gått innan du använder räknaren.

• Att förväxla förändringarna vid beta- och positronsönderfall. Beta höjer Z med 1; positronemission och elektroninfångning sänker det med 1.
• Att balansera masstalen men inte atomnumren, eller tvärtom.
• Att subtrahera massorna av nakna protoner från en atommassa utan att ta hänsyn till elektronerna. Att använda atommassor för väte-1 undviker problemet.
• Att dividera startmängden med antalet halveringstider i stället för att halvera den upprepade gånger.
• Att blanda tidsenheter, till exempel en halveringstid i dagar med en förfluten tid i timmar.
• Att avrunda massorna innan skillnaden tas i en beräkning av massdefekt.