रसायन-विज्ञान की गणनाओं में सार्थक अंक

मापी गई संख्याएँ बनाम यथार्थ संख्याएँ

मापा गया मान अनिश्चित होता है क्योंकि हर उपकरण की एक सीमा होती है। जब आप 0.1 mL के चरणों में अंकित ब्यूरेट पढ़ते हैं, तो आप निश्चित चिह्न दर्ज करते हैं और फिर उनके बीच एक और अंक का अनुमान लगाते हैं, इसलिए 18.36 mL जैसे पाठ्यांक में चार सार्थक अंक होते हैं: तीन निश्चित अंक और एक अनुमानित अंक। 18.360 mL लिखना ऐसी परिशुद्धता का दावा करना होगा जो ब्यूरेट दे ही नहीं सकता।

यथार्थ संख्याओं में मापन की कोई अनिश्चितता नहीं होती। वे गिनती से आती हैं (स्टैंड में 12 परखनलियाँ), परिभाषाओं से आती हैं (1 इंच ठीक 2.54 cm होता है, और 1 L ठीक 1000 mL होता है), तथा रासायनिक सूत्रों और समीकरणों के गुणांकों और अधोलेखों से आती हैं। यथार्थ संख्याओं को असीमित सार्थक अंकों वाली मानें, ताकि वे परिकलित परिणाम की परिशुद्धता को कभी सीमित न करें।

अंकों की गिनती, परेशान करने वाले शून्यों सहित

शून्येतर अंक हमेशा सार्थक होते हैं। शून्य सार्थक हैं या नहीं, यह इस पर निर्भर करता है कि वे मापी गई जानकारी बताते हैं या केवल दशमलव बिंदु की स्थिति दर्शाते हैं। नीचे दिए गए नियम सामान्य रसायन-विज्ञान में आपके सामने आने वाले हर मामले को कवर करते हैं।

दशमलव बिंदु रहित पूर्ण संख्या के अंत के शून्य ही एकमात्र सचमुच अस्पष्ट मामला हैं। 1200 g लिखा गया द्रव्यमान दो, तीन या चार सार्थक अंकों तक ज्ञात हो सकता है। वैज्ञानिक संकेतन इस अस्पष्टता को दूर कर देता है: 1.2 × 10³ g में दो, 1.20 × 10³ g में तीन और 1.200 × 10³ g में चार सार्थक अंक हैं।

• शून्येतर अंकों के बीच के शून्य सार्थक होते हैं: 30.506 g में पाँच हैं।
• शुरुआती शून्य कभी सार्थक नहीं होते; वे केवल दशमलव बिंदु की स्थिति बताते हैं: 0.004070 m में चार हैं (4, 0, 7, 0)।
• दशमलव बिंदु के दाईं ओर के अंतिम शून्य सार्थक होते हैं: 2.500 mL में चार हैं।
• दशमलव बिंदु रहित पूर्ण संख्या के अंत के शून्य अस्पष्ट होते हैं; अपना आशय बताने के लिए वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करें।

जोड़ना और घटाना: दशमलव स्थानों को सीध में रखें

जब राशियों को जोड़ा या घटाया जाता है, तो मायने रखने वाली अनिश्चितता अंतिम दशमलव स्थान की निरपेक्ष अनिश्चितता होती है, सार्थक अंकों की गिनती नहीं। परिणाम को उतने ही दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें जितने सबसे कम दशमलव स्थानों वाले माप में हों।

हल किया गया उदाहरण 1। आप अलग-अलग तुलाओं पर तौले गए किसी ठोस के तीन भाग मिलाते हैं: 12.6 g, 0.237 g और 105.42 g। कैलकुलेटर 118.257 g दिखाता है। पहला द्रव्यमान केवल दसवें स्थान तक ज्ञात है, इसलिए योग भी केवल दसवें स्थान तक ज्ञात है: 118.3 g। ध्यान दें कि उत्तर में चार सार्थक अंक हैं, जबकि एक निविष्ट में केवल तीन थे; यानी जोड़ में परिणाम को अंकों की गिनती सीमित नहीं करती।

घटाने से सार्थक अंक नष्ट हो सकते हैं। मान लें कि किसी द्रव वाला फ्लास्क टॉप-लोडिंग तुला पर 58.36 g तौला गया और खाली फ्लास्क विश्लेषणात्मक तुला पर 57.912 g तौला गया था। कैलकुलेटर पर अंतर 0.448 g है, पर पहला द्रव्यमान केवल सौवें स्थान तक ज्ञात है, इसलिए द्रव का द्रव्यमान 0.45 g है। चार और पाँच अंकों वाले निविष्टों से केवल दो सार्थक अंक बचते हैं। जब दो बड़ी संख्याओं का छोटा अंतर मायने रखता हो, तो दोनों को अधिक परिशुद्ध तुला पर तौलें।

गुणा और भाग: सार्थक अंक गिनें

गुणनफल और भागफल में आगे सापेक्ष अनिश्चितता जाती है। परिणाम को उतने ही सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करें जितने सबसे कम सार्थक अंकों वाले निविष्ट में हों।

हल किया गया उदाहरण 2। एक आयताकार गुटके की माप 4.20 cm, 2.15 cm और 1.8 cm है। कैलकुलेटर पर आयतन 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ आता है। ऊँचाई में केवल दो सार्थक अंक हैं, इसलिए आयतन 16 cm³ बताया जाता है। तीसरे अंक को उचित ठहराने का एकमात्र तरीका ऊँचाई को अधिक सावधानी से मापना होगा, जैसे कैलिपर से 1.80 cm।

लघुगणक एक संबंधित नियम का पालन करते हैं जो pH के काम में दिखता है: लघुगणक में दशमलव स्थानों की संख्या मूल मान के सार्थक अंकों की संख्या के बराबर होती है। 3.4 × 10⁻⁴ mol/L की हाइड्रोजन-आयन सांद्रता में दो सार्थक अंक हैं, इसलिए उसका pH दो दशमलव स्थानों तक, 3.47, बताया जाता है।

बहु-चरणीय गणना के अंत में केवल एक बार पूर्णांकन

कई चरणों वाली गणना में हर मध्यवर्ती मान में कम से कम एक या दो अतिरिक्त अंक (रक्षक अंक) रखें और केवल अंतिम उत्तर को पूर्णांकित करें। हर चरण कितने सार्थक अंकों को उचित ठहराता है, इसका हिसाब रखें, पर अंत तक अंक न हटाएँ। हर चरण पर पूर्णांकन करने से हर बार थोड़ी त्रुटि जुड़ती है, और वे त्रुटियाँ अंतिम बताए गए अंक को बदल सकती हैं।

हल किया गया उदाहरण 3। आप 1.37 g सोडियम क्लोराइड को पानी में घोलते हैं और उसे आयतनमितीय फ्लास्क में ठीक 50.00 mL तक तनु करते हैं। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित IUPAC मानक परमाणु भार (Na 22.99, Cl 35.45) लेने पर NaCl का मोलर द्रव्यमान 58.44 g/mol है। मात्रा 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol है, जिसे बिना पूर्णांकित किए रखा गया है। आयतन 0.05000 L है, इसलिए सांद्रता 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L है, जो 0.469 mol/L पर पूर्णांकित होती है क्योंकि द्रव्यमान में तीन सार्थक अंक हैं।

यदि आपने मात्रा को पहले 0.0234 mol पर पूर्णांकित कर दिया होता, तो 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L मिलता। अंतर छोटा है, पर यह वास्तविक त्रुटि है जो मापों से नहीं बल्कि अंकगणित से आई है, और लंबी शृंखलाओं में यह बढ़ सकती है।

आधे पर आने वाले अंक को कब ऊपर या सम अंक की ओर पूर्णांकित करें

यदि आपका पहला छोड़ा जाने वाला अंक 5 से कम है, तो रखे जाने वाले अंक को जस का तस छोड़ दें; यदि वह 5 से अधिक है, या 5 है और उसके बाद कोई शून्येतर अंक है, तो ऊपर की ओर पूर्णांकित करें। इसलिए तीन सार्थक अंकों पर 0.064371 का पूर्णांक 0.0644 और 7.2849 का पूर्णांक 7.28 होता है।

एकमात्र विवादित मामला वह है जहाँ छोड़ा जाने वाला अंक ठीक 5 हो और उसके बाद कुछ न हो। OpenStax Chemistry 2e इस तरह पूर्णांकित करती है कि रखा जाने वाला अंक सम रहे (6.125 का 6.12 बनता है, जबकि 6.135 का 6.14), जिससे कई बार पूर्णांकन करने पर ऊपर की ओर होने वाला हल्का झुकाव टल जाता है। कई शिक्षक सीधे 5 को ऊपर पूर्णांकित कर देते हैं। देखें कि आपके पाठ्यक्रम में कौन-सी परिपाटी है और उसे लगातार लागू करें; यह केवल इसी एक मामले को प्रभावित करती है।

अपने काम में सार्थक अंकों की वे त्रुटियाँ जिन्हें खोजना चाहिए

सार्थक अंकों की अधिकतर त्रुटियाँ कुछ पूर्वानुमेय चूकों से आती हैं। उत्तर को बॉक्स में लिखने से पहले निविष्टों को फिर पढ़ें और पूछें कि कौन-सा निविष्ट परिणाम को सीमित करता है और किस नियम से।

एक छोटी आदत इसे नियमित बना देती है: हर उत्तर के पास सीमित करने वाला निविष्ट और लागू किया गया नियम, यानी दशमलव स्थान या अंकों की गिनती, लिख लें। यदि उत्तर में उस निविष्ट के औचित्य से अधिक अंक दिख रहे हैं, तो उसे पूर्णांकित करें; यदि कम दिख रहे हैं, तो ऐसे अंतिम शून्य को खोजें जिसे कैलकुलेटर ने हटा दिया हो।

• किसी यथार्थ संख्या को उत्तर सीमित करने देना। 1000 mL/L का गुणक या 2 का गुणांक कभी सार्थक अंक कम नहीं करता।
• योग के लिए गुणन का नियम लगाना। योग और अंतर दशमलव स्थानों से सीमित होते हैं, अंकों की गिनती से नहीं।
• हर मध्यवर्ती मान को पूर्णांकित करना। रक्षक अंक रखें और अंत में केवल एक बार पूर्णांकित करें।
• अर्थपूर्ण अंतिम शून्य हटा देना। जब माप 2.50 mL था, तब कैलकुलेटर 2.5 दिखाता है; शून्य को वापस लिखें।
• शुरुआती शून्य गिनना। 0.0081 g में दो सार्थक अंक हैं, चार नहीं।
• अस्पष्ट शून्यों वाली पूर्ण संख्या बताना। जब तीन अंक अर्थपूर्ण हों, तो 340 g के बजाय 3.40 × 10² g लिखें।