Lys og atomspektre: fotoner, energinivåer og hydrogenlinjene

Bølgelengde, frekvens og lysets fart

Lys er en elektromagnetisk bølge. Bølgelengden λ er avstanden mellom bølgetoppene, og frekvensen ν er antallet bølgetopper som passerer et punkt hvert sekund, målt i hertz (s⁻¹). I vakuum beveger alle bølgelengder seg med samme fart, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, en eksakt definert verdi oppført av NIST. De tre størrelsene henger sammen gjennom c = λν, så bølgelengde og frekvens er omvendt proporsjonale: halverer du den ene, dobles den andre.

Synlig lys går fra omtrent 400 nm (fiolett) til 700 nm (rødt). Ultrafiolett lys har kortere bølgelengder og høyere frekvenser; infrarødt har lengre bølgelengder og lavere frekvenser. Gjør om nanometer til meter før du bruker c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Fotonenergi og den fotoelektriske effekten

Lys absorberes og sendes ut i pakker som kalles fotoner. Hvert foton har energien E = hν = hc/λ, der h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s er Plancks konstant, som også er eksakt. Kortere bølgelengde betyr mer energi per foton. Sterkere lys med samme farge betyr flere fotoner, ikke mer energirike fotoner.

Regneeksempel 1. Det gule lyset fra en natriumlampe ligger nær 589.0 nm. Frekvensen er ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Ett foton har energien E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Multipliser med Avogadros tall, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, for å få et mol fotoner: 2.031 × 10⁵ J, eller 203.1 kJ/mol. Det er sammenlignbart med energien i en svak kjemisk binding, og derfor kan synlig og ultrafiolett lys drive fotokjemiske reaksjoner.

Den fotoelektriske effekten viser fotonbildet direkte. Lys slår løs elektroner fra et metall bare hvis hvert foton har minst like mye energi som metallets løsrivelsesarbeid, Φ. Eventuell overskuddsenergi blir elektronets kinetiske energi: KEmax = hν − Φ.

Regneeksempel 2. Anta at en metalloverflate har en grensebølgelengde på 540 nm (en oppgitt verdi for denne oppgaven). Løsrivelsesarbeidet er Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Fiolett lys ved 405 nm har fotoner på 4.905 × 10⁻¹⁹ J, så KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Avrundet til tre gjeldende siffer er det 1.23 × 10⁻¹⁹ J, eller 0.765 eV. Rødt lys ved 650 nm slår ikke løs noen elektroner, uansett hvor sterkt det er, fordi hvert foton bare har 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Hvorfor atomer gir linjespektre i stedet for regnbuer

Et varmt fast stoff, som en glødetråd i en lampe, sender ut et kontinuerlig spekter. En varm gass av atomer ved lavt trykk sender bare ut bestemte bølgelengder. Elektroner i et atom kan bare befinne seg på bestemte energinivåer. Når et elektron faller fra et høyere nivå til et lavere, sender atomet ut ett enkelt foton med energi lik avstanden mellom nivåene: ΔE = hν. Fordi bare bestemte avstander finnes, opptrer bare bestemte bølgelengder.

Absorpsjon er det motsatte. Send hvitt lys gjennom en kald gass, så fjerner atomene nøyaktig de bølgelengdene som svarer til sprangene deres oppover, og etterlater mørke linjer i et ellers kontinuerlig spekter. Et sprang mellom de samme to nivåene har samme bølgelengde enten atomet absorberer eller sender ut. Hvert grunnstoff har sitt unike sett av nivåavstander, så spektre identifiserer grunnstoffer i flammer, lamper og fjerne stjerner.

Energinivåene i hydrogen og Rydberg-likningen

For et atom med ett elektron følger energinivåene en enkel formel. OpenStax Chemistry 2e (avsnitt 6.2) gir Eₙ = −kZ²/n², med k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z kjerneladningen og n = 1, 2, 3, …. Energien er negativ fordi det bundne elektronet har lavere energi enn et fritt elektron i ro, som er satt til null. Når n øker, tettes nivåene sammen mot null.

Fotonet som sendes ut når elektronet faller fra nᵢ til en lavere n_f, har energien ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Deler du på hc, får du Rydberg-likningen for hydrogen, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), med R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Regneeksempel 3. Finn bølgelengden til hydrogenlinjen for n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, med ett ekstra siffer fram til slutten. Med hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m blir λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, eller 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data oppgir denne røde linjen til 656.3 nm i luft. Forskjellen i siste siffer kommer av avrundingen av k og av at lyset går litt langsommere i luft.

Regneeksempel 4. Ioniseringsenergien til hydrogen er energien som trengs for å flytte elektronet fra n = 1 til n = ∞, og den er lik k selv: 2.179 × 10⁻¹⁸ J per atom. Per mol blir det (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, eller 1312 kJ/mol. Verdien i NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, tilsvarer 1312.0 kJ/mol.

Lyman-, Balmer- og Paschen-serien

Linjer som ender på det samme lavere nivået, danner en serie. I alle seriene kommer linjene tettere sammen når nᵢ øker, og de nærmer seg en seriegrense, der elektronet starter som fritt.

• Lyman-serien, som ender i n = 1: ultrafiolett. Linjen 2 → 1 ligger ved 121.6 nm, og seriegrensen er nær 91.2 nm.
• Balmer-serien, som ender i n = 2: de fire synlige hydrogenlinjene, ved omtrent 656, 486, 434 og 410 nm for nᵢ = 3, 4, 5 og 6. Seriegrensen er nær 365 nm, i det ultrafiolette området.
• Paschen-serien, som ender i n = 3: infrarød. Linjen 4 → 3 ligger nær 1875 nm.

Feil med spektre og raske kontroller

De fleste feil i disse oppgavene er enhetsfeil eller fortegnsfeil. To kontroller fanger de fleste: et synlig foton bør ha omtrent 2.8 til 5.0 × 10⁻¹⁹ J, og en større energiavstand må gi en kortere bølgelengde.

• Å la bølgelengden stå i nanometer når man bruker c = λν eller E = hc/λ. Gjør først om til meter.
• Å bruke Rydberg-likningen med nᵢ og n_f byttet om, noe som gir en negativ bølgelengde.
• Å vente at alle hydrogenlinjer er synlige. Hele Lyman-serien er ultrafiolett, og Paschen-serien er infrarød.
• Å tro at sterkere lys slår løs raskere fotoelektroner. Intensiteten endrer antallet elektroner, ikke den maksimale energien deres.
• Å bruke Eₙ = −kZ²/n² på helium eller et annet atom med mer enn ett elektron. Den gjelder bare for partikler med ett elektron, som H, He⁺ og Li²⁺.
• Å glemme Avogadros tall når man regner om en energi per foton til kJ/mol, eller å bruke det to ganger.

Hva Bohrs modell forklarer, og hvor den slutter å virke

Bohrs modell av hydrogenatomet, med elektronet i sirkelbaner med fast energi, gjengir hydrogenlinjene og Z²-skaleringen for ioner som He⁺. For He⁺ er energien for hver hydrogenovergang fire ganger større, så linjen 2 → 1 ligger nær 30.4 nm.

Modellen svikter for atomer med to eller flere elektroner, fordi frastøtningen mellom elektronene endrer nivåene. Den framstiller også elektronene i bestemte baner, noe kvantemekanikken utelukker. Moderne teori beholder Bohrs energinivåer for hydrogen, men erstatter banene med orbitaler, som beskriver hvor det er sannsynlig å finne et elektron.