Skammtatölur og svigrúm: reglur, talningar og lögun

Rafeindir sem bylgjur: de Broglie-bylgjulengdin

Árið 1924 setti de Broglie fram þá tilgátu að sérhver ögn á hreyfingu hafi bylgjulengdina λ = h/(mv), þar sem h er fasti Plancks, m massinn og v hraðinn. Fyrir hversdagslega hluti er bylgjulengdin allt of lítil til að taka eftir henni. 0.145 kg hafnabolti á 40.0 m/s hefur λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Fyrir rafeind, með massann 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), er bylgjulengdin sambærileg við stærð atóms.

Dæmi 1. Rafeind sem hreyfist á 2.188 × 10⁶ m/s hefur λ = h/(mv). Með CODATA-gildunum h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s og m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg er λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, eða 0.3324 nm. Þetta er hraðinn sem líkan Bohrs úthlutar rafeindinni í lægstu braut vetnis, en geisli hennar er Bohr-geislinn, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Ummál brautarinnar er 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, svo ein rafeindabylgjulengd passar hringinn í kring, með samræmi upp á betur en 0.02%. Skömmtuð orkustig eru það sem fæst þegar rafeindabylgja verður að passa í rými sitt án þess að eyða sjálfri sér, líkt og gítarstrengur getur aðeins titrað á tilteknum tíðnum.

Óvissa og endalok fastra brauta

Óvissulögmál Heisenbergs setur mörk á hve vel hægt er að þekkja staðsetningu og skriðþunga samtímis: Δx·Δp ≥ ħ/2, þar sem ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Dæmi 2. Lokaðu rafeind inni á svæði sem er 1.0 × 10⁻¹⁰ m breitt, um það bil á stærð við atóm. Þá er Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s og Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Óvissan í hraðanum er drjúgur hluti af hraðanum sjálfum, svo ákveðin braut, eins og braut reikistjörnu, er merkingarlaus fyrir rafeind í atómi.

Skammtafræðin setur bylgjufall, ψ, í stað brautarinnar. Ferningur þess, ψ², er líkindaþéttleikinn: margfaldaður með rúmmáli lítils svæðis gefur hann líkurnar á að finna rafeindina þar. Svigrúm er bylgjufall fyrir eina rafeind og kunnuglegu svigrúmamyndirnar eru fletir sem umlykja mestan hluta þessara líkinda, oft 90%.

Leyfileg gildi n, l, mₗ og mₛ

Lausn bylgjujöfnunnar fyrir vetnisatómið gefur þrjár skammtatölur, hverja takmarkaða af þeirri á undan. Sú fjórða lýsir spuna rafeindarinnar. Takmarkanirnar eru kjarni málsins.

• Meginskammtatalan n = 1, 2, 3, …. Hún ákvarðar skelina og, í vetni, orkuna. Stærra n þýðir stærra og orkuhærra svigrúm.
• Hverfiþungaskammtatalan l = 0, 1, …, n − 1. Hún ákvarðar undirskelina og lögunina: l = 0, 1, 2, 3 eru s, p, d, f.
• Segulskammtatalan mₗ = −l, …, 0, …, +l, sem gefur 2l + 1 gildi. Hún ákvarðar stefnu svigrúmsins í rúminu.
• Spunaskammtatalan mₛ = +½ eða −½. Hún er óháð hinum þremur.

Útreiknað dæmi: sex mengi skammtatalna prófuð

Til að prófa mengi (n, l, mₗ, mₛ) skaltu bera hverja tölu saman við þá á undan, í réttri röð. Hættu við fyrsta brotið á reglunum.

(3, 3, 0, +½) er ekki leyfilegt: l má í mesta lagi vera n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) er ekki leyfilegt: þegar l = 2 nær mₗ aðeins frá −2 til +2. (3, 2, 1, 0) er ekki leyfilegt: mₛ verður að vera +½ eða −½, aldrei 0. (2, 1, −1, −½) er leyfilegt og lýsir rafeind í 2p-svigrúmi. (5, 0, 0, +½) er leyfilegt og lýsir 5s-rafeind. (4, 3, −3, +½) er leyfilegt og lýsir 4f-rafeind.

Til að nefna svigrúmið út frá leyfilegu mengi skaltu skrifa n og síðan bókstafinn fyrir l. Gildið á mₗ velur eitt svigrúm innan undirskelsins en breytir ekki heiti þess í þessum rithætti.

Svigrúm og rafeindir talin við skilyrði

Talningarspurningar verða að föstum lið ef þú telur upp leyfileg l-gildi, síðan mₗ-gildin fyrir hvert þeirra og beitir skilyrðinu fyrst þá. Hvert svigrúm, það er hver leyfileg samsetning (n, l, mₗ), rúmar tvær rafeindir, eina með hvorn spuna.

Skel með meginskammtatöluna n inniheldur n² svigrúm og 2n² rafeindir. Fyrir n = 4 getur l verið 0, 1, 2 eða 3, sem gefur 1 + 3 + 5 + 7 = 16 svigrúm og 32 rafeindir.

Dæmi 3. Hve margar rafeindir í atómi geta haft n = 3 og mₗ = +1? l-gildin fyrir n = 3 eru 0, 1 og 2. mₗ = +1 er aðeins mögulegt þegar l ≥ 1, svo það er eitt slíkt svigrúm í 3p og eitt í 3d: tvö svigrúm, fjórar rafeindir. Hve margar geta haft n = 5 og mₛ = +½? Skel 5 hefur 5² = 25 svigrúm, hvert með eina +½ rafeind, svo 25. Hve margar geta haft n = 4 og l = 2? Það er 4d-undirskelið: 5 svigrúm og 10 rafeindir.

Lögun svigrúma og talning hnúta

Hnútur er staður þar sem ψ, og þar með líkurnar á að finna rafeindina, er núll. Svigrúm hefur n − 1 hnúta alls. Af þeim eru l hornhnútar, fletir eða keilur gegnum kjarnann, og hinir n − l − 1 eru geislahnútar, kúluskeljar í föstum fjarlægðum. OpenStax Chemistry 2e (kafli 6.3) gefur regluna um geislahnúta.

s-svigrúm (l = 0) eru kúlulaga án hornhnúta, svo 2s-svigrúm hefur einn geislahnút og 3s-svigrúm tvo. p-svigrúm (l = 1) hafa tvo geira hvorum megin við kjarnann með einn hnútflöt á milli; svigrúmin þrjú eru merkt pₓ, p_y og p_z eftir ásnum sem þau vísa eftir. d-svigrúm (l = 2) hafa tvo hornhnúta. Fjögur þeirra hafa fjóra geira; það fimmta, d_z², hefur tvo geira eftir z-ásnum og hring um miðjuna.

Dæmi 4. 3p-svigrúm hefur 3 − 1 − 1 = 1 geislahnút og 1 hornhnút. 4d-svigrúm hefur 1 geislahnút og 2 hornhnúta, 3 alls. 3d-svigrúm hefur enga geislahnúta og 6s-svigrúm hefur 5.

Þegar svigrúm í sömu skel eru ólík að orku

Í vetni ræðst orkan aðeins af n, svo 3s, 3p og 3d hafa sömu orku. Í atómum með fleiri en eina rafeind skerma hinar rafeindirnar kjarnann misjafnlega. s-rafeind smýgur nær kjarnanum en p- eða d-rafeind í sömu skel, finnur fyrir meiri hluta kjarnahleðslunnar og er orkulægri. Afleiðingin er klofningurinn s < p < d < f innan skeljar, sem ákvarðar fyllingarröðina sem fjallað er um í leiðarvísinum um rafeindaskipan.

Svigrúm í sama undirskeli, eins og 2p-svigrúmin þrjú, haldast jöfn að orku í einangruðu atómi. Þau kallast jafnorkusvigrúm. Nálæg atóm í sameind eða kristal geta rofið þessa jafnorku.

Villur í skammtatölum sem vert er að athuga

Nánast hver villa stafar af því að sleppa upptalningarskrefinu. Ef þú ert í vafa skaltu skrifa út hvert leyfilegt gildi áður en þú telur.

• Að láta l vera jafnt n. Stærsta leyfilega l er n − 1, svo ekkert 1p- eða 2d-svigrúm er til.
• Að telja mₗ-gildi frá 0 til l í stað −l til +l, sem gefur of fá svigrúm.
• Að telja svigrúm þegar spurt er um rafeindir, eða öfugt. Hvert svigrúm rúmar tvær rafeindir.
• Að gefa mₛ gildið 0 eða 1. Spuni er aðeins +½ eða −½.
• Að nota n − l − 1 sem heildarfjölda hnúta. Sú formúla telur aðeins geislahnúta; heildin er n − 1.
• Að líta á 90% jaðarflötinn sem skörp mörk. Rafeindaþéttleikinn dofnar smám saman og hefur engin skörp mörk.