Kvantetall og orbitaler: regler, opptelling og former

Elektroner som bølger: de Broglie-bølgelengden

I 1924 foreslo de Broglie at enhver partikkel i bevegelse har en bølgelengde λ = h/(mv), der h er Plancks konstant, m massen og v farten. For hverdagslige gjenstander er bølgelengden altfor liten til å merkes. En baseball på 0.145 kg med farten 40.0 m/s har λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. For et elektron, med massen 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), er bølgelengden sammenlignbar med størrelsen til et atom.

Regneeksempel 1. Et elektron som beveger seg med 2.188 × 10⁶ m/s, har λ = h/(mv). Med CODATA-verdiene h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s og m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg blir λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, eller 0.3324 nm. Denne farten er den Bohrs modell gir elektronet i hydrogenets laveste bane, der radien er Bohr-radien, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Omkretsen av banen er 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, så én elektronbølgelengde får plass rundt den, med samsvar bedre enn 0.02 %. Kvantiserte energinivåer er det man får når en elektronbølge må passe inn i rommet sitt uten å slukke seg selv, omtrent som en gitarstreng bare kan svinge med bestemte frekvenser.

Uskarphet og slutten på faste baner

Heisenbergs uskarphetsrelasjon setter en grense for hvor godt posisjon og bevegelsesmengde kan være kjent samtidig: Δx·Δp ≥ ħ/2, der ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Regneeksempel 2. Steng et elektron inne i et område som er 1.0 × 10⁻¹⁰ m bredt, omtrent størrelsen til et atom. Da er Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, og Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Usikkerheten i farten er en betydelig del av selve farten, så en bestemt bane, som banen til en planet, gir ingen mening for et elektron i et atom.

Kvantemekanikken erstatter banen med en bølgefunksjon, ψ. Kvadratet, ψ², er sannsynlighetstettheten: multiplisert med volumet av et lite område gir den sannsynligheten for å finne elektronet der. En orbital er en bølgefunksjon for ett elektron, og de kjente orbitaltegningene er flater som omslutter det meste av denne sannsynligheten, ofte 90 %.

Tillatte verdier for n, l, mₗ og mₛ

Når bølgelikningen løses for hydrogenatomet, får man tre kvantetall, der hvert begrenses av det foregående. Et fjerde beskriver elektronets spinn. Begrensningene er hele poenget.

• Hovedkvantetallet n = 1, 2, 3, …. Det bestemmer skallet og, i hydrogen, energien. Større n betyr en større orbital med høyere energi.
• Bikvantetallet (dreieimpulskvantetallet) l = 0, 1, …, n − 1. Det bestemmer underskallet og formen: l = 0, 1, 2, 3 er s, p, d, f.
• Det magnetiske kvantetallet mₗ = −l, …, 0, …, +l, som gir 2l + 1 verdier. Det bestemmer orbitalens orientering i rommet.
• Spinnkvantetallet mₛ = +½ eller −½. Det avhenger ikke av de tre andre.

Regneeksempel: å teste seks sett av kvantetall

For å teste et sett (n, l, mₗ, mₛ) kontrollerer du hvert tall mot det foregående, i rekkefølge. Stopp ved det første bruddet på reglene.

(3, 3, 0, +½) er ikke tillatt: l kan høyst være n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) er ikke tillatt: med l = 2 går mₗ bare fra −2 til +2. (3, 2, 1, 0) er ikke tillatt: mₛ må være +½ eller −½, aldri 0. (2, 1, −1, −½) er tillatt og beskriver et elektron i en 2p-orbital. (5, 0, 0, +½) er tillatt og beskriver et 5s-elektron. (4, 3, −3, +½) er tillatt og beskriver et 4f-elektron.

For å navngi orbitalen ut fra et tillatt sett skriver du n etterfulgt av bokstaven for l. Verdien av mₗ velger én orbital i underskallet, men endrer ikke navnet i denne notasjonen.

Å telle orbitaler og elektroner under en begrensning

Telleoppgaver blir rutine hvis du skriver opp de tillatte l-verdiene, deretter mₗ-verdiene for hver av dem, og først da bruker begrensningen. Hver orbital, det vil si hver tillatte kombinasjon av (n, l, mₗ), rommer to elektroner, ett med hvert spinn.

Et skall med hovedkvantetall n inneholder n² orbitaler og 2n² elektroner. For n = 4 kan l være 0, 1, 2 eller 3, noe som gir 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitaler og 32 elektroner.

Regneeksempel 3. Hvor mange elektroner i et atom kan ha n = 3 og mₗ = +1? l-verdiene for n = 3 er 0, 1 og 2. mₗ = +1 er bare mulig når l ≥ 1, så det finnes én slik orbital i 3p og én i 3d: to orbitaler, fire elektroner. Hvor mange kan ha n = 5 og mₛ = +½? Skall 5 har 5² = 25 orbitaler, hver med ett +½-elektron, altså 25. Hvor mange kan ha n = 4 og l = 2? Det er 4d-underskallet: 5 orbitaler og 10 elektroner.

Orbitalformer og opptelling av noder

En node er et sted der ψ, og dermed sannsynligheten for å finne elektronet, er null. En orbital har n − 1 noder totalt. Av disse er l vinkelnoder, plan eller kjegler gjennom kjernen, og de resterende n − l − 1 er radielle noder, kuleskall i faste avstander. OpenStax Chemistry 2e (avsnitt 6.3) gir regelen for radielle noder.

s-orbitaler (l = 0) er kuleformede uten vinkelnoder, så en 2s-orbital har én radiell node og en 3s-orbital har to. p-orbitaler (l = 1) har to lober på hver sin side av kjernen med ett nodeplan mellom seg; de tre betegnes pₓ, p_y og p_z etter aksen de peker langs. d-orbitaler (l = 2) har to vinkelnoder. Fire av dem har fire lober; den femte, d_z², har to lober langs z-aksen og en ring rundt midten.

Regneeksempel 4. En 3p-orbital har 3 − 1 − 1 = 1 radiell node og 1 vinkelnode. En 4d-orbital har 1 radiell node og 2 vinkelnoder, 3 totalt. En 3d-orbital har ingen radielle noder, og en 6s-orbital har 5.

Når orbitaler i samme skall har ulik energi

I hydrogen avhenger energien bare av n, så 3s, 3p og 3d har samme energi. I atomer med mer enn ett elektron skjermer de andre elektronene kjernen ujevnt. Et s-elektron trenger nærmere inn mot kjernen enn et p- eller d-elektron i samme skall, kjenner mer av kjerneladningen og har lavere energi. Resultatet er oppsplittingen s < p < d < f innenfor et skall, som bestemmer fyllingsrekkefølgen som gjennomgås i veiledningen om elektronkonfigurasjoner.

Orbitaler i samme underskall, som de tre 2p-orbitalene, har lik energi i et isolert atom. De kalles degenererte. Omkringliggende atomer i et molekyl eller en krystall kan oppheve denne degenerasjonen.

Feil med kvantetall du bør se etter

Nesten alle feil kommer av at man hopper over trinnet der verdiene skrives opp. Er du i tvil, skriver du opp alle tillatte verdier før du teller.

• Å la l være lik n. Den største tillatte l er n − 1, så det finnes ingen 1p- eller 2d-orbital.
• Å telle mₗ-verdier fra 0 til l i stedet for fra −l til +l, noe som gir for få orbitaler.
• Å telle orbitaler når spørsmålet gjelder elektroner, eller omvendt. Hver orbital rommer to elektroner.
• Å gi mₛ verdien 0 eller 1. Spinnet er bare +½ eller −½.
• Å bruke n − l − 1 som det totale antallet noder. Den formelen teller bare radielle noder; totalen er n − 1.
• Å behandle 90 %-grenseflaten som en skarp kant. Elektrontettheten avtar jevnt og har ingen skarp grense.