क्वांटम संख्या आणि कक्षक: नियम, मोजणी आणि आकार

तरंग म्हणून इलेक्ट्रॉन: द ब्रॉग्ली तरंगलांबी

1924 मध्ये द ब्रॉग्लीने मांडले की कोणत्याही गतिमान कणाला तरंगलांबी λ = h/(mv) असते, जेथे h प्लँक स्थिरांक, m वस्तुमान आणि v वेग आहे. रोजच्या वस्तूंसाठी तरंगलांबी लक्षात येण्यासाठी फारच लहान असते. 40.0 m/s वेगाने जाणाऱ्या 0.145 kg बेसबॉलचा λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m असतो. 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) वस्तुमानाच्या इलेक्ट्रॉनसाठी तरंगलांबी अणूच्या आकाराशी तुलनीय असते.

सोडवलेले उदाहरण 1. 2.188 × 10⁶ m/s वेगाने जाणाऱ्या इलेक्ट्रॉनचा λ = h/(mv) असतो. CODATA मूल्ये h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s आणि m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg सह, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, म्हणजे 0.3324 nm. हाच वेग बोरचे प्रतिमान हायड्रोजनच्या सर्वात खालच्या कक्षेतील इलेक्ट्रॉनला देते, जिची त्रिज्या बोर त्रिज्या आहे, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). कक्षेचा परीघ 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m आहे, म्हणून त्याभोवती इलेक्ट्रॉनची एक तरंगलांबी बसते, 0.02% पेक्षा चांगल्या जुळणीसह. इलेक्ट्रॉन तरंगेला स्वतःला रद्द न करता आपल्या जागेत बसावे लागते तेव्हा पुंजित ऊर्जा पातळ्या मिळतात, जसे गिटारची तार फक्त विशिष्ट वारंवारतांवरच कंप पावू शकते.

अनिश्चितता आणि निश्चित कक्षांचा अंत

हायझेनबर्गचे अनिश्चितता तत्त्व स्थान आणि संवेग एकत्र किती नेमकेपणाने कळू शकतात यावर मर्यादा घालते: Δx·Δp ≥ ħ/2, जेथे ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

सोडवलेले उदाहरण 2. इलेक्ट्रॉनला 1.0 × 10⁻¹⁰ m रुंद, म्हणजे साधारण अणूच्या आकाराच्या, प्रदेशात बंदिस्त करा. मग Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, आणि Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. वेगातील अनिश्चितता स्वतः वेगाचा लक्षणीय अंश आहे, म्हणून ग्रहाच्या कक्षेसारखा निश्चित मार्ग अणूतील इलेक्ट्रॉनसाठी अर्थहीन आहे.

पुंजयामिकी मार्गाच्या जागी तरंगफलन, ψ, आणते. त्याचा वर्ग, ψ², ही संभाव्यता घनता आहे: एखाद्या लहान प्रदेशाच्या आकारमानाने गुणल्यास ती तेथे इलेक्ट्रॉन सापडण्याची संभाव्यता देते. कक्षक म्हणजे एका इलेक्ट्रॉनसाठीचे तरंगफलन, आणि कक्षकांची परिचित चित्रे म्हणजे त्या संभाव्यतेचा बहुतांश भाग, अनेकदा 90%, वेढणारे पृष्ठभाग.

n, l, mₗ आणि mₛ ची परवानगी असलेली मूल्ये

हायड्रोजन अणूसाठी तरंग समीकरण सोडवल्यास तीन क्वांटम संख्या मिळतात, आणि प्रत्येक आधीच्या संख्येने मर्यादित असते. चौथी संख्या इलेक्ट्रॉनच्या प्रचक्रणाचे वर्णन करते. हे निर्बंध हेच संपूर्ण गमक आहे.

• मुख्य क्वांटम संख्या n = 1, 2, 3, …. ती कवच ठरवते आणि, हायड्रोजनमध्ये, ऊर्जा. मोठा n म्हणजे मोठा, अधिक ऊर्जेचा कक्षक.
• कोनीय संवेग क्वांटम संख्या l = 0, 1, …, n − 1. ती उपकवच आणि आकार ठरवते: l = 0, 1, 2, 3 म्हणजे s, p, d, f.
• चुंबकीय क्वांटम संख्या mₗ = −l, …, 0, …, +l, जी 2l + 1 मूल्ये देते. ती अवकाशातील कक्षकाची दिशा ठरवते.
• प्रचक्रण क्वांटम संख्या mₛ = +½ किंवा −½. ती इतर तीन संख्यांवर अवलंबून नसते.

सोडवलेले उदाहरण: क्वांटम संख्यांचे सहा संच तपासणे

संच (n, l, mₗ, mₛ) तपासण्यासाठी प्रत्येक संख्या आधीच्या संख्येशी क्रमाने पडताळा. पहिल्या उल्लंघनावर थांबा.

(3, 3, 0, +½) ला परवानगी नाही: l जास्तीत जास्त n − 1 = 2 असला पाहिजे. (4, 2, −3, −½) ला परवानगी नाही: l = 2 असताना mₗ फक्त −2 ते +2 पर्यंत असतो. (3, 2, 1, 0) ला परवानगी नाही: mₛ +½ किंवा −½ असला पाहिजे, कधीही 0 नाही. (2, 1, −1, −½) ला परवानगी आहे आणि तो 2p कक्षकातील इलेक्ट्रॉनचे वर्णन करतो. (5, 0, 0, +½) ला परवानगी आहे आणि तो 5s इलेक्ट्रॉनचे वर्णन करतो. (4, 3, −3, +½) ला परवानगी आहे आणि तो 4f इलेक्ट्रॉनचे वर्णन करतो.

परवानगी असलेल्या संचावरून कक्षकाचे नाव देण्यासाठी n लिहा आणि त्यापुढे l चे अक्षर लिहा. mₗ चे मूल्य उपकवचातील एक कक्षक निवडते, पण या संकेतलेखनात त्याचे नाव बदलत नाही.

निर्बंधाखाली कक्षक आणि इलेक्ट्रॉन मोजणे

आधी परवानगी असलेली l मूल्ये, मग प्रत्येकासाठी mₗ मूल्ये लिहिली आणि त्यानंतरच निर्बंध लावला तर मोजणीचे प्रश्न नित्याचे होतात. प्रत्येक कक्षक, म्हणजे प्रत्येक परवानगी असलेले (n, l, mₗ) संयोजन, दोन इलेक्ट्रॉन धरतो, प्रत्येक प्रचक्रणाचा एक.

मुख्य क्वांटम संख्या n असलेल्या कवचात n² कक्षक आणि 2n² इलेक्ट्रॉन असतात. n = 4 साठी l हा 0, 1, 2 किंवा 3 असू शकतो, ज्यामुळे 1 + 3 + 5 + 7 = 16 कक्षक आणि 32 इलेक्ट्रॉन मिळतात.

सोडवलेले उदाहरण 3. अणूतील किती इलेक्ट्रॉनांचे n = 3 आणि mₗ = +1 असू शकतात? n = 3 साठी l ची मूल्ये 0, 1 आणि 2 आहेत. mₗ = +1 फक्त l ≥ 1 असतानाच शक्य आहे, म्हणून असा एक कक्षक 3p मध्ये आणि एक 3d मध्ये आहे: दोन कक्षक, चार इलेक्ट्रॉन. किती इलेक्ट्रॉनांचे n = 5 आणि mₛ = +½ असू शकतात? कवच 5 मध्ये 5² = 25 कक्षक आहेत, प्रत्येकात एक +½ इलेक्ट्रॉन, म्हणून 25. किती इलेक्ट्रॉनांचे n = 4 आणि l = 2 असू शकतात? ते 4d उपकवच आहे: 5 कक्षक आणि 10 इलेक्ट्रॉन.

कक्षकांचे आकार आणि नोड मोजणे

नोड म्हणजे अशी जागा जेथे ψ, आणि म्हणून इलेक्ट्रॉन सापडण्याची संभाव्यता, शून्य असते. कक्षकात एकूण n − 1 नोड असतात. त्यापैकी l कोनीय नोड असतात, म्हणजे केंद्रकातून जाणारी प्रतले किंवा शंकू, आणि उरलेले n − l − 1 त्रिज्यीय नोड असतात, म्हणजे निश्चित अंतरांवरील गोलाकार कवचे. OpenStax Chemistry 2e (विभाग 6.3) त्रिज्यीय-नोडचा नियम देते.

s कक्षक (l = 0) गोलाकार असतात आणि त्यांना कोनीय नोड नसतात, म्हणून 2s कक्षकाला एक त्रिज्यीय नोड आणि 3s कक्षकाला दोन असतात. p कक्षकांना (l = 1) केंद्रकाच्या विरुद्ध बाजूंना दोन पाकळ्या असतात आणि त्यांच्यामध्ये एक नोडीय प्रतल असते; तिन्ही कक्षकांना ते ज्या अक्षाच्या दिशेने असतात त्यानुसार pₓ, p_y आणि p_z अशी नावे दिली जातात. d कक्षकांना (l = 2) दोन कोनीय नोड असतात. त्यांपैकी चारांना चार पाकळ्या असतात; पाचव्या, d_z², ला z अक्षावर दोन पाकळ्या आणि मध्यभागी एक कडे असते.

सोडवलेले उदाहरण 4. 3p कक्षकाला 3 − 1 − 1 = 1 त्रिज्यीय नोड आणि 1 कोनीय नोड असतो. 4d कक्षकाला 1 त्रिज्यीय नोड आणि 2 कोनीय नोड, एकूण 3, असतात. 3d कक्षकाला त्रिज्यीय नोड नसतो, आणि 6s कक्षकाला 5 असतात.

एकाच कवचातील कक्षकांची ऊर्जा वेगळी असते तेव्हा

हायड्रोजनमध्ये ऊर्जा फक्त n वर अवलंबून असते, म्हणून 3s, 3p आणि 3d ची ऊर्जा समान असते. एकापेक्षा जास्त इलेक्ट्रॉन असलेल्या अणूंमध्ये इतर इलेक्ट्रॉन केंद्रकाला असमानपणे आवरण देतात. s इलेक्ट्रॉन त्याच कवचातील p किंवा d इलेक्ट्रॉनपेक्षा केंद्रकाच्या अधिक जवळ शिरतो, केंद्रकीय प्रभार अधिक अनुभवतो आणि कमी ऊर्जेचा असतो. परिणामी कवचात s < p < d < f असे विभाजन होते, जे इलेक्ट्रॉन संरूपणांच्या मार्गदर्शनात समाविष्ट असलेला भरण क्रम ठरवते.

एकाच उपकवचातील कक्षक, जसे तीन 2p कक्षक, एकाकी अणूमध्ये समान ऊर्जेचे राहतात. त्यांना अपभ्रष्ट म्हणतात. रेणू किंवा स्फटिकातील सभोवतालचे अणू ही अपभ्रष्टता मोडू शकतात.

तपासायच्या क्वांटम-संख्यांच्या चुका

जवळजवळ प्रत्येक चूक मूल्ये लिहून काढण्याची पायरी वगळल्यामुळे होते. शंका असेल तेव्हा मोजण्यापूर्वी परवानगी असलेले प्रत्येक मूल्य लिहून काढा.

• l ला n इतका होऊ देणे. परवानगी असलेला सर्वात मोठा l म्हणजे n − 1, म्हणून 1p किंवा 2d कक्षक नसतो.
• mₗ मूल्ये −l ते +l ऐवजी 0 ते l पर्यंत मोजणे, ज्यामुळे कक्षक कमी मोजले जातात.
• प्रश्न इलेक्ट्रॉन विचारत असताना कक्षक मोजणे, किंवा उलट. प्रत्येक कक्षक दोन इलेक्ट्रॉन धरतो.
• mₛ ला 0 किंवा 1 मूल्य देणे. प्रचक्रण फक्त +½ किंवा −½ असते.
• n − l − 1 ला एकूण नोडची संख्या म्हणून वापरणे. ते सूत्र फक्त त्रिज्यीय नोड मोजते; एकूण संख्या n − 1 आहे.
• 90% सीमा पृष्ठभागाला कठीण कडा मानणे. इलेक्ट्रॉन घनता हळूहळू क्षीण होते आणि तिला ठळक सीमा नसते.