Kjarnaefnafræði: bindiorka, hrörnunarhættir og helmingunartímar

Hlutfall nifteinda og róteinda og stöðugleikabeltið

Kjarni inniheldur róteindir og nifteindir, sem saman kallast kjarneindir. Róteindirnar hrinda hver annarri frá sér rafmagnslega og sterki kjarnakrafturinn, sem verkar aðeins yfir mjög stuttar fjarlægðir, heldur öllum kjarneindunum saman. Hvort kjarni er stöðugur ræðst aðallega af jafnvæginu milli róteinda og nifteinda.

Ef nifteindir eru teiknaðar á móti róteindum fyrir stöðugar kjarnategundir lenda þær í mjóu stöðugleikabelti. Léttir stöðugir kjarnar hafa um það bil jafnmargar af hvoru: köfnunarefni-14 hefur sjö af hvoru. Þyngri kjarnar þurfa aukanifteindir til að vega upp vaxandi fráhrindingu róteinda. OpenStax gefur n:p hlutfallið 1.15 fyrir járn-56 og 1.52 fyrir blý-207. Allar samsætur allra frumefna handan bismúts (Z = 83) eru geislavirkar.

Kjarnategund utan beltisins hrörnar á þann hátt að hún færist nær beltinu. Þessi eina hugmynd spáir fyrir um flesta hrörnunarhætti, eins og listinn yfir hrörnunarhætti hér að neðan sýnir.

Massabrestur og bindiorka kjarna

Kjarni hefur minni massa en aðskildu róteindirnar og nifteindirnar sem hann er gerður úr. Massinn sem vantar, massabresturinn, samsvarar bindiorku kjarnans samkvæmt E = mc². Í atómmassaeiningum jafngildir 1 u 931.494 MeV (CODATA-gildi frá NIST).

Dæmi 1. Finndu bindiorku helíums-4. Notkun atómmassa heldur rafeindunum í jafnvægi: tvö vetnis-1 atóm leggja til róteindirnar tvær og rafeindirnar tvær. NIST skráir 1.007 825 032 u fyrir ¹H og 4.002 603 254 u fyrir ⁴He, og CODATA gefur 1.008 664 916 u fyrir nifteindina. Aðskildar agnir: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Massabrestur: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Bindiorka: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV, eða 7.074 MeV á hverja kjarneind. OpenStax gefur upp 28.4 MeV því þar eru notaðir massar námundaðir í fjóra aukastafi, sem sýnir hve viðkvæmur lítill munur milli stórra talna er fyrir námundun.

Umreiknað á mól eru 28.30 MeV á hvern kjarna 2.73 × 10¹² J/mol. Bruni móls af metani losar um 890 kJ (út frá myndunarvermi í viðauka G), svo myndun helíums-4 úr kjarneindum sínum losar um það bil þrjár milljónir sinnum meiri orku á hvert mól. Bindiorka á hverja kjarneind er mest nálægt massatölu 56; OpenStax reiknar 8.820 MeV á hverja kjarneind fyrir járn-56. Þess vegna losa bæði samruni léttra kjarna og klofnun mjög þungra kjarna orku.

Fimm hrörnunarhættir og hverju hver þeirra breytir

Hver hrörnunarháttur breytir massatölunni A og sætistölunni Z á fastan hátt. Ef þú veist hvoru megin beltisins kjarnategund liggur veistu hvaða hættir eru líklegir.

• Alfa-hrörnun sendir frá sér helíum-4 kjarna, ⁴₂He. A lækkar um 4 og Z um 2. Hún er algeng hjá þungum kjörnum handan bismúts.
• Beta-hrörnun sendir frá sér rafeind, ⁰₋₁e, þegar nifteind breytist í róteind. A er óbreytt og Z hækkar um 1. Hún verður í nifteindaríkum kjarnategundum fyrir ofan beltið.
• Jáeindageislun sendir frá sér jáeind, ⁰₊₁e, þegar róteind breytist í nifteind. A er óbreytt og Z lækkar um 1. Hún verður í róteindaríkum kjarnategundum fyrir neðan beltið.
• Rafeindahremming dregur innri rafeind inn í kjarnann, þar sem hún sameinast róteind og myndar nifteind. A er óbreytt og Z lækkar um 1, sama breyting og við jáeindageislun.
• Gammageislun losar orkuríka ljóseind, ⁰₀γ, frá kjarna í örvuðu ástandi. A og Z eru óbreytt. Hún fylgir oft hinum háttunum.

Kjarnajafna jöfnuð með varðveislu A og Z

Kjarnajafna er jöfnuð þegar massatölurnar (efri vísar) leggjast saman í sömu heild báðum megin og sætistölurnar (neðri vísar) gera það líka. Sætistala myndefnisins segir þá til um frumefnið.

Úran-238 gengst undir alfa-hrörnun: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Athugun: 238 = 234 + 4 og 92 = 90 + 2. Kolefni-14 gengst undir beta-hrörnun: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, þar sem 6 = 7 + (−1). Flúor-18, notað í PET-skönnun, gengst undir jáeindageislun: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Kalíum-40 getur gengist undir rafeindahremmingu og þá er rafeindin skrifuð sem hvarfefni: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

Til að finna óþekkta ögn skaltu draga frá. Þóríum-234 hrörnar í prótaktiníum-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. Fyrir X er A = 234 − 234 = 0 og Z = 90 − 91 = −1, svo X er ⁰₋₁e og þetta er beta-hrörnun. Spárnar passa við beltið: kolefni-14 hefur n:p hlutfallið 1.33, hátt fyrir svo léttan kjarna, og beta-hrörnun færir það niður í 1.00 í köfnunarefni-14.

Útreikningar á helmingunartíma fyrir fyrsta stigs hrörnun

Geislavirk hrörnun er fyrsta stigs ferli: á tilteknum tíma hrörnar sama hlutfall þeirra kjarna sem eftir eru, óháð upphafsmagni. Helmingunartíminn, t½, er tíminn sem það tekur helming kjarnanna að hrörna. Hann er nánast óháður hitastigi, þrýstingi og efnaformi, og það gerir hann gagnlegan til aldursgreiningar. Magnið sem eftir er að tímanum t liðnum er N = N₀ × (½)^(t/t½). Jafngilt því er ln(N/N₀) = −kt með hrörnunarfastanum k = 0.693/t½.

Dæmi 2. Joð-131, notað til að meðhöndla skjaldkirtilssjúkdóma, hefur t½ = 8.02 dagar (tafla 21.2 í OpenStax). Hve mikið er eftir af 50.0 mg sýni eftir 30.0 daga? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 helmingunartímar. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. Fljótlegt mat staðfestir þetta: eftir 3 helmingunartíma væru 6.25 mg eftir og eftir 4 helmingunartíma 3.13 mg, svo svarið hlýtur að liggja þar á milli.

Dæmi 3. Flúor-18 hefur t½ = 110. mínútur. Hve langur tími líður þar til virkni þess fellur niður í 10.0 prósent af upphafsgildinu? Virkni er í réttu hlutfalli við fjölda kjarna, svo leystu (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, um 6.1 klukkustund. Þessi stutti tímagluggi er ástæða þess að framleiða þarf flúor-18 nálægt þeim stað þar sem það er notað.

Útreiknað dæmi: kolefnisaldursgreining á viðarmun

Lífverur halda stöðugu hlutfalli kolefnis-14 og kolefnis-12 með því að skiptast á kolefni við umhverfi sitt. Eftir dauðann hrörnar kolefni-14 með t½ = 5730 ár (kafli 21.3 í OpenStax) og kemur ekkert í staðinn, svo hlutfallið lækkar á fyrirsjáanlegan hátt.

Verkfæri úr viði inniheldur 28.0 prósent af kolefni-14 sem finnst í lifandi viði. Leystu 0.280 = (½)^(t/5730 y). Lograr gefa t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ ár, eða um 1.84 helmingunartíma. Athugaðu matið: eftir einn helmingunartíma eru 50 prósent eftir og eftir tvo 25 prósent, og 28.0 prósent samsvara því tæplega tveimur helmingunartímum.

OpenStax segir að aðferðin sé nákvæm upp í um 30 000 ár og gefi sæmilegar aldursgreiningar upp í um 50 000 ár í mesta lagi. Handan þess er of lítið kolefni-14 eftir til að mæla það áreiðanlega. Raunverulegur aldur samkvæmt kolefnisgreiningu er líka leiðréttur fyrir fyrri breytingum á kolefni-14 í lofthjúpnum.

Villur í kjarnajöfnum og hrörnunarreikningum

Tvær athuganir finna flest vandamál: jafnaðu A og Z hvort fyrir sig í hverri jöfnu og mettu hve margir helmingunartímar hafa liðið áður en þú notar reiknivél.

• Að víxla breytingum við beta-hrörnun og jáeindageislun. Beta-hrörnun hækkar Z um 1; jáeindageislun og rafeindahremming lækka það um 1.
• Að jafna massatölur en ekki sætistölur, eða öfugt.
• Að draga massa berra róteinda frá atómmassa án þess að taka tillit til rafeinda. Notkun atómmassa vetnis-1 kemur í veg fyrir vandann.
• Að deila upphafsmagninu með fjölda helmingunartíma í stað þess að helminga það endurtekið.
• Að blanda saman tímaeiningum, til dæmis helmingunartíma í dögum og liðnum tíma í klukkustundum.
• Að námunda massa áður en mismunurinn er tekinn í útreikningi á massabresti.