Dimenzióanalízis és mértékegység-átváltások

Miért álcázott 1-es az átváltási tényező

Az olyan egyenlőség, mint az 1 L = 1000 mL, azt mondja, hogy a két oldal ugyanazt a mennyiséget írja le. Az egyik oldal másikkal való osztása ezért pontosan 1-gyel egyenlő arányt ad: (1000 mL / 1 L) = 1 és (1 L / 1000 mL) = 1. Egy mennyiség 1-gyel való szorzása nem változtatja meg a mennyiséget, csak a kifejezésmódját. Ez a módszer teljes indoklása.

Mivel minden egyenlőségből két arány adódik, azt az irányt választja, amely kiejti a meglévő mértékegységet, és meghagyja a kívántat. A 0.355 L milliliterre váltásához írja fel: 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. A literek kiesnek, mert az L egyszer a számlálóban, egyszer a nevezőben szerepel. Ha a mértékegységek nem esnek ki, a tényező fordítva áll, és ezt már bármilyen számolás előtt tudja.

Egzakt és mért egyenlőségek

Egyes egyenlőségek definíciók, és egzaktak: minden SI-előtag (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), az 1 L = 1 dm³, az 1 mL = 1 cm³ és az 1 hüvelyk = 2.54 cm. Az egzakt tényezők soha nem korlátozzák az értékes jegyeket. Más egyenlőségek mérésből származnak, például egy sűrűség vagy egy pénzérme tömege, és ezek értékes jegyeit ugyanúgy számoljuk, mint bármely más mért értékét.

Az előtagtényezők a fordított felírású hibák leggyakoribb forrásai. Az 1 µg = 10⁻⁶ g egyenlőséget úgy olvassa, hogy egy mikrogramm a gramm milliomod része. A kis mértékegység kapja az 1-et, a nagy mértékegység pedig a tíz kis hatványát, vagy ezzel egyenértékűen 1 g = 10⁶ µg. Az 1 g = 10⁻⁶ µg felírása 10¹²-szeres tényezővel fordítja meg az összefüggést.

• Hosszúság: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 hüvelyk = 2.54 cm (egzakt).
• Térfogat: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Tömeg: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Idő: 1 h = 60 min = 3600 s.

Több tényező láncolása egy sorban

Ha egyetlen egyenlőség sem köti össze a kiindulási és a cél mértékegységet, szorozzon össze tényezők láncát, amelyek mindegyike kiejti az előző által bevezetett mértékegységet. Ha a teljes láncot a számolás előtt felírja, egy pillantással ellenőrizheti a kiesést, és elkerüli a lépések közti kerekítést.

1. megoldott példa. Egy szivattyú 1.75 mL/min sebességgel szállítja az oldószert. Mekkora az áramlási sebesség literben óránként? Két mértékegységnek kell változnia, az egyiknek a számlálóban, a másiknak a nevezőben. Állítsa fel: 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). A milliliterek kiesnek, a percek kiesnek, és az L/h marad. A számolás: 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Mindkét tényező egzakt, így a válasz megtartja az 1.75 mL/min három értékes jegyét.

Egy gyors ésszerűségi ellenőrzés segít: egy óra 60 perc, tehát az óránkénti térfogatnak nagyobbnak kell lennie a percenkéninél, körülbelül 105 mL-nek. Literben kifejezve ez nagyjából egytized liter, ami megfelel a 0.105 L/h-nak.

A négyzetes és köbös mértékegységekhez négyzetes és köbös tényezők kellenek

Az olyan származtatott mértékegység, mint a cm³, cm × cm × cm-t jelent. Az átváltásához a hosszúságtényezőt minden dimenzióra egyszer kell alkalmazni, amit úgy tesz meg, hogy az egész tényezőt, a számot és a mértékegységet együtt, a megfelelő hatványra emeli. A (1 m / 100 cm)³ egyenlő 1 m³ / 10⁶ cm³-rel, nem pedig 1 m³ / 100 cm³-rel.

2. megoldott példa. Egy tárolószekrény belső térfogata 0.0465 m³. Fejezze ki köbcentiméterben és literben. Köbcentiméterben: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. Literben az 1 m³ = 1000 L összefüggést használva: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Keresztellenőrzésként a 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) szintén 46.5 L-t ad.

A sebességekre és más összetett mértékegységekre ugyanez a logika érvényes. Az N/m²-ben megadott nyomásnál, az m/s-ban megadott sebességnél és a mol/L-ben megadott koncentrációnál minden mértékegységet külön váltunk át, a kitevőket tiszteletben tartva.

A sűrűség mint híd a tömeg és a térfogat között

A sűrűség a tömeg osztva a térfogattal, ezért átváltási tényezőként mindkét irányban működik: a (g / mL) a térfogatot tömeggé, a (mL / g) pedig a tömeget térfogattá alakítja. Az előtagtényezőkkel ellentétben a sűrűség mért érték, függ a hőmérséklettől, és korlátozza az értékes jegyeket.

3. megoldott példa. Az OpenStax Chemistry 2e (1.4. táblázat) a glicerin sűrűségét 1.26 g/cm³-nek adja meg szobahőmérséklet körül. Mekkora térfogat glicerin tartalmaz 15.0 g-ot? Fordítsa meg a sűrűséget, hogy a grammok kiessenek: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, ami 11.9 mL, mert 1 cm³ pontosan 1 mL. A számológép 11.905-öt mutat, és mindkét bemenő adatnak három értékes jegye van.

Most menjen az ellenkező irányba egy hosszabb láncon át: mekkora a 2.50 L glicerin tömege kilogrammban? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Egy liter víz tömege közel 1 kg, a glicerin pedig valamivel sűrűbb a víznél, ezért az 2.5 kg-nál kicsit nagyobb érték ésszerű.

Hőmérsékleti skálák és más, eltolással járó átváltások

A tényező-címke módszer az arányos összefüggéseket kezeli, ahol az egyik mértékegységben a nulla a másikban is nullát jelent. A Celsius-, a Fahrenheit- és a kelvinskálának nincs közös nullpontja, ezért a hőmérséklet átváltásához hozzáadott eltolású egyenlet kell: T(K) = T(°C) + 273.15, és T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Például a 21.47 °C egyenlő 21.47 + 273.15 = 294.62 K-nel és 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F-fel.

A hőmérséklet-változások másképp működnek. Az 1 °C-os változás megegyezik az 1 K-es és az 1.8 °F-os változással, eltolás nélkül, mert az eltolás kiesik, ha két hőmérsékletet kivon egymásból. Tartsa észben ezt a különbséget, amikor egy hő- vagy sebességegyenlet T helyett ΔT-t használ.

Átváltási hibák és az észrevételük módja

A dimenzióanalízis garantálja, hogy a végső mértékegység helyes, ha minden tényező valódi egyenlőség. Azt nem garantálja, hogy a megfelelő mennyiséget választotta, ezért a mértékegységek ellenőrzését párosítsa nagyságrendi becsléssel.

A szorzás előtt döntse el, hogy a számnak nőnie vagy csökkennie kell-e. A kisebb mértékegységre való átváltás, például literről milliliterre, nagyobb számot ad; a nagyobb mértékegységre váltás kisebbet. Ha az eredmény rossz irányba mozdul, egy tényezőben fel vannak cserélve a számok, éppen ezt teszi egy rosszul megjegyzett előtag, még akkor is, ha a mértékegységek látszólag kiesnek.

• Megfordított tényező: ha az eltávolítani kívánt mértékegység megmarad, fordítsa meg azt a tényezőt.
• Felcserélt előtag: ellenőrizze, hogy a kisebb mértékegységhez tartozik a nagyobb szám, mint az 1 kg = 1000 g esetében.
• A hatvány elfelejtése: a terület- és térfogattényezőket négyzetre vagy köbre kell emelni, a számot is beleértve.
• A mértékegységek elhagyása a számítás közben: minden számra írja fel a mértékegységet, hogy a hiányzó kiesés látható maradjon.
• Mért tényező egzaktként kezelése: a sűrűség vagy az egy darabra jutó mért tömeg korlátozza az értékes jegyeket.
• Helyes mértékegység, rossz fizika: az oldat grammjai és az oldott anyag grammjai egyaránt g-ként esnek ki, ezért minden mennyiséget lássa el azzal, hogy mit ír le.