Svjetlost i atomski spektri: fotoni, energijske razine i linije vodika

Valna duljina, frekvencija i brzina svjetlosti

Svjetlost je elektromagnetski val. Njezina valna duljina λ udaljenost je između susjednih brijegova, a frekvencija ν broj brijegova koji svake sekunde prođu nekom točkom, u hercima (s⁻¹). U vakuumu se svaka valna duljina giba istom brzinom, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, egzaktnom definiranom vrijednošću koju navodi NIST. Tri su veličine povezane izrazom c = λν, pa su valna duljina i frekvencija obrnuto proporcionalne: prepolovite li jednu, druga se udvostruči.

Vidljiva svjetlost proteže se od otprilike 400 nm (ljubičasta) do 700 nm (crvena). Ultraljubičasta svjetlost ima kraće valne duljine i više frekvencije; infracrvena ima dulje valne duljine i niže frekvencije. Prije upotrebe izraza c = λν pretvorite nanometre u metre: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energija fotona i fotoelektrični efekt

Svjetlost se apsorbira i emitira u paketima koji se zovu fotoni. Svaki foton nosi energiju E = hν = hc/λ, pri čemu je h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s Planckova konstanta, također egzaktna. Kraća valna duljina znači više energije po fotonu. Jača svjetlost iste boje znači više fotona, a ne fotone veće energije.

Riješeni primjer 1. Žuta svjetlost natrijeve žarulje ima valnu duljinu blizu 589.0 nm. Njezina je frekvencija ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Jedan foton nosi E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Za mol fotona pomnožite Avogadrovim brojem, 6.022 × 10²³ mol⁻¹: 2.031 × 10⁵ J, odnosno 203.1 kJ/mol. To je usporedivo s energijom slabe kemijske veze, zbog čega vidljiva i ultraljubičasta svjetlost mogu pokretati fotokemijske reakcije.

Fotoelektrični efekt izravno pokazuje fotonsku sliku. Svjetlost izbija elektrone iz metala samo ako svaki foton nosi barem izlazni rad metala, Φ. Sav višak energije postaje kinetička energija elektrona: KEmax = hν − Φ.

Riješeni primjer 2. Pretpostavimo da metalna površina ima graničnu valnu duljinu od 540 nm (vrijednost zadana za ovu vježbu). Njezin je izlazni rad Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Ljubičasta svjetlost od 405 nm ima fotone od 4.905 × 10⁻¹⁹ J, pa je KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Zaokruženo na tri značajne znamenke, to je 1.23 × 10⁻¹⁹ J, odnosno 0.765 eV. Crvena svjetlost od 650 nm, koliko god bila jaka, ne izbija nijedan elektron, jer svaki foton ima samo 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Zašto atomi daju linijske spektre umjesto duge

Vruća krutina, poput niti žarulje, emitira kontinuirani spektar. Vruć plin atoma pri niskom tlaku emitira samo određene valne duljine. Elektroni u atomu mogu zauzimati samo određene energijske razine. Kad elektron padne s više razine na nižu, atom emitira jedan foton čija je energija jednaka razmaku: ΔE = hν. Budući da postoje samo određeni razmaci, pojavljuju se samo određene valne duljine.

Apsorpcija je obrnut proces. Pustite li bijelu svjetlost kroz hladan plin, atomi uklanjaju upravo one valne duljine koje odgovaraju njihovim skokovima prema gore, ostavljajući tamne linije u inače kontinuiranom spektru. Skok između istih dviju razina ima istu valnu duljinu bez obzira apsorbira li atom ili emitira. Skup razmaka svakog elementa jedinstven je, pa spektri identificiraju elemente u plamenu, žaruljama i dalekim zvijezdama.

Energijske razine vodika i Rydbergova jednadžba

Za atom s jednim elektronom energijske razine slijede jednostavnu formulu. OpenStax Chemistry 2e (odjeljak 6.2) daje Eₙ = −kZ²/n², uz k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z kao naboj jezgre i n = 1, 2, 3, …. Energija je negativna jer vezani elektron ima nižu energiju od slobodnog elektrona u mirovanju, kojem je pridružena nula. Kako n raste, razine se zbijaju prema nuli.

Foton emitiran kad elektron padne s nᵢ na niži n_f ima energiju ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Dijeljenjem s hc dobiva se Rydbergova jednadžba za vodik, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), uz R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Riješeni primjer 3. Pronađite valnu duljinu linije vodika n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, uz jednu dodatnu znamenku do kraja. Uz hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m, λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, odnosno 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data navodi ovu crvenu liniju pri 656.3 nm u zraku. Razlika u zadnjoj znamenki potječe od zaokruživanja k i od nešto manje brzine svjetlosti u zraku.

Riješeni primjer 4. Energija ionizacije vodika energija je potrebna da se elektron premjesti s n = 1 na n = ∞, a to je upravo k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J po atomu. Po molu, (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, odnosno 1312 kJ/mol. Vrijednost iz NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, odgovara 1312.0 kJ/mol.

Lymanova, Balmerova i Paschenova serija

Linije koje završavaju na istoj nižoj razini čine seriju. Sve se one zbijaju kako nᵢ raste i približavaju se granici serije, gdje elektron polazi kao slobodan.

• Lymanova serija, koja završava na n = 1: ultraljubičasta. Linija 2 → 1 nalazi se pri 121.6 nm, a granica serije blizu je 91.2 nm.
• Balmerova serija, koja završava na n = 2: četiri vidljive linije vodika, pri oko 656, 486, 434 i 410 nm za nᵢ = 3, 4, 5 i 6. Granica serije blizu je 365 nm, u ultraljubičastom području.
• Paschenova serija, koja završava na n = 3: infracrvena. Linija 4 → 3 nalazi se blizu 1875 nm.

Pogreške sa spektrima i brze provjere

Većina pogrešaka u ovim zadacima su pogreške jedinica ili predznaka. Dvije provjere hvataju većinu njih: foton vidljive svjetlosti trebao bi nositi otprilike 2.8 do 5.0 × 10⁻¹⁹ J, a veći energijski razmak mora dati kraću valnu duljinu.

• Ostavljanje valne duljine u nanometrima pri upotrebi izraza c = λν ili E = hc/λ. Najprije pretvorite u metre.
• Upotreba Rydbergove jednadžbe sa zamijenjenim nᵢ i n_f, što daje negativnu valnu duljinu.
• Očekivanje da je svaka linija vodika vidljiva. Cijela Lymanova serija je ultraljubičasta, a Paschenova infracrvena.
• Uvjerenje da jača svjetlost izbija brže fotoelektrone. Intenzitet mijenja broj elektrona, a ne njihovu najveću energiju.
• Primjena izraza Eₙ = −kZ²/n² na helij ili bilo koji atom s više od jednog elektrona. Vrijedi samo za jednoelektronske vrste poput H, He⁺ i Li²⁺.
• Zaboravljanje Avogadrova broja pri pretvorbi energije po fotonu u kJ/mol ili njegova dvostruka primjena.

Što Bohrova slika objašnjava i gdje prestaje vrijediti

Bohrov model atoma vodika, s elektronom u kružnim stazama stalne energije, reproducira linije vodika i skaliranje sa Z² za ione poput He⁺. Za He⁺ je energija svakog prijelaza vodika četiri puta veća, pa je njegova linija 2 → 1 blizu 30.4 nm.

Model ne vrijedi za atome s dva ili više elektrona, jer odbijanje među elektronima mijenja razine. Osim toga prikazuje elektrone na određenim putanjama, što kvantna mehanika isključuje. Suvremena teorija zadržava Bohrove energijske razine za vodik, ali staze zamjenjuje orbitalama, koje opisuju gdje će se elektron vjerojatno nalaziti.