Lumina și spectrele atomice: fotoni, niveluri de energie și liniile hidrogenului

Lungimea de undă, frecvența și viteza luminii

Lumina este o undă electromagnetică. Lungimea ei de undă λ este distanța dintre creste, iar frecvența ν este numărul de creste care trec printr-un punct în fiecare secundă, în hertzi (s⁻¹). În vid, toate lungimile de undă se propagă cu aceeași viteză, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, o valoare exactă, definită, indicată de NIST. Cele trei mărimi sunt legate prin c = λν, deci lungimea de undă și frecvența sunt invers proporționale: dacă una se înjumătățește, cealaltă se dublează.

Lumina vizibilă se întinde de la aproximativ 400 nm (violet) la 700 nm (roșu). Lumina ultravioletă are lungimi de undă mai mici și frecvențe mai mari; radiația infraroșie are lungimi de undă mai mari și frecvențe mai mici. Convertește nanometrii în metri înainte de a folosi c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energia fotonului și efectul fotoelectric

Lumina este absorbită și emisă în pachete numite fotoni. Fiecare foton poartă energia E = hν = hc/λ, unde h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s este constanta lui Planck, tot exactă. O lungime de undă mai mică înseamnă mai multă energie per foton. O lumină mai strălucitoare de aceeași culoare înseamnă mai mulți fotoni, nu fotoni mai energici.

Exemplu rezolvat 1. Lumina galbenă a unei lămpi cu sodiu este în jur de 589.0 nm. Frecvența ei este ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Un foton poartă E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Înmulțește cu numărul lui Avogadro, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, pentru un mol de fotoni: 2.031 × 10⁵ J, adică 203.1 kJ/mol. Aceasta este comparabilă cu energia unei legături chimice slabe, motiv pentru care lumina vizibilă și cea ultravioletă pot declanșa reacții fotochimice.

Efectul fotoelectric arată direct imaginea fotonică. Lumina scoate electroni dintr-un metal doar dacă fiecare foton poartă cel puțin lucrul mecanic de extracție al metalului, Φ. Orice energie suplimentară devine energia cinetică a electronului: KEmax = hν − Φ.

Exemplu rezolvat 2. Să presupunem că o suprafață metalică are o lungime de undă de prag de 540 nm (o valoare dată pentru acest exercițiu). Lucrul ei mecanic de extracție este Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Lumina violetă de 405 nm are fotoni de 4.905 × 10⁻¹⁹ J, deci KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Rotunjit la trei cifre semnificative, aceasta înseamnă 1.23 × 10⁻¹⁹ J, adică 0.765 eV. Lumina roșie de 650 nm, oricât de intensă ar fi, nu scoate niciun electron, deoarece fiecare foton are doar 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

De ce atomii dau spectre de linii în loc de curcubee

Un solid fierbinte, precum filamentul unei lămpi, emite un spectru continuu. Un gaz de atomi fierbinte, la presiune joasă, emite doar anumite lungimi de undă. Electronii dintr-un atom pot ocupa doar anumite niveluri de energie. Când un electron coboară de pe un nivel superior pe unul inferior, atomul emite un singur foton a cărui energie este egală cu diferența: ΔE = hν. Deoarece există doar anumite diferențe, apar doar anumite lungimi de undă.

Absorbția este procesul invers. Trimite lumină albă printr-un gaz rece, iar atomii elimină exact lungimile de undă care corespund salturilor lor în sus, lăsând linii întunecate într-un spectru altfel continuu. Un salt între aceleași două niveluri are aceeași lungime de undă, fie că atomul absoarbe, fie că emite. Setul de diferențe al fiecărui element este unic, așa că spectrele identifică elementele în flăcări, lămpi și stele îndepărtate.

Nivelurile de energie ale hidrogenului și ecuația lui Rydberg

Pentru un atom cu un singur electron, nivelurile de energie urmează o formulă simplă. OpenStax Chemistry 2e (secțiunea 6.2) dă Eₙ = −kZ²/n², cu k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z sarcina nucleară și n = 1, 2, 3, …. Energia este negativă deoarece electronul legat are o energie mai mică decât un electron liber în repaus, a cărui energie este considerată zero. Pe măsură ce n crește, nivelurile se îngrămădesc spre zero.

Fotonul emis când electronul coboară de pe nᵢ pe un nivel inferior n_f are energia ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Împărțind la hc se obține ecuația lui Rydberg pentru hidrogen, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), cu R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Exemplu rezolvat 3. Află lungimea de undă a liniei n = 3 → n = 2 a hidrogenului. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, păstrând o cifră în plus până la final. Cu hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m, λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, adică 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data indică această linie roșie la 656.3 nm în aer. Diferența de la ultima cifră provine din rotunjirea lui k și din viteza puțin mai mică a luminii în aer.

Exemplu rezolvat 4. Energia de ionizare a hidrogenului este energia necesară pentru a muta electronul de pe n = 1 pe n = ∞, adică chiar k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J per atom. Per mol, (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, adică 1312 kJ/mol. Valoarea din NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, corespunde la 1312.0 kJ/mol.

Seriile Lyman, Balmer și Paschen

Liniile care se termină pe același nivel inferior formează o serie. Toate se apropie tot mai mult una de alta pe măsură ce nᵢ crește și tind spre o limită a seriei, unde electronul pornește liber.

• Seria Lyman, care se termină la n = 1: ultraviolet. Linia 2 → 1 este la 121.6 nm, iar limita seriei este în jur de 91.2 nm.
• Seria Balmer, care se termină la n = 2: cele patru linii vizibile ale hidrogenului, la aproximativ 656, 486, 434 și 410 nm pentru nᵢ = 3, 4, 5 și 6. Limita seriei este în jur de 365 nm, în ultraviolet.
• Seria Paschen, care se termină la n = 3: infraroșu. Linia 4 → 3 este în jur de 1875 nm.

Greșeli la spectre și verificări rapide

Majoritatea greșelilor din aceste probleme sunt erori de unități sau de semn. Două verificări le prind pe cele mai multe: un foton vizibil ar trebui să poarte aproximativ 2.8 până la 5.0 × 10⁻¹⁹ J, iar o diferență de energie mai mare trebuie să dea o lungime de undă mai mică.

• Lăsarea lungimii de undă în nanometri când folosești c = λν sau E = hc/λ. Convertește mai întâi în metri.
• Folosirea ecuației lui Rydberg cu nᵢ și n_f inversate, ceea ce dă o lungime de undă negativă.
• Așteptarea ca toate liniile hidrogenului să fie vizibile. Întreaga serie Lyman este în ultraviolet, iar seria Paschen este în infraroșu.
• Credința că o lumină mai strălucitoare scoate fotoelectroni mai rapizi. Intensitatea schimbă numărul de electroni, nu energia lor maximă.
• Aplicarea formulei Eₙ = −kZ²/n² la heliu sau la orice atom cu mai mult de un electron. Ea este valabilă doar pentru speciile cu un singur electron, precum H, He⁺ și Li²⁺.
• Uitarea numărului lui Avogadro la conversia unei energii per foton în kJ/mol sau aplicarea lui de două ori.

Ce explică modelul Bohr și unde se oprește

Modelul Bohr al atomului de hidrogen, cu electronul pe orbite circulare de energie fixă, reproduce liniile hidrogenului și dependența de Z² pentru ioni precum He⁺. Pentru He⁺, fiecare energie de tranziție a hidrogenului este de patru ori mai mare, deci linia sa 2 → 1 este în jur de 30.4 nm.

Modelul eșuează pentru atomii cu doi sau mai mulți electroni, deoarece repulsia electron–electron modifică nivelurile. De asemenea, el reprezintă electronii pe traiectorii definite, ceea ce mecanica cuantică exclude. Teoria modernă păstrează nivelurile de energie ale lui Bohr pentru hidrogen, dar înlocuiește orbitele cu orbitali, care descriu unde este probabil să fie găsit un electron.