Квантни броеви и орбитали: правила, броења и облици

Електроните како бранови: де Брољевата бранова должина

Во 1924 година де Брољ предложил дека секоја честичка во движење има бранова должина λ = h/(mv), каде h е Планковата константа, m масата, а v брзината. За секојдневните предмети брановата должина е премногу мала за да се забележи. Бејзбол топка од 0.145 kg при 40.0 m/s има λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. За електрон, со маса од 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), брановата должина е споредлива со големината на атомот.

Решен пример 1. Електрон што се движи со 2.188 × 10⁶ m/s има λ = h/(mv). Со вредностите од CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s и m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, или 0.3324 nm. Оваа брзина е онаа што Боровиот модел му ја доделува на електронот во најниската орбита на водородот, чиј радиус е Боровиот радиус, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Обиколката на орбитата е 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, па една бранова должина на електронот се сместува околу неа, со совпаѓање подобро од 0.02%. Квантизираните енергетски нивоа се она што го добивате кога електронскиот бран мора да се смести во својот простор без самиот да се поништи, слично како што жицата на гитара може да вибрира само на одредени фреквенции.

Неопределеност и крајот на фиксните орбити

Хајзенберговиот принцип на неопределеност поставува граница на тоа колку добро можат заедно да се знаат положбата и импулсот: Δx·Δp ≥ ħ/2, каде ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Решен пример 2. Ограничете електрон во област широка 1.0 × 10⁻¹⁰ m, приближно колку големината на атомот. Тогаш Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, а Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Неопределеноста во брзината е значителен дел од самата брзина, па определена патека, како орбитата на планета, нема смисла за електрон во атом.

Квантната механика ја заменува патеката со бранова функција, ψ. Нејзиниот квадрат, ψ², е густината на веројатноста: помножен со волуменот на мала област, ја дава веројатноста електронот да се најде таму. Орбиталата е бранова функција за еден електрон, а познатите слики на орбиталите се површини што го опфаќаат најголемиот дел од таа веројатност, често 90%.

Дозволени вредности на n, l, mₗ и mₛ

Решавањето на брановата равенка за атомот на водород дава три квантни броеви, од кои секој е ограничен од претходниот. Четвртиот го опишува спинот на електронот. Ограничувањата се суштината на целата работа.

• Главен квантен број n = 1, 2, 3, …. Тој ја определува обвивката и, кај водородот, енергијата. Поголем n значи поголема орбитала со повисока енергија.
• Орбитален квантен број l = 0, 1, …, n − 1. Тој ги определува потподнивото и обликот: l = 0, 1, 2, 3 се s, p, d, f.
• Магнетен квантен број mₗ = −l, …, 0, …, +l, што дава 2l + 1 вредности. Тој ја определува ориентацијата на орбиталата во просторот.
• Спински квантен број mₛ = +½ или −½. Тој не зависи од другите три.

Решен пример: проверка на шест групи квантни броеви

За да проверите група (n, l, mₗ, mₛ), проверете го секој број во однос на претходниот, по ред. Застанете на првото прекршување.

(3, 3, 0, +½) не е дозволена: l мора да биде најмногу n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) не е дозволена: со l = 2, mₗ се движи само од −2 до +2. (3, 2, 1, 0) не е дозволена: mₛ мора да биде +½ или −½, никогаш 0. (2, 1, −1, −½) е дозволена и опишува електрон во 2p орбитала. (5, 0, 0, +½) е дозволена и опишува 5s електрон. (4, 3, −3, +½) е дозволена и опишува 4f електрон.

За да ја именувате орбиталата од дозволена група, напишете n проследено со буквата за l. Вредноста на mₗ избира една орбитала во потподнивото, но не го менува нејзиното име во оваа нотација.

Броење орбитали и електрони при ограничување

Прашањата за броење стануваат рутински ако ги наведете дозволените вредности на l, потоа вредностите на mₗ за секоја од нив, и дури тогаш го примените ограничувањето. Секоја орбитала, односно секоја дозволена комбинација (n, l, mₗ), собира два електрони, по еден со секој спин.

Обвивка со главен квантен број n содржи n² орбитали и 2n² електрони. За n = 4, l може да биде 0, 1, 2 или 3, што дава 1 + 3 + 5 + 7 = 16 орбитали и 32 електрони.

Решен пример 3. Колку електрони во атомот можат да имаат n = 3 и mₗ = +1? Вредностите на l за n = 3 се 0, 1 и 2. mₗ = +1 е можно само кога l ≥ 1, па има една таква орбитала во 3p и една во 3d: две орбитали, четири електрони. Колку можат да имаат n = 5 и mₛ = +½? Обвивката 5 има 5² = 25 орбитали, секоја со по еден електрон +½, значи 25. Колку можат да имаат n = 4 и l = 2? Тоа е потподнивото 4d: 5 орбитали и 10 електрони.

Облици на орбиталите и броење јазли

Јазолот е место каде што ψ, а со тоа и веројатноста да се најде електронот, е нула. Орбиталата има вкупно n − 1 јазли. Од нив, l се аголни јазли, рамнини или конуси што минуваат низ јадрото, а преостанатите n − l − 1 се радијални јазли, сферни обвивки на фиксни растојанија. OpenStax Chemistry 2e (дел 6.3) го дава правилото за радијални јазли.

s-орбиталите (l = 0) се сферни, без аголни јазли, па 2s орбиталата има еден радијален јазол, а 3s орбиталата има два. p-орбиталите (l = 1) имаат два дела од спротивните страни на јадрото со една јазлеста рамнина меѓу нив; трите се означуваат pₓ, p_y и p_z според оската долж која се насочени. d-орбиталите (l = 2) имаат два аголни јазла. Четири од нив имаат по четири дела; петтата, d_z², има два дела долж оската z и прстен околу средината.

Решен пример 4. 3p орбиталата има 3 − 1 − 1 = 1 радијален јазол и 1 аголен јазол. 4d орбиталата има 1 радијален јазол и 2 аголни јазла, вкупно 3. 3d орбиталата нема радијални јазли, а 6s орбиталата има 5.

Кога орбиталите во иста обвивка се разликуваат по енергија

Кај водородот енергијата зависи само од n, па 3s, 3p и 3d имаат иста енергија. Кај атомите со повеќе од еден електрон, другите електрони нерамномерно го засенчуваат јадрото. s-електронот продира поблиску до јадрото од p- или d-електрон од истата обвивка, чувствува поголем дел од полнежот на јадрото и има пониска енергија. Резултатот е цепењето s < p < d < f во рамките на обвивката, кое го определува редоследот на пополнување обработен во водичот за електронски конфигурации.

Орбиталите во исто потподниво, како трите 2p орбитали, остануваат еднакви по енергија во изолиран атом. Тие се нарекуваат дегенерирани. Околните атоми во молекула или кристал можат да ја нарушат таа дегенерација.

Грешки со квантните броеви што треба да ги проверите

Речиси секоја грешка доаѓа од прескокнување на чекорот со набројување. Кога се сомневате, запишете ја секоја дозволена вредност пред да броите.

• Дозволување l да биде еднакво на n. Најголемото дозволено l е n − 1, па не постои 1p или 2d орбитала.
• Броење на вредностите на mₗ од 0 до l наместо од −l до +l, што дава премалку орбитали.
• Броење орбитали кога прашањето бара електрони, или обратно. Секоја орбитала собира два електрони.
• Давање на mₛ вредност 0 или 1. Спинот е само +½ или −½.
• Користење на n − l − 1 како вкупен број јазли. Таа формула ги брои само радијалните јазли; вкупниот број е n − 1.
• Третирање на граничната површина од 90% како остар раб. Електронската густина постепено опаѓа и нема остра граница.