Cifre significative nei calcoli di chimica

Numeri misurati e numeri esatti

Un valore misurato è incerto perché ogni strumento ha un limite. Quando leggi una buretta graduata a passi di 0.1 mL, annoti le tacche certe e poi stimi una cifra in più tra di esse, per cui una lettura come 18.36 mL ha quattro cifre significative: tre cifre certe e una stimata. Scrivere 18.360 mL significherebbe dichiarare una precisione che la buretta non può offrire.

I numeri esatti non hanno incertezza di misura. Derivano dal conteggio (12 provette in un portaprovette), dalle definizioni (1 pollice è esattamente 2.54 cm e 1 L è esattamente 1000 mL) e dai coefficienti e dai pedici delle formule e delle equazioni chimiche. Considera i numeri esatti come dotati di un numero illimitato di cifre significative, così che non limitino mai la precisione di un risultato calcolato.

Contare le cifre, compresi gli zeri problematici

Le cifre diverse da zero sono sempre significative. Gli zeri sono significativi oppure no a seconda che riportino un'informazione misurata o servano solo a indicare la posizione della virgola decimale. Le regole seguenti coprono tutti i casi che incontrerai in chimica generale.

Gli zeri finali in un numero intero senza separatore decimale sono l'unico caso davvero ambiguo. Una massa scritta come 1200 g potrebbe essere nota con due, tre o quattro cifre significative. La notazione scientifica elimina l'ambiguità: 1.2 × 10³ g ne ha due, 1.20 × 10³ g ne ha tre e 1.200 × 10³ g ne ha quattro.

• Gli zeri tra cifre diverse da zero sono significativi: 30.506 g ne ha cinque.
• Gli zeri iniziali non sono mai significativi; servono solo a posizionare la virgola decimale: 0.004070 m ne ha quattro (4, 0, 7, 0).
• Gli zeri finali a destra della virgola decimale sono significativi: 2.500 mL ne ha quattro.
• Gli zeri finali in un numero intero senza separatore decimale sono ambigui; usa la notazione scientifica per indicare ciò che intendi.

Addizione e sottrazione: allinea le cifre decimali

Quando si sommano o si sottraggono grandezze, l'incertezza che conta è quella assoluta sull'ultima cifra decimale, non il numero di cifre significative. Arrotonda il risultato allo stesso numero di cifre decimali della misura che ne ha meno.

Esempio svolto 1. Riunisci tre porzioni di un solido pesate su bilance diverse: 12.6 g, 0.237 g e 105.42 g. La calcolatrice mostra 118.257 g. La prima massa è nota solo fino ai decimi, quindi la somma è nota solo fino ai decimi: 118.3 g. Nota che la risposta ha quattro cifre significative anche se uno dei dati ne aveva solo tre; in questo caso, quindi, non è il numero di cifre a limitare il risultato.

La sottrazione può far perdere cifre significative. Supponi che una beuta contenente un liquido pesi 58.36 g su una bilancia da laboratorio e che la beuta vuota pesasse 57.912 g su una bilancia analitica. La differenza è 0.448 g sulla calcolatrice, ma la prima massa è nota solo fino ai centesimi, quindi la massa del liquido è 0.45 g. Da dati che avevano quattro e cinque cifre sopravvivono due cifre significative. Quando conta una piccola differenza tra due numeri grandi, pesa entrambe le masse sulla bilancia più precisa.

Moltiplicazione e divisione: conta le cifre significative

Per prodotti e quozienti, ciò che si propaga è l'incertezza relativa. Arrotonda il risultato allo stesso numero di cifre significative del dato che ne ha meno.

Esempio svolto 2. Un blocco rettangolare misura 4.20 cm per 2.15 cm per 1.8 cm. Il volume è 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ sulla calcolatrice. L'altezza ha solo due cifre significative, quindi il volume si riporta come 16 cm³. Misurare l'altezza con più cura, per esempio come 1.80 cm con un calibro, sarebbe l'unico modo per giustificare una terza cifra.

I logaritmi seguono una regola affine che compare nei calcoli di pH: il numero di cifre decimali del logaritmo è uguale al numero di cifre significative del valore originale. Una concentrazione di ioni idrogeno di 3.4 × 10⁻⁴ mol/L ha due cifre significative, quindi il suo pH si riporta con due cifre decimali, 3.47.

Arrotondare una sola volta, alla fine di un calcolo a più passaggi

In un calcolo con più passaggi, conserva almeno una o due cifre in più (cifre di guardia) in ogni valore intermedio e arrotonda solo la risposta finale. Tieni traccia di quante cifre significative giustifica ciascun passaggio, ma non scartare cifre fino alla fine. Arrotondare a ogni passaggio aggiunge ogni volta un piccolo errore, e quegli errori possono spostare l'ultima cifra riportata.

Esempio svolto 3. Sciogli 1.37 g di cloruro di sodio in acqua e diluisci a esattamente 50.00 mL in un matraccio tarato. Usando i pesi atomici standard IUPAC arrotondati a due cifre decimali (Na 22.99, Cl 35.45), la massa molare di NaCl è 58.44 g/mol. La quantità è 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, tenuta senza arrotondare. Il volume è 0.05000 L, quindi la concentrazione è 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, che si arrotonda a 0.469 mol/L perché la massa ha tre cifre significative.

Se avessi arrotondato prima la quantità a 0.0234 mol, otterresti 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. La differenza è piccola, ma è un errore reale introdotto dall'aritmetica e non dalle misure, e nelle catene di calcolo più lunghe può crescere.

Quando arrotondare per eccesso le cifre a metà strada o alla cifra pari

Se la prima cifra che scarti è minore di 5, lascia invariata la cifra che conservi; se è maggiore di 5, oppure è 5 seguito da cifre diverse da zero, arrotonda per eccesso. Così 0.064371 si arrotonda a 0.0644 e 7.2849 si arrotonda a 7.28 con tre cifre significative.

L'unico caso controverso è quello di una cifra scartata esattamente uguale a 5 senza nulla dopo. OpenStax Chemistry 2e arrotonda in modo che la cifra conservata sia pari (6.125 diventa 6.12, mentre 6.135 diventa 6.14), il che evita una lieve distorsione verso l'alto su molti arrotondamenti. Molti insegnanti arrotondano semplicemente il 5 per eccesso. Verifica quale convenzione usa il tuo corso e applicala in modo coerente; riguarda solo questo caso.

Errori sulle cifre significative da cercare nel tuo lavoro

La maggior parte degli errori sulle cifre significative deriva da una manciata di sviste prevedibili. Prima di incorniciare una risposta, rileggi i dati e chiediti quale limita il risultato e secondo quale regola.

Una piccola abitudine rende tutto questo di routine: accanto a ogni risposta annota il dato limitante e la regola applicata, cifre decimali o numero di cifre. Se la risposta mostra più cifre di quante ne giustifichi quel dato, arrotondala; se ne mostra meno, cerca uno zero finale che la calcolatrice ha eliminato.

• Lasciare che un numero esatto limiti la risposta. Un fattore di 1000 mL/L o un coefficiente pari a 2 non riduce mai le cifre significative.
• Usare la regola della moltiplicazione per una somma. Somme e differenze sono limitate dalle cifre decimali, non dal numero di cifre.
• Arrotondare ogni valore intermedio. Conserva le cifre di guardia e arrotonda una sola volta alla fine.
• Eliminare zeri finali che hanno un significato. Una calcolatrice mostra 2.5 quando la misura era 2.50 mL; riscrivi lo zero.
• Contare gli zeri iniziali. 0.0081 g ha due cifre significative, non quattro.
• Riportare un numero intero con zeri ambigui. Scrivi 3.40 × 10² g invece di 340 g quando tre cifre sono significative.