Fény és atomspektrumok: fotonok, energiaszintek és a hidrogén vonalai

Hullámhossz, frekvencia és a fénysebesség

A fény elektromágneses hullám. A λ hullámhossz a hullámhegyek közötti távolság, a ν frekvencia pedig az egy ponton másodpercenként áthaladó hullámhegyek száma, hertzben (s⁻¹). Vákuumban minden hullámhossz ugyanazzal a sebességgel terjed, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, amely a NIST által közölt pontos, definíció szerinti érték. A három mennyiséget a c = λν kapcsolja össze, így a hullámhossz és a frekvencia fordítottan arányos: ha az egyiket felezzük, a másik megkétszereződik.

A látható fény nagyjából 400 nm-től (ibolya) 700 nm-ig (vörös) terjed. Az ultraibolya fény hullámhossza rövidebb, frekvenciája nagyobb; az infravörösé hosszabb, illetve kisebb. A c = λν használata előtt váltsa át a nanométert méterre: 1 nm = 10⁻⁹ m.

A foton energiája és a fényelektromos hatás

A fény fotonoknak nevezett adagokban nyelődik el és bocsátódik ki. Minden foton E = hν = hc/λ energiát hordoz, ahol h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s a Planck-állandó, amely szintén pontos érték. A rövidebb hullámhossz fotononként több energiát jelent. Az azonos színű, fényesebb fény több fotont jelent, nem nagyobb energiájúakat.

1. megoldott példa. A nátriumlámpa sárga fénye 589.0 nm közelében van. Frekvenciája ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Egy foton energiája E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Egy mól fotonhoz szorozza meg az Avogadro-számmal, 6.022 × 10²³ mol⁻¹: 2.031 × 10⁵ J, azaz 203.1 kJ/mol. Ez egy gyenge kémiai kötés energiájához mérhető, ezért képes a látható és az ultraibolya fény fotokémiai reakciókat előidézni.

A fényelektromos hatás közvetlenül mutatja a fotonképet. A fény csak akkor lök ki elektronokat egy fémből, ha minden foton legalább akkora energiát hordoz, mint a fém kilépési munkája, Φ. A többletenergia az elektron mozgási energiájává válik: KEmax = hν − Φ.

2. megoldott példa. Tegyük fel, hogy egy fémfelület küszöbhullámhossza 540 nm (ehhez a feladathoz megadott érték). Kilépési munkája Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. A 405 nm-es ibolya fény fotonjainak energiája 4.905 × 10⁻¹⁹ J, így KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Három értékes jegyre kerekítve ez 1.23 × 10⁻¹⁹ J, azaz 0.765 eV. A 650 nm-es vörös fény viszont, akármilyen erős is, nem lök ki elektront, mert minden fotonja csak 3.06 × 10⁻¹⁹ J energiájú.

Miért adnak az atomok vonalas színképet szivárvány helyett

Egy forró szilárd test, például egy izzószál, folytonos színképet bocsát ki. Egy forró, kis nyomású atomos gáz csak bizonyos hullámhosszakat bocsát ki. Az atomban az elektronok csak bizonyos energiaszinteken lehetnek. Amikor egy elektron magasabb szintről alacsonyabbra kerül, az atom egyetlen fotont bocsát ki, amelynek energiája megegyezik a szintek különbségével: ΔE = hν. Mivel csak bizonyos különbségek léteznek, csak bizonyos hullámhosszak jelennek meg.

Az elnyelés ennek fordítottja. Ha fehér fényt bocsátunk át egy hideg gázon, az atomok pontosan azokat a hullámhosszakat távolítják el, amelyek a felfelé irányuló ugrásaiknak felelnek meg, és sötét vonalakat hagynak az egyébként folytonos színképben. Ugyanazon két szint közötti ugrás hullámhossza ugyanaz, akár elnyeli, akár kibocsátja az atom. Minden elem szintkülönbség-készlete egyedi, így a színképek azonosítják az elemeket lángokban, lámpákban és távoli csillagokban.

A hidrogén energiaszintjei és a Rydberg-egyenlet

Egyelektronos atomban az energiaszintek egyszerű képletet követnek. Az OpenStax Chemistry 2e (6.2 fejezet) szerint Eₙ = −kZ²/n², ahol k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z a magtöltés, és n = 1, 2, 3, …. Az energia negatív, mert a kötött elektron energiája alacsonyabb, mint egy nyugalomban lévő szabad elektroné, amelyet nullának veszünk. Az n növekedésével a szintek egyre sűrűbben helyezkednek el a nulla felé közeledve.

Amikor az elektron nᵢ-ről egy alacsonyabb n_f szintre esik, a kibocsátott foton energiája ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). hc-vel elosztva kapjuk a hidrogénre vonatkozó Rydberg-egyenletet, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), ahol R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

3. megoldott példa. Határozza meg a hidrogén n = 3 → n = 2 vonalának hullámhosszát. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, a végéig egy további jegyet megtartva. hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m értékkel λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, azaz 656.4 nm. A NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data ezt a vörös vonalat levegőben 656.3 nm-en adja meg. Az utolsó jegyben mutatkozó eltérés a k kerekítéséből és a fény levegőben valamivel kisebb sebességéből ered.

4. megoldott példa. A hidrogén ionizációs energiája az az energia, amely az elektront n = 1-ről n = ∞-re viszi, ami maga a k: atomonként 2.179 × 10⁻¹⁸ J. Mólonként (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, azaz 1312 kJ/mol. A NIST Atomic Spectra Database értéke, 13.598 eV, átváltva 1312.0 kJ/mol.

Lyman-, Balmer- és Paschen-sorozat

Az ugyanazon alsó szinten végződő vonalak sorozatot alkotnak. Az nᵢ növekedésével mindegyik sorozat vonalai egyre közelebb kerülnek egymáshoz, és egy sorozathatárhoz tartanak, ahol az elektron szabad állapotból indul.

• Lyman-sorozat, az n = 1 szinten végződik: ultraibolya. A 2 → 1 vonal 121.6 nm-en van, a sorozathatár 91.2 nm közelében.
• Balmer-sorozat, az n = 2 szinten végződik: a hidrogén négy látható vonala, körülbelül 656, 486, 434 és 410 nm-en, nᵢ = 3, 4, 5 és 6 esetén. A sorozathatár 365 nm közelében, az ultraibolya tartományban van.
• Paschen-sorozat, az n = 3 szinten végződik: infravörös. A 4 → 3 vonal 1875 nm közelében van.

Hibák és gyors ellenőrzések a színképeknél

Ezekben a feladatokban a legtöbb hiba mértékegység- vagy előjelhiba. Két ellenőrzés a legtöbbet kiszűri: egy látható foton energiája nagyjából 2.8 és 5.0 × 10⁻¹⁹ J között van, és nagyobb energiakülönbségnek rövidebb hullámhossz felel meg.

• A hullámhossz nanométerben hagyása a c = λν vagy az E = hc/λ használatakor. Előbb váltsa át méterre.
• A Rydberg-egyenlet használata felcserélt nᵢ és n_f értékkel, ami negatív hullámhosszt ad.
• Annak feltételezése, hogy a hidrogén minden vonala látható. A teljes Lyman-sorozat ultraibolya, a Paschen-sorozat pedig infravörös.
• Annak hite, hogy a fényesebb fény gyorsabb fotoelektronokat lök ki. Az intenzitás az elektronok számát változtatja meg, nem a maximális energiájukat.
• Az Eₙ = −kZ²/n² alkalmazása a héliumra vagy bármely egynél több elektronos atomra. Csak egyelektronos részecskékre érvényes, mint a H, a He⁺ és a Li²⁺.
• Az Avogadro-szám elfelejtése a fotononkénti energia kJ/mol-ra való átváltásakor, vagy kétszeri alkalmazása.

Mit magyaráz meg a Bohr-modell, és hol vannak a határai

Bohr hidrogénatom-modellje, amelyben az elektron rögzített energiájú körpályákon mozog, visszaadja a hidrogén vonalait és az ionok, például a He⁺ Z²-es skálázását. A He⁺ esetén minden hidrogénátmenet energiája négyszer nagyobb, így a 2 → 1 vonala 30.4 nm közelében van.

A modell kudarcot vall két vagy több elektronos atomoknál, mert az elektronok közötti taszítás megváltoztatja a szinteket. Az elektronokat ráadásul meghatározott pályákon képzeli el, amit a kvantummechanika kizár. A modern elmélet megtartja a hidrogén Bohr-féle energiaszintjeit, de a pályákat orbitálokkal helyettesíti, amelyek azt írják le, hol valószínű az elektron megtalálása.