ເລກຄວອນຕຳ ແລະ ອໍບີຕອນ: ກົດເກນ, ການນັບ ແລະ ຮູບຮ່າງ

ເອເລັກຕຣອນເປັນຄື້ນ: ຄວາມຍາວຄື້ນເດີບຣອຍ

ໃນປີ 1924 ເດີບຣອຍສະເໜີວ່າອະນຸພາກໃດໆທີ່ເຄື່ອນທີ່ມີຄວາມຍາວຄື້ນ λ = h/(mv), ເຊິ່ງ h ແມ່ນຄ່າຄົງທີ່ຂອງພລັງ, m ແມ່ນມວນ ແລະ v ແມ່ນຄວາມໄວ. ສຳລັບວັດຖຸໃນຊີວິດປະຈຳວັນ ຄວາມຍາວຄື້ນນ້ອຍເກີນກວ່າຈະສັງເກດເຫັນ. ລູກເບສບອນ 0.145 kg ທີ່ 40.0 m/s ມີ λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. ສຳລັບເອເລັກຕຣອນ, ທີ່ມີມວນ 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), ຄວາມຍາວຄື້ນທຽບໄດ້ກັບຂະໜາດຂອງອະຕອມ.

ຕົວຢ່າງທີ່ແກ້ແລ້ວ 1. ເອເລັກຕຣອນທີ່ເຄື່ອນທີ່ດ້ວຍ 2.188 × 10⁶ m/s ມີ λ = h/(mv). ດ້ວຍຄ່າ CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s ແລະ m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, ຫຼື 0.3324 nm. ຄວາມໄວນີ້ແມ່ນຄວາມໄວທີ່ແບບຈຳລອງຂອງໂບກຳນົດໃຫ້ເອເລັກຕຣອນໃນວົງໂຄຈອນຕ່ຳສຸດຂອງໄຮໂດຣເຈນ, ເຊິ່ງມີລັດສະໝີເທົ່າກັບລັດສະໝີໂບ, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). ເສັ້ນຮອບວົງຂອງວົງໂຄຈອນແມ່ນ 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, ສະນັ້ນຄວາມຍາວຄື້ນຂອງເອເລັກຕຣອນໜຶ່ງຄື້ນພໍດີກັບມັນ, ໂດຍກົງກັນດີກວ່າ 0.02%. ລະດັບພະລັງງານທີ່ເປັນຄວອນຕຳຄືສິ່ງທີ່ທ່ານໄດ້ເມື່ອຄື້ນເອເລັກຕຣອນຕ້ອງພໍດີກັບພື້ນທີ່ຂອງມັນໂດຍບໍ່ຫັກລ້າງຕົວເອງ, ຄືກັບສາຍກີຕາທີ່ສັ່ນໄດ້ສະເພາະບາງຄວາມຖີ່.

ຄວາມບໍ່ແນ່ນອນ ແລະ ຈຸດຈົບຂອງວົງໂຄຈອນທີ່ແນ່ນອນ

ຫຼັກຄວາມບໍ່ແນ່ນອນຂອງໄຮເຊນເບີກກຳນົດຂີດຈຳກັດວ່າຕຳແໜ່ງ ແລະ ໂມເມັນຕຳຈະຮູ້ໄດ້ພ້ອມກັນດີປານໃດ: Δx·Δp ≥ ħ/2, ເຊິ່ງ ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

ຕົວຢ່າງທີ່ແກ້ແລ້ວ 2. ກັກເອເລັກຕຣອນໄວ້ໃນພື້ນທີ່ກວ້າງ 1.0 × 10⁻¹⁰ m, ປະມານຂະໜາດຂອງອະຕອມ. ສະນັ້ນ Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, ແລະ Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. ຄວາມບໍ່ແນ່ນອນຂອງຄວາມໄວເປັນສ່ວນທີ່ໃຫຍ່ພໍສົມຄວນຂອງຄວາມໄວເອງ, ສະນັ້ນເສັ້ນທາງທີ່ແນ່ນອນ, ຄືວົງໂຄຈອນຂອງດາວເຄາະ, ຈຶ່ງບໍ່ມີຄວາມໝາຍສຳລັບເອເລັກຕຣອນໃນອະຕອມ.

ກົນສາດຄວອນຕຳແທນເສັ້ນທາງດ້ວຍຟັງຊັນຄື້ນ, ψ. ກຳລັງສອງຂອງມັນ, ψ², ແມ່ນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມນ່າຈະເປັນ: ເມື່ອຄູນດ້ວຍປະລິມານຂອງພື້ນທີ່ນ້ອຍໆ, ມັນໃຫ້ຄວາມນ່າຈະເປັນທີ່ຈະພົບເອເລັກຕຣອນຢູ່ທີ່ນັ້ນ. ອໍບີຕອນແມ່ນຟັງຊັນຄື້ນຂອງເອເລັກຕຣອນໜຶ່ງໂຕ, ແລະ ຮູບອໍບີຕອນທີ່ຄຸ້ນເຄີຍແມ່ນໜ້າຜິວທີ່ຫຸ້ມຄວາມນ່າຈະເປັນສ່ວນໃຫຍ່ນັ້ນໄວ້, ມັກແມ່ນ 90%.

ຄ່າທີ່ອະນຸຍາດຂອງ n, l, mₗ ແລະ mₛ

ການແກ້ສົມຜົນຄື້ນສຳລັບອະຕອມໄຮໂດຣເຈນໃຫ້ເລກຄວອນຕຳສາມຕົວ, ແຕ່ລະຕົວຖືກຈຳກັດໂດຍຕົວກ່ອນໜ້າ. ຕົວທີສີ່ອະທິບາຍສະປິນຂອງເອເລັກຕຣອນ. ຂໍ້ຈຳກັດເຫຼົ່ານີ້ຄືຫົວໃຈຂອງເລື່ອງທັງໝົດ.

• ເລກຄວອນຕຳຫຼັກ n = 1, 2, 3, …. ມັນກຳນົດຊັ້ນພະລັງງານ ແລະ, ໃນໄຮໂດຣເຈນ, ກຳນົດພະລັງງານ. n ທີ່ໃຫຍ່ຂຶ້ນໝາຍເຖິງອໍບີຕອນທີ່ໃຫຍ່ຂຶ້ນ ແລະ ມີພະລັງງານສູງຂຶ້ນ.
• ເລກຄວອນຕຳໂມເມັນຕຳເຊີງມຸມ l = 0, 1, …, n − 1. ມັນກຳນົດຊັ້ນຍ່ອຍ ແລະ ຮູບຮ່າງ: l = 0, 1, 2, 3 ແມ່ນ s, p, d, f.
• ເລກຄວອນຕຳແມ່ເຫຼັກ mₗ = −l, …, 0, …, +l, ໃຫ້ 2l + 1 ຄ່າ. ມັນກຳນົດທິດທາງຂອງອໍບີຕອນໃນອາວະກາດ.
• ເລກຄວອນຕຳສະປິນ mₛ = +½ ຫຼື −½. ມັນບໍ່ຂຶ້ນກັບສາມຕົວອື່ນ.

ຕົວຢ່າງທີ່ແກ້ແລ້ວ: ການທົດສອບເລກຄວອນຕຳຫົກຊຸດ

ເພື່ອທົດສອບຊຸດ (n, l, mₗ, mₛ), ໃຫ້ກວດແຕ່ລະຕົວກັບຕົວກ່ອນໜ້າ, ຕາມລຳດັບ. ຢຸດທີ່ການລະເມີດທຳອິດ.

(3, 3, 0, +½) ບໍ່ອະນຸຍາດ: l ຕ້ອງບໍ່ເກີນ n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) ບໍ່ອະນຸຍາດ: ເມື່ອ l = 2, mₗ ມີຄ່າພຽງແຕ່ −2 ເຖິງ +2. (3, 2, 1, 0) ບໍ່ອະນຸຍາດ: mₛ ຕ້ອງເປັນ +½ ຫຼື −½, ບໍ່ເຄີຍເປັນ 0. (2, 1, −1, −½) ອະນຸຍາດ ແລະ ອະທິບາຍເອເລັກຕຣອນໃນອໍບີຕອນ 2p. (5, 0, 0, +½) ອະນຸຍາດ ແລະ ອະທິບາຍເອເລັກຕຣອນ 5s. (4, 3, −3, +½) ອະນຸຍາດ ແລະ ອະທິບາຍເອເລັກຕຣອນ 4f.

ເພື່ອຕັ້ງຊື່ອໍບີຕອນຈາກຊຸດທີ່ອະນຸຍາດ, ໃຫ້ຂຽນ n ຕາມດ້ວຍຕົວອັກສອນຂອງ l. ຄ່າຂອງ mₗ ເລືອກອໍບີຕອນໜຶ່ງໃນຊັ້ນຍ່ອຍ ແຕ່ບໍ່ປ່ຽນຊື່ຂອງມັນໃນການຂຽນແບບນີ້.

ການນັບອໍບີຕອນ ແລະ ເອເລັກຕຣອນພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂ

ຄຳຖາມການນັບຈະກາຍເປັນເລື່ອງປົກກະຕິ ຖ້າທ່ານລຽງຄ່າ l ທີ່ອະນຸຍາດ, ແລ້ວຄ່າ mₗ ຂອງແຕ່ລະອັນ, ແລະ ຈຶ່ງນຳໃຊ້ເງື່ອນໄຂຫຼັງຈາກນັ້ນ. ແຕ່ລະອໍບີຕອນ, ໝາຍເຖິງແຕ່ລະຊຸດ (n, l, mₗ) ທີ່ອະນຸຍາດ, ຈຸເອເລັກຕຣອນສອງໂຕ, ໂຕລະສະປິນ.

ຊັ້ນພະລັງງານທີ່ມີເລກຄວອນຕຳຫຼັກ n ມີ n² ອໍບີຕອນ ແລະ 2n² ເອເລັກຕຣອນ. ສຳລັບ n = 4, l ອາດເປັນ 0, 1, 2 ຫຼື 3, ໃຫ້ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ອໍບີຕອນ ແລະ 32 ເອເລັກຕຣອນ.

ຕົວຢ່າງທີ່ແກ້ແລ້ວ 3. ເອເລັກຕຣອນໃນອະຕອມຈັກໂຕທີ່ມີ n = 3 ແລະ mₗ = +1 ໄດ້? ຄ່າ l ສຳລັບ n = 3 ແມ່ນ 0, 1 ແລະ 2. mₗ = +1 ເປັນໄປໄດ້ສະເພາະເມື່ອ l ≥ 1, ສະນັ້ນມີອໍບີຕອນແບບນີ້ໜຶ່ງອັນໃນ 3p ແລະ ໜຶ່ງອັນໃນ 3d: ສອງອໍບີຕອນ, ສີ່ເອເລັກຕຣອນ. ຈັກໂຕທີ່ມີ n = 5 ແລະ mₛ = +½ ໄດ້? ຊັ້ນ 5 ມີ 5² = 25 ອໍບີຕອນ, ແຕ່ລະອັນມີເອເລັກຕຣອນ +½ ໜຶ່ງໂຕ, ສະນັ້ນແມ່ນ 25. ຈັກໂຕທີ່ມີ n = 4 ແລະ l = 2 ໄດ້? ນັ້ນຄືຊັ້ນຍ່ອຍ 4d: 5 ອໍບີຕອນ ແລະ 10 ເອເລັກຕຣອນ.

ຮູບຮ່າງອໍບີຕອນ ແລະ ການນັບໂນດ

ໂນດແມ່ນບ່ອນທີ່ ψ, ແລະ ດັ່ງນັ້ນຄວາມນ່າຈະເປັນທີ່ຈະພົບເອເລັກຕຣອນ, ເປັນສູນ. ອໍບີຕອນໜຶ່ງມີໂນດທັງໝົດ n − 1 ອັນ. ໃນນັ້ນ, l ອັນເປັນໂນດເຊີງມຸມ, ເຊິ່ງເປັນລະນາບ ຫຼື ກວຍທີ່ຜ່ານນິວເຄລຍ, ແລະ ອີກ n − l − 1 ອັນທີ່ເຫຼືອເປັນໂນດເຊີງລັດສະໝີ, ເຊິ່ງເປັນເປືອກຮູບຊົງກົມທີ່ໄລຍະຫ່າງຄົງທີ່. OpenStax Chemistry 2e (ພາກ 6.3) ໃຫ້ກົດຂອງໂນດເຊີງລັດສະໝີ.

ອໍບີຕອນ s (l = 0) ເປັນຮູບຊົງກົມ ແລະ ບໍ່ມີໂນດເຊີງມຸມ, ສະນັ້ນອໍບີຕອນ 2s ມີໂນດເຊີງລັດສະໝີໜຶ່ງອັນ ແລະ ອໍບີຕອນ 3s ມີສອງອັນ. ອໍບີຕອນ p (l = 1) ມີສອງກີບຢູ່ຄົນລະຂ້າງຂອງນິວເຄລຍ ໂດຍມີລະນາບໂນດໜຶ່ງອັນຢູ່ລະຫວ່າງກາງ; ທັງສາມອັນມີປ້າຍ pₓ, p_y ແລະ p_z ຕາມແກນທີ່ມັນຊີ້ໄປ. ອໍບີຕອນ d (l = 2) ມີໂນດເຊີງມຸມສອງອັນ. ສີ່ອັນໃນນັ້ນມີສີ່ກີບ; ອັນທີຫ້າ, d_z², ມີສອງກີບຕາມແກນ z ແລະ ວົງແຫວນອ້ອມກາງ.

ຕົວຢ່າງທີ່ແກ້ແລ້ວ 4. ອໍບີຕອນ 3p ມີໂນດເຊີງລັດສະໝີ 3 − 1 − 1 = 1 ອັນ ແລະ ໂນດເຊີງມຸມ 1 ອັນ. ອໍບີຕອນ 4d ມີໂນດເຊີງລັດສະໝີ 1 ອັນ ແລະ ໂນດເຊີງມຸມ 2 ອັນ, ລວມທັງໝົດ 3 ອັນ. ອໍບີຕອນ 3d ບໍ່ມີໂນດເຊີງລັດສະໝີ, ແລະ ອໍບີຕອນ 6s ມີ 5 ອັນ.

ເມື່ອອໍບີຕອນໃນຊັ້ນດຽວກັນມີພະລັງງານຕ່າງກັນ

ໃນໄຮໂດຣເຈນ, ພະລັງງານຂຶ້ນກັບ n ເທົ່ານັ້ນ, ສະນັ້ນ 3s, 3p ແລະ 3d ມີພະລັງງານເທົ່າກັນ. ໃນອະຕອມທີ່ມີເອເລັກຕຣອນຫຼາຍກວ່າໜຶ່ງໂຕ, ເອເລັກຕຣອນອື່ນບັງນິວເຄລຍບໍ່ສະເໝີກັນ. ເອເລັກຕຣອນ s ເຈາະເຂົ້າໃກ້ນິວເຄລຍຫຼາຍກວ່າເອເລັກຕຣອນ p ຫຼື d ໃນຊັ້ນດຽວກັນ, ຮັບຮູ້ປະຈຸນິວເຄລຍຫຼາຍກວ່າ ແລະ ມີພະລັງງານຕ່ຳກວ່າ. ຜົນທີ່ໄດ້ແມ່ນການແຍກ s < p < d < f ພາຍໃນຊັ້ນໜຶ່ງ, ເຊິ່ງກຳນົດລຳດັບການເຕີມທີ່ກວມໃນຄູ່ມືການຈັດລຽງເອເລັກຕຣອນ.

ອໍບີຕອນໃນຊັ້ນຍ່ອຍດຽວກັນ, ເຊັ່ນ ອໍບີຕອນ 2p ທັງສາມ, ມີພະລັງງານເທົ່າກັນໃນອະຕອມທີ່ຢູ່ໂດດດ່ຽວ. ພວກມັນຖືກເອີ້ນວ່າດີເຈນເນີເຣດ. ອະຕອມທີ່ຢູ່ອ້ອມຂ້າງໃນໂມເລກຸນ ຫຼື ຜລຶກສາມາດທຳລາຍຄວາມເປັນດີເຈນເນີເຣດນັ້ນໄດ້.

ຂໍ້ຜິດພາດເລື່ອງເລກຄວອນຕຳທີ່ຄວນກວດ

ເກືອບທຸກຂໍ້ຜິດພາດມາຈາກການຂ້າມຂັ້ນຕອນການລຽງລາຍການ. ເມື່ອບໍ່ແນ່ໃຈ, ໃຫ້ຂຽນທຸກຄ່າທີ່ອະນຸຍາດອອກມາກ່ອນນັບ.

• ໃຫ້ l ເທົ່າກັບ n. l ທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດທີ່ອະນຸຍາດແມ່ນ n − 1, ສະນັ້ນຈຶ່ງບໍ່ມີອໍບີຕອນ 1p ຫຼື 2d.
• ນັບຄ່າ mₗ ຈາກ 0 ເຖິງ l ແທນທີ່ຈະເປັນ −l ເຖິງ +l, ເຊິ່ງເຮັດໃຫ້ນັບອໍບີຕອນໄດ້ໜ້ອຍເກີນໄປ.
• ນັບອໍບີຕອນເມື່ອຄຳຖາມຖາມຫາເອເລັກຕຣອນ, ຫຼື ກົງກັນຂ້າມ. ແຕ່ລະອໍບີຕອນຈຸເອເລັກຕຣອນສອງໂຕ.
• ໃຫ້ mₛ ມີຄ່າ 0 ຫຼື 1. ສະປິນເປັນ +½ ຫຼື −½ ເທົ່ານັ້ນ.
• ໃຊ້ n − l − 1 ເປັນຈຳນວນໂນດທັງໝົດ. ສູດນັ້ນນັບສະເພາະໂນດເຊີງລັດສະໝີ; ຈຳນວນທັງໝົດແມ່ນ n − 1.
• ຖືໜ້າຜິວຂອບເຂດ 90% ເປັນຂອບທີ່ແຂງ. ຄວາມໜາແໜ້ນຂອງເອເລັກຕຣອນຄ່ອຍໆຈາງລົງ ແລະ ບໍ່ມີຂອບເຂດທີ່ຄົມຊັດ.