Svetlo a atómové spektrá: fotóny, energetické hladiny a čiary vodíka

Vlnová dĺžka, frekvencia a rýchlosť svetla

Svetlo je elektromagnetické vlnenie. Jeho vlnová dĺžka λ je vzdialenosť medzi hrebeňmi a jeho frekvencia ν je počet hrebeňov, ktoré prejdú bodom za sekundu, v hertzoch (s⁻¹). Vo vákuu sa každá vlnová dĺžka šíri rovnakou rýchlosťou, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, čo je presná definovaná hodnota uvádzaná NIST. Tieto tri veličiny spája vzťah c = λν, takže vlnová dĺžka a frekvencia sú nepriamo úmerné: keď jednu zmenšíte na polovicu, druhá sa zdvojnásobí.

Viditeľné svetlo siaha zhruba od 400 nm (fialová) po 700 nm (červená). Ultrafialové svetlo má kratšie vlnové dĺžky a vyššie frekvencie; infračervené má dlhšie vlnové dĺžky a nižšie frekvencie. Pred použitím c = λν preveďte nanometre na metre: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energia fotónu a fotoelektrický jav

Svetlo sa pohlcuje a vyžaruje v balíčkoch nazývaných fotóny. Každý fotón nesie energiu E = hν = hc/λ, kde h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s je Planckova konštanta, takisto presná. Kratšia vlnová dĺžka znamená viac energie na fotón. Jasnejšie svetlo rovnakej farby znamená viac fotónov, nie energetickejšie fotóny.

Riešený príklad 1. Žlté svetlo sodíkovej výbojky má vlnovú dĺžku blízko 589.0 nm. Jeho frekvencia je ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Jeden fotón nesie E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Pre mól fotónov vynásobte Avogadrovou konštantou, 6.022 × 10²³ mol⁻¹: 2.031 × 10⁵ J, teda 203.1 kJ/mol. To je porovnateľné s energiou slabej chemickej väzby, a preto viditeľné a ultrafialové svetlo môže poháňať fotochemické reakcie.

Fotoelektrický jav ukazuje fotónový obraz priamo. Svetlo vyráža elektróny z kovu, iba ak každý fotón nesie aspoň výstupnú prácu kovu, Φ. Akákoľvek energia navyše sa stáva kinetickou energiou elektrónu: KEmax = hν − Φ.

Riešený príklad 2. Predpokladajme, že povrch kovu má prahovú vlnovú dĺžku 540 nm (hodnota zadaná pre toto cvičenie). Jeho výstupná práca je Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Fialové svetlo s vlnovou dĺžkou 405 nm má fotóny s energiou 4.905 × 10⁻¹⁹ J, takže KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Po zaokrúhlení na tri platné číslice je to 1.23 × 10⁻¹⁹ J, teda 0.765 eV. Červené svetlo s vlnovou dĺžkou 650 nm nevyrazí žiadne elektróny, nech je akokoľvek intenzívne, pretože každý fotón má iba 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Prečo atómy dávajú čiarové spektrá namiesto dúhy

Horúca tuhá látka, napríklad vlákno žiarovky, vyžaruje spojité spektrum. Horúci plyn atómov pri nízkom tlaku vyžaruje iba určité vlnové dĺžky. Elektróny v atóme môžu obsadzovať iba určité energetické hladiny. Keď elektrón klesne z vyššej hladiny na nižšiu, atóm vyžiari jeden fotón, ktorého energia sa rovná rozdielu: ΔE = hν. Keďže existujú iba určité rozdiely, objavujú sa iba určité vlnové dĺžky.

Absorpcia je opačný dej. Keď necháte prejsť biele svetlo studeným plynom, atómy odoberú presne tie vlnové dĺžky, ktoré zodpovedajú ich prechodom nahor, a v inak spojitom spektre zostanú tmavé čiary. Prechod medzi rovnakými dvoma hladinami má rovnakú vlnovú dĺžku, či atóm pohlcuje, alebo vyžaruje. Súbor rozdielov každého prvku je jedinečný, takže spektrá identifikujú prvky v plameňoch, výbojkách a vzdialených hviezdach.

Energetické hladiny vodíka a Rydbergova rovnica

Pre atóm s jedným elektrónom sa energetické hladiny riadia jednoduchým vzorcom. OpenStax Chemistry 2e (oddiel 6.2) uvádza Eₙ = −kZ²/n², kde k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z je jadrový náboj a n = 1, 2, 3, …. Energia je záporná, pretože viazaný elektrón má nižšiu energiu než voľný elektrón v pokoji, ktorého energia je stanovená na nulu. S rastúcim n sa hladiny zhusťujú smerom k nule.

Fotón vyžiarený pri páde elektrónu z nᵢ na nižšie n_f má energiu ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Delením hc dostaneme Rydbergovu rovnicu pre vodík, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), kde R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Riešený príklad 3. Nájdite vlnovú dĺžku čiary vodíka n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, pričom si do konca ponecháme jednu číslicu navyše. S hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m je λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, teda 656.4 nm. Príručka NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data uvádza túto červenú čiaru pri 656.3 nm vo vzduchu. Rozdiel v poslednej číslici pochádza zo zaokrúhlenia k a z o niečo menšej rýchlosti svetla vo vzduchu.

Riešený príklad 4. Ionizačná energia vodíka je energia potrebná na presun elektrónu z n = 1 na n = ∞, čo je samotné k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J na atóm. Na mól je to (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, teda 1312 kJ/mol. Hodnota z NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, sa prevedie na 1312.0 kJ/mol.

Lymanova, Balmerova a Paschenova séria

Čiary, ktoré končia na rovnakej nižšej hladine, tvoria sériu. Všetky sa s rastúcim nᵢ k sebe približujú a blížia sa k hranici série, kde elektrón začína ako voľný.

• Lymanova séria, končiaca na n = 1: ultrafialová. Čiara 2 → 1 je pri 121.6 nm a hranica série je blízko 91.2 nm.
• Balmerova séria, končiaca na n = 2: štyri viditeľné čiary vodíka, pri približne 656, 486, 434 a 410 nm pre nᵢ = 3, 4, 5 a 6. Hranica série je blízko 365 nm, v ultrafialovej oblasti.
• Paschenova séria, končiaca na n = 3: infračervená. Čiara 4 → 3 je blízko 1875 nm.

Chyby pri spektrách a rýchle kontroly

Väčšina chýb v týchto úlohách sú chyby v jednotkách alebo v znamienkach. Dve kontroly zachytia väčšinu z nich: viditeľný fotón by mal niesť zhruba 2.8 až 5.0 × 10⁻¹⁹ J a väčší energetický rozdiel musí dať kratšiu vlnovú dĺžku.

• Ponechanie vlnovej dĺžky v nanometroch pri použití c = λν alebo E = hc/λ. Najprv ju preveďte na metre.
• Použitie Rydbergovej rovnice so zamenenými nᵢ a n_f, čo dá zápornú vlnovú dĺžku.
• Očakávanie, že každá čiara vodíka je viditeľná. Celá Lymanova séria je ultrafialová a Paschenova séria je infračervená.
• Domnienka, že jasnejšie svetlo vyráža rýchlejšie fotoelektróny. Intenzita mení počet elektrónov, nie ich maximálnu energiu.
• Uplatnenie Eₙ = −kZ²/n² na hélium alebo akýkoľvek atóm s viac ako jedným elektrónom. Platí iba pre jednoelektrónové častice, ako sú H, He⁺ a Li²⁺.
• Zabudnutie Avogadrovej konštanty pri prevode energie na fotón na kJ/mol alebo jej použitie dvakrát.

Čo Bohrov model vysvetľuje a kde končí

Bohrov model atómu vodíka, v ktorom elektrón obieha po kruhových dráhach s pevnou energiou, reprodukuje čiary vodíka aj škálovanie so Z² pre ióny, ako je He⁺. Pre He⁺ je každá energia prechodu vodíka štyrikrát väčšia, takže jeho čiara 2 → 1 je blízko 30.4 nm.

Model zlyháva pri atómoch s dvoma alebo viacerými elektrónmi, pretože odpudzovanie elektrón–elektrón mení hladiny. Zobrazuje tiež elektróny na určitých dráhach, čo kvantová mechanika vylučuje. Moderná teória si pre vodík zachováva Bohrove energetické hladiny, ale dráhy nahrádza orbitálmi, ktoré opisujú, kde sa elektrón pravdepodobne nachádza.