Análise dimensional e conversões de unidades

Por que um fator de conversão é um 1 disfarçado

Uma igualdade como 1 L = 1000 mL diz que os dois lados descrevem a mesma quantidade. Dividir um lado pelo outro dá, portanto, uma razão exatamente igual a 1: (1000 mL / 1 L) = 1 e (1 L / 1000 mL) = 1. Multiplicar uma grandeza por 1 não a altera; apenas muda a forma como ela é expressa. Essa é toda a justificativa do método.

Como cada igualdade fornece duas razões, você escolhe a orientação que cancela a unidade que você tem e deixa a unidade que você quer. Para converter 0.355 L em mililitros, escreva 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Os litros se cancelam porque L aparece uma vez no numerador e uma vez no denominador. Se as unidades não se cancelam, o fator está de cabeça para baixo, e você descobre isso antes de fazer qualquer conta.

Igualdades exatas e medidas

Algumas igualdades são definições e são exatas: todos os prefixos do SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ e 1 polegada = 2.54 cm. Os fatores exatos nunca limitam os algarismos significativos. Outras igualdades vêm de medições, como uma densidade ou a massa de uma moeda, e seus algarismos significativos contam como os de qualquer outro valor medido.

Os fatores de prefixo são a fonte mais comum de erros de inversão. Leia 1 µg = 10⁻⁶ g como: um micrograma é um milionésimo de grama. A unidade menor fica com o 1 e a unidade maior fica com a potência de dez pequena, ou, de forma equivalente, 1 g = 10⁶ µg. Escrever 1 g = 10⁻⁶ µg inverte a relação por um fator de 10¹².

• Comprimento: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 polegada = 2.54 cm (exato).
• Volume: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Massa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Tempo: 1 h = 60 min = 3600 s.

Encadeando vários fatores em uma única linha

Quando nenhuma igualdade isolada liga a unidade de partida à unidade desejada, multiplique uma cadeia de fatores, cada um cancelando a unidade introduzida pelo anterior. Escrever a cadeia inteira antes de calcular permite conferir os cancelamentos num relance e evita arredondamentos entre as etapas.

Exemplo resolvido 1. Uma bomba fornece solvente a 1.75 mL/min. Qual é a vazão em litros por hora? Duas unidades precisam mudar, uma no numerador e outra no denominador. Monte 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Os mililitros se cancelam, os minutos se cancelam e resta L/h. A conta é 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Os dois fatores são exatos, de modo que a resposta mantém os três algarismos significativos de 1.75 mL/min.

Uma verificação rápida de razoabilidade ajuda aqui: uma hora tem 60 minutos, então o volume por hora deve ser maior que por minuto, cerca de 105 mL. Expresso em litros, isso é aproximadamente um décimo de litro, o que combina com 0.105 L/h.

Unidades ao quadrado e ao cubo exigem fatores ao quadrado e ao cubo

Uma unidade derivada como cm³ significa cm × cm × cm. Convertê-la exige aplicar o fator de comprimento uma vez para cada dimensão, o que se faz elevando o fator inteiro, número e unidade juntos, à potência correspondente. (1 m / 100 cm)³ é igual a 1 m³ / 10⁶ cm³, e não a 1 m³ / 100 cm³.

Exemplo resolvido 2. Um armário de armazenamento tem volume interno de 0.0465 m³. Expresse-o em centímetros cúbicos e em litros. Em centímetros cúbicos: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. Em litros, use 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Como verificação cruzada, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) também dá 46.5 L.

As taxas e outras unidades compostas seguem a mesma lógica. Uma pressão em N/m², uma velocidade em m/s e uma concentração em mol/L têm, cada uma, todas as unidades convertidas separadamente, respeitando os expoentes.

A densidade como ponte entre massa e volume

A densidade é a massa dividida pelo volume, de modo que funciona como fator de conversão nas duas orientações: (g / mL) transforma um volume em massa, e (mL / g) transforma uma massa em volume. Ao contrário dos fatores de prefixo, a densidade é medida, depende da temperatura e limita os algarismos significativos.

Exemplo resolvido 3. O OpenStax Chemistry 2e (Tabela 1.4) lista a densidade da glicerina como 1.26 g/cm³ perto da temperatura ambiente. Que volume de glicerina contém 15.0 g? Inverta a densidade para que os gramas se cancelem: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, que são 11.9 mL porque 1 cm³ = 1 mL exatamente. A calculadora mostra 11.905, e os dois dados têm três algarismos significativos.

Agora siga no sentido contrário por uma cadeia mais longa: qual é a massa, em quilogramas, de 2.50 L de glicerina? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Um litro de água tem massa próxima de 1 kg, e a glicerina é um pouco mais densa que a água, então um valor um pouco acima de 2.5 kg é razoável.

Escalas de temperatura e outras conversões com deslocamento

O método do fator de conversão lida com relações proporcionais, em que o zero de uma unidade corresponde ao zero da outra. As escalas Celsius, Fahrenheit e kelvin não compartilham o mesmo zero, de modo que converter uma temperatura exige uma equação com um deslocamento adicional: T(K) = T(°C) + 273.15 e T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Por exemplo, 21.47 °C são 21.47 + 273.15 = 294.62 K e 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

As variações de temperatura são diferentes. Uma variação de 1 °C equivale a uma variação de 1 K e a uma variação de 1.8 °F, sem deslocamento, porque o deslocamento se cancela quando você subtrai duas temperaturas. Tenha essa distinção em mente quando uma equação de calor ou de velocidade usar ΔT em vez de T.

Erros de conversão e como detectá-los

A análise dimensional garante que a unidade final esteja certa se todo fator for uma igualdade verdadeira. Ela não garante que você tenha escolhido a grandeza certa, por isso combine a verificação das unidades com uma estimativa de ordem de grandeza.

Antes de multiplicar, decida se o número deve aumentar ou diminuir. Converter para uma unidade menor, como de litros para mililitros, dá um número maior; converter para uma unidade maior dá um número menor. Se o resultado vai na direção errada, algum fator tem os números invertidos, que é exatamente o que um prefixo mal lembrado provoca, mesmo quando as unidades parecem se cancelar.

• Fator invertido: se a unidade que você queria eliminar sobrevive, vire esse fator.
• Prefixo invertido: confira se a unidade menor tem a contagem maior, como em 1 kg = 1000 g.
• Esquecer a potência: os fatores de área e de volume devem ser elevados ao quadrado ou ao cubo, inclusive o número.
• Perder as unidades no meio do cálculo: escreva as unidades em todos os números para que um cancelamento ausente continue visível.
• Tratar um fator medido como exato: uma densidade ou uma massa medida por item limita os algarismos significativos.
• Unidades corretas, física errada: gramas de solução e gramas de soluto se cancelam ambos como g, por isso rotule cada grandeza com o que ela descreve.