Numere cuantice și orbitali: reguli, numărători și forme

Electronii ca unde: lungimea de undă de Broglie

În 1924, de Broglie a propus că orice particulă în mișcare are o lungime de undă λ = h/(mv), unde h este constanta lui Planck, m masa și v viteza. Pentru obiectele obișnuite, lungimea de undă este mult prea mică pentru a fi observată. O minge de baseball de 0.145 kg cu viteza de 40.0 m/s are λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Pentru un electron, cu masa de 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), lungimea de undă este comparabilă cu dimensiunea unui atom.

Exemplu rezolvat 1. Un electron care se mișcă cu 2.188 × 10⁶ m/s are λ = h/(mv). Cu valorile CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s și m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, adică 0.3324 nm. Aceasta este viteza pe care modelul Bohr o atribuie electronului de pe cea mai joasă orbită a hidrogenului, a cărei rază este raza Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Circumferința orbitei este 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, deci pe ea încape o lungime de undă a electronului, cu o concordanță mai bună de 0.02%. Nivelurile de energie cuantificate sunt ceea ce obții când o undă electronică trebuie să încapă în spațiul ei fără să se anuleze singură, așa cum o coardă de chitară poate vibra doar la anumite frecvențe.

Incertitudinea și sfârșitul orbitelor fixe

Principiul de incertitudine al lui Heisenberg stabilește o limită pentru cât de bine pot fi cunoscute împreună poziția și impulsul: Δx·Δp ≥ ħ/2, unde ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Exemplu rezolvat 2. Închide un electron într-o regiune de 1.0 × 10⁻¹⁰ m lățime, aproximativ dimensiunea unui atom. Atunci Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, iar Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Incertitudinea vitezei este o fracțiune considerabilă din viteza însăși, deci o traiectorie definită, precum orbita unei planete, nu are sens pentru un electron dintr-un atom.

Mecanica cuantică înlocuiește traiectoria cu o funcție de undă, ψ. Pătratul ei, ψ², este densitatea de probabilitate: înmulțit cu volumul unei regiuni mici, dă probabilitatea de a găsi electronul acolo. Un orbital este o funcție de undă pentru un electron, iar reprezentările obișnuite ale orbitalilor sunt suprafețe care cuprind cea mai mare parte din această probabilitate, adesea 90%.

Valorile permise pentru n, l, mₗ și mₛ

Rezolvarea ecuației de undă pentru atomul de hidrogen produce trei numere cuantice, fiecare restricționat de cel dinaintea lui. Un al patrulea descrie spinul electronului. Totul se reduce la aceste restricții.

• Numărul cuantic principal n = 1, 2, 3, …. El stabilește stratul și, în hidrogen, energia. Un n mai mare înseamnă un orbital mai mare, de energie mai mare.
• Numărul cuantic al momentului cinetic orbital l = 0, 1, …, n − 1. El stabilește substratul și forma: l = 0, 1, 2, 3 corespund lui s, p, d, f.
• Numărul cuantic magnetic mₗ = −l, …, 0, …, +l, ceea ce dă 2l + 1 valori. El stabilește orientarea orbitalului în spațiu.
• Numărul cuantic de spin mₛ = +½ sau −½. Nu depinde de celelalte trei.

Exemplu rezolvat: verificarea a șase seturi de numere cuantice

Pentru a verifica un set (n, l, mₗ, mₛ), compară fiecare număr cu cel dinaintea lui, în ordine. Oprește-te la prima încălcare.

(3, 3, 0, +½) nu este permis: l trebuie să fie cel mult n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) nu este permis: cu l = 2, mₗ ia valori doar de la −2 la +2. (3, 2, 1, 0) nu este permis: mₛ trebuie să fie +½ sau −½, niciodată 0. (2, 1, −1, −½) este permis și descrie un electron dintr-un orbital 2p. (5, 0, 0, +½) este permis și descrie un electron 5s. (4, 3, −3, +½) este permis și descrie un electron 4f.

Pentru a denumi orbitalul dintr-un set permis, scrie n urmat de litera corespunzătoare lui l. Valoarea lui mₗ alege un orbital din substrat, dar nu îi schimbă denumirea în această notație.

Numărarea orbitalilor și a electronilor sub o restricție

Întrebările de numărare devin de rutină dacă enumeri valorile permise ale lui l, apoi valorile lui mₗ pentru fiecare și abia apoi aplici restricția. Fiecare orbital, adică fiecare combinație permisă (n, l, mₗ), conține doi electroni, câte unul cu fiecare spin.

Un strat cu numărul cuantic principal n conține n² orbitali și 2n² electroni. Pentru n = 4, l poate fi 0, 1, 2 sau 3, ceea ce dă 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitali și 32 de electroni.

Exemplu rezolvat 3. Câți electroni dintr-un atom pot avea n = 3 și mₗ = +1? Valorile lui l pentru n = 3 sunt 0, 1 și 2. mₗ = +1 este posibil doar când l ≥ 1, deci există un astfel de orbital în 3p și unul în 3d: doi orbitali, patru electroni. Câți pot avea n = 5 și mₛ = +½? Stratul 5 are 5² = 25 de orbitali, fiecare cu un electron +½, deci 25. Câți pot avea n = 4 și l = 2? Acesta este substratul 4d: 5 orbitali și 10 electroni.

Formele orbitalilor și numărarea nodurilor

Un nod este un loc în care ψ, și deci probabilitatea de a găsi electronul, este zero. Un orbital are în total n − 1 noduri. Dintre acestea, l sunt noduri unghiulare, plane sau conuri care trec prin nucleu, iar restul de n − l − 1 sunt noduri radiale, învelișuri sferice la distanțe fixe. OpenStax Chemistry 2e (secțiunea 6.3) dă regula nodurilor radiale.

Orbitalii s (l = 0) sunt sferici, fără noduri unghiulare, deci un orbital 2s are un nod radial, iar un orbital 3s are două. Orbitalii p (l = 1) au doi lobi de o parte și de alta a nucleului, cu un plan nodal între ei; cei trei sunt notați pₓ, p_y și p_z după axa de-a lungul căreia sunt orientați. Orbitalii d (l = 2) au două noduri unghiulare. Patru dintre ei au patru lobi; al cincilea, d_z², are doi lobi de-a lungul axei z și un inel în jurul mijlocului.

Exemplu rezolvat 4. Un orbital 3p are 3 − 1 − 1 = 1 nod radial și 1 nod unghiular. Un orbital 4d are 1 nod radial și 2 noduri unghiulare, 3 în total. Un orbital 3d nu are noduri radiale, iar un orbital 6s are 5.

Când orbitalii din același strat diferă ca energie

În hidrogen, energia depinde doar de n, deci 3s, 3p și 3d au aceeași energie. În atomii cu mai mulți electroni, ceilalți electroni ecranează nucleul inegal. Un electron s pătrunde mai aproape de nucleu decât un electron p sau d din același strat, simte o parte mai mare din sarcina nucleară și are energie mai mică. Rezultatul este scindarea s < p < d < f în cadrul unui strat, care stabilește ordinea de ocupare prezentată în ghidul despre configurațiile electronice.

Orbitalii din același substrat, precum cei trei orbitali 2p, rămân egali ca energie într-un atom izolat. Ei se numesc degenerați. Atomii din jur, într-o moleculă sau într-un cristal, pot ridica această degenerare.

Greșeli la numerele cuantice de verificat

Aproape orice greșeală provine din sărirea pasului de enumerare. Când ai îndoieli, scrie toate valorile permise înainte să numeri.

• A-l lăsa pe l să fie egal cu n. Cea mai mare valoare permisă a lui l este n − 1, deci nu există orbital 1p sau 2d.
• Numărarea valorilor lui mₗ de la 0 la l în loc de la −l la +l, ceea ce dă prea puțini orbitali.
• Numărarea orbitalilor când întrebarea cere electroni sau invers. Fiecare orbital conține doi electroni.
• Atribuirea valorii 0 sau 1 lui mₛ. Spinul este doar +½ sau −½.
• Folosirea lui n − l − 1 ca număr total de noduri. Această formulă numără doar nodurile radiale; totalul este n − 1.
• Tratarea suprafeței-limită de 90% ca pe o margine rigidă. Densitatea electronică scade treptat și nu are o limită netă.