Kvantni brojevi i orbitale: pravila, brojenje i oblici

Elektroni kao valovi: de Broglieva valna duljina

De Broglie je 1924. predložio da svaka čestica u gibanju ima valnu duljinu λ = h/(mv), pri čemu je h Planckova konstanta, m masa, a v brzina. Za svakodnevne predmete valna je duljina premala da bi se primijetila. Bejzbolska loptica od 0.145 kg pri 40.0 m/s ima λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Za elektron, mase 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), valna je duljina usporediva s veličinom atoma.

Riješeni primjer 1. Elektron koji se giba brzinom 2.188 × 10⁶ m/s ima λ = h/(mv). Uz vrijednosti CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s i m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, odnosno 0.3324 nm. To je brzina koju Bohrov model pripisuje elektronu u najnižoj stazi vodika, čiji je polumjer Bohrov polumjer, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Opseg staze je 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, pa u njega stane jedna valna duljina elektrona, uz slaganje bolje od 0.02%. Kvantizirane energijske razine dobivaju se kad se elektronski val mora uklopiti u svoj prostor, a da sam sebe ne poništi, slično kao što žica gitare može titrati samo određenim frekvencijama.

Neodređenost i kraj stalnih staza

Heisenbergovo načelo neodređenosti postavlja granicu koliko se dobro položaj i količina gibanja mogu znati istodobno: Δx·Δp ≥ ħ/2, pri čemu je ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Riješeni primjer 2. Ograničite elektron na područje široko 1.0 × 10⁻¹⁰ m, otprilike veličine atoma. Tada je Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, a Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Neodređenost brzine znatan je dio same brzine, pa je određena putanja, poput staze planeta, besmislena za elektron u atomu.

Kvantna mehanika putanju zamjenjuje valnom funkcijom, ψ. Njezin kvadrat, ψ², gustoća je vjerojatnosti: pomnožen volumenom malog područja daje vjerojatnost da se elektron nađe ondje. Orbitala je valna funkcija za jedan elektron, a poznate slike orbitala plohe su koje obuhvaćaju veći dio te vjerojatnosti, često 90%.

Dopuštene vrijednosti n, l, mₗ i mₛ

Rješavanjem valne jednadžbe za atom vodika dobivaju se tri kvantna broja, od kojih je svaki ograničen prethodnim. Četvrti opisuje spin elektrona. Cijela je stvar u ograničenjima.

• Glavni kvantni broj n = 1, 2, 3, …. Određuje ljusku i, kod vodika, energiju. Veći n znači veću orbitalu više energije.
• Orbitalni kvantni broj l = 0, 1, …, n − 1. Određuje podljusku i oblik: l = 0, 1, 2, 3 su s, p, d, f.
• Magnetski kvantni broj mₗ = −l, …, 0, …, +l, što daje 2l + 1 vrijednosti. Određuje orijentaciju orbitale u prostoru.
• Spinski kvantni broj mₛ = +½ ili −½. Ne ovisi o ostala tri.

Riješeni primjer: provjera šest skupova kvantnih brojeva

Da biste provjerili skup (n, l, mₗ, mₛ), usporedite svaki broj s prethodnim, redom. Zaustavite se na prvom kršenju.

(3, 3, 0, +½) nije dopušten: l smije biti najviše n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) nije dopušten: uz l = 2, mₗ ide samo od −2 do +2. (3, 2, 1, 0) nije dopušten: mₛ mora biti +½ ili −½, nikada 0. (2, 1, −1, −½) je dopušten i opisuje elektron u 2p orbitali. (5, 0, 0, +½) je dopušten i opisuje 5s elektron. (4, 3, −3, +½) je dopušten i opisuje 4f elektron.

Da biste imenovali orbitalu iz dopuštenog skupa, napišite n, a iza njega slovo za l. Vrijednost mₗ odabire jednu orbitalu unutar podljuske, ali u ovom zapisu ne mijenja njezin naziv.

Brojenje orbitala i elektrona uz ograničenje

Pitanja o brojenju postaju rutinska ako ispišete dopuštene vrijednosti l, zatim vrijednosti mₗ za svaku od njih, i tek tada primijenite ograničenje. Svaka orbitala, odnosno svaka dopuštena kombinacija (n, l, mₗ), prima dva elektrona, po jedan sa svakim spinom.

Ljuska s glavnim kvantnim brojem n sadrži n² orbitala i 2n² elektrona. Za n = 4, l može biti 0, 1, 2 ili 3, što daje 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitala i 32 elektrona.

Riješeni primjer 3. Koliko elektrona u atomu može imati n = 3 i mₗ = +1? Vrijednosti l za n = 3 su 0, 1 i 2. mₗ = +1 moguć je samo kad je l ≥ 1, pa postoji jedna takva orbitala u 3p i jedna u 3d: dvije orbitale, četiri elektrona. Koliko ih može imati n = 5 i mₛ = +½? Ljuska 5 ima 5² = 25 orbitala, svaku s jednim elektronom +½, dakle 25. Koliko ih može imati n = 4 i l = 2? To je podljuska 4d: 5 orbitala i 10 elektrona.

Oblici orbitala i brojenje čvorova

Čvor je mjesto na kojem je ψ, a time i vjerojatnost nalaženja elektrona, jednak nuli. Orbitala ukupno ima n − 1 čvorova. Od toga je l kutnih čvorova, ravnina ili stožaca kroz jezgru, a preostalih n − l − 1 radijalni su čvorovi, sferne ljuske na stalnim udaljenostima. OpenStax Chemistry 2e (odjeljak 6.3) daje pravilo za radijalne čvorove.

s orbitale (l = 0) sferne su i nemaju kutnih čvorova, pa 2s orbitala ima jedan radijalni čvor, a 3s orbitala dva. p orbitale (l = 1) imaju dva režnja na suprotnim stranama jezgre s jednom čvornom ravninom između njih; tri se označavaju pₓ, p_y i p_z prema osi duž koje su usmjerene. d orbitale (l = 2) imaju dva kutna čvora. Četiri od njih imaju četiri režnja; peta, d_z², ima dva režnja duž osi z i prsten oko sredine.

Riješeni primjer 4. 3p orbitala ima 3 − 1 − 1 = 1 radijalni čvor i 1 kutni čvor. 4d orbitala ima 1 radijalni čvor i 2 kutna čvora, ukupno 3. 3d orbitala nema radijalnih čvorova, a 6s orbitala ima ih 5.

Kad se orbitale iste ljuske razlikuju u energiji

Kod vodika energija ovisi samo o n, pa 3s, 3p i 3d imaju istu energiju. U atomima s više od jednog elektrona ostali elektroni nejednoliko zasjenjuju jezgru. s elektron prodire bliže jezgri od p ili d elektrona iste ljuske, osjeća veći dio naboja jezgre i ima nižu energiju. Rezultat je cijepanje s < p < d < f unutar ljuske, koje određuje redoslijed popunjavanja obrađen u vodiču o elektronskim konfiguracijama.

Orbitale iste podljuske, poput triju 2p orbitala, u izoliranom atomu ostaju jednake energije. Zovu se degenerirane. Okolni atomi u molekuli ili kristalu mogu ukloniti tu degeneraciju.

Pogreške s kvantnim brojevima koje treba provjeriti

Gotovo svaka pogreška dolazi od preskakanja koraka ispisivanja. Kad niste sigurni, ispišite svaku dopuštenu vrijednost prije brojenja.

• Dopuštanje da l bude jednak n. Najveći dopušteni l je n − 1, pa ne postoje orbitale 1p ni 2d.
• Brojenje vrijednosti mₗ od 0 do l umjesto od −l do +l, čime se izbroji premalo orbitala.
• Brojenje orbitala kad pitanje traži elektrone ili obrnuto. Svaka orbitala prima dva elektrona.
• Davanje mₛ vrijednosti 0 ili 1. Spin je samo +½ ili −½.
• Upotreba n − l − 1 kao ukupnog broja čvorova. Ta formula broji samo radijalne čvorove; ukupan broj je n − 1.
• Tretiranje granične plohe od 90% kao čvrstog ruba. Elektronska gustoća postupno slabi i nema oštre granice.